4.1
Kemudian sistem persamaan 4.1 akan dianalisis kestabilannya dengan terlebih dahulu menentukan titik kesetimbangannya.
A. TITIK KESETIMBANGAN
Dari sistem persamaan
4.1
akan dicari titik kesetimbangannya, yaitu dengan
. Sehingga diperoleh 4.2
4.3 4.4
4.5 4.6
Dari persamaan 4.2 diperoleh
Dari persamaan 4.3 diperoleh
Dari persamaan 4.4 diperoleh
Dari persamaan 4.5 diperoleh
Untuk kasus ,
Persamaan 4.6 menjadi:
Subtitusikan persamaan ke , diperoleh:
Subtitusikan ke , diperoleh:
Subtitusikan ke , diperoleh:
Subtitusikan ke , diperoleh:
Sehingga diperoleh
titik kesetimbangan
bebas penyakit
. Titik kesetimbangan endemik ditentukan dengan asumsi
dengan . Sehingga
4.7 4.8
4.9 4.10
4.11 Untuk kasus
, maka Persamaan 4.7 diperoleh:
Persamaan 4.8 diperoleh:
Dari persamaan 4.9, diperoleh:
Subtitusikan ke , diperoleh:
Subtitusikan ke , diperoleh:
[ ]
[ ]
[ ]
Subtitusikan ke , diperoleh:
[
[ ]
]
[ ]
Subtitusikan ke , diperoleh:
[ ]
]
Dari persamaan 4.11 diperoleh:
Jadi, diperoleh titik kesetimbangan endemik sebagai berikut:
[ ]
[ ]
[ ]
B. ANALISIS KESTABILAN
Dengan menggunakan linearisasi akan diperoleh analisis kestabilan berdasarkan nilai eigen dan matriks jacobian. Matriks jacobian dari sistem
4.1 adalah
[ ]
[ ]
4.12
dengan .
1. Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Untuk titik
kesetimbangan bebas
penyakit dari matriks jacobian 4.12
diperoleh:
[ ]
[ ]
Menentukan nilai eigen matriks
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
| |
| |
Dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks di atas diperoleh,
] ]
] ]
]
Dan diperoleh nilai-nilai eigen di titik sebagai berikut:
, ,
, , dan
Dari nilai-nilai eigen tersebut terlihat bahwa nilai eigen ,
, dan adalah negatif. Selanjutnya, nilai
dan akan dianalisis.
Akan ditunjukkan bahwa ,
Diasumsikan bahwa dan
, sehingga ketika
atau .
Jadi, dengan syarat maka
. Akan ditunjukkan bahwa
, Karena nilai eigen
dan bernilai sama maka
dengan syarat atau
. Jadi, nilai
, ,
, sedangkan jika
. Semua nilai eigen dari matriks bernilai negatif ketika
, maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimptotik atau
dengan kata lain tidak terjadi penyebaran penyakit pada populasi.
2. Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Endemik
Untuk titik kesetimbangan endemik sebagai berikut:
[ ]
[ ]
[ ]
dari persamaan matriks jacobian 4.12 diperoleh:
[ ]
]
]
[ ]
[ ]
]
Menentukan nilai eigen matriks
[ ]
[ ]
] ]
[ ]
[ ]
] ]
[ [
]
[ ]
]
| |
]
[ ]
||
Dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks di atas diperoleh,
Dengan nilai-nilai koefisien sebagai berikut:
] ]
] ]
Berdasarkan kriteria
Routh-Hurwitz, akan
ditunjukkan mempunyai akar-akar bagian
real yang negatif yaitu dengan menunjukkan bahwa semua koefisien polinom positif dan lengkap atau
Jelas bahwa , tetapi
. Akan ditunjukkan bahwa
. Jelas bahwa
] karena nilai
dan nilai ] ,
, sehingga ada koefisien dari yang bernilai negatif. Jadi, titik
kesetimbangan tidak stabil.
C. SIMULASI MODEL
