terinfeksi dengan simbol I, dan sembuh dengan simbol . Jumlah total
dari keseluruhan kelompok tersebut adalah
4. Model MSIR
Model MSIR menggunakan anggapan bahwa untuk beberapa kasus penyakit dimana seorang individu terlahir dengan kekebalan pasif dari
ibunya. Individu yang memiliki kekebalan pasif ini disimbolkan dengan . Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut:
Dalam model MSIR, anggota dari populasi manusia hanya dibagi menjadi empat kelas, yaitu: bayi dengan kekebalan pasif dengan simbol
, suspek dengan simbol , terinfeksi dengan simbol , dan sembuh dengan simbol
. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah
B. SISTEM LINEAR DAN MATRIKS
1. Sistem persamaan linear
Definisi 2.1. Howard Anton, 1988. Sistem persamaan linear adalah
suatu himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah
.
M S
R I
Bentuk umum dari sistem persamaan linear yang terdiri dari persamaan linear dengan
bilangan tak diketahui dapat dituliskan sebagai
di mana ,
, ,
adalah bilangan-bilangan tak diketahui sedangkan dan menyatakan konstanta-konstanta. Sistem persamaan linear di atas
dapat dituliskan juga dalam bentuk matriks. Contoh 1:
2. Matriks
Definisi 2.2. Howard Anton, 1988. Matriks adalah susunan segiempat
dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut
dinamakan entri dalam matriks.
Ukuran matriks dapat dijelaskan dengan menyatakan banyaknya m baris dan banyaknya n kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jika
adalah sebuah matriks berukuran dengan untuk entrinya
pada baris dan kolom , maka dapat dituliskan sebagai
[ ]
atau
[ ]
Contoh 2:
Matriks mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga ukurannya adalah
. Jadi matriks adalah matriks .
[ ]
Matriks mempunyai 3 baris dan 3 kolom sehingga ukurannya adalah
. Jadi matriks adalah matriks atau dapat juga disebut sebagai matriks persegi.
Jika adalah suatu matriks persegi berukuran , maka
memiliki skalar khusus yang disebut determinan . Biasanya
dilambangkan dengan atai | |.
3. Determinan matriks
Definisi 2.3. Howard Anton, 1988. Misalkan
adalah matriks persegi. Fungsi determinan
didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari
. Jumlah dinamakan determinan. Contoh 3:
[ ]
Determinan-determinan matriks di atas, yaitu
| |
[ ]
Akan tetapi, metode tersebut tidak berlaku untuk determinan matriks yang lebih tinggi. Oleh karena itu, determinan juga dapat
dihitung dengan sebuah metode yaitu ekspansi kofaktor.
4. Ekspansi Kofaktor
Definisi 2.4. Howard Anton, 1988. Jika
adalah suatu matriks persegi, maka minor entri
dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai
determinan submatriks dari yang diperoleh setelah menghilangkan
baris ke- dan kolom ke- . Bilangan
dinyatakan oleh dan
disebut kofaktor entri .
Contoh 4: [
]
Minor entri adalah
| |
Kofaktor adalah
Pada contoh 3, determinan dari matriks yang berukuran
adalah yang dapat dituliskan kembali sebagai
. K
arena pernyataan-pernyataan dalam kurung adalah kofaktor-kofaktor ,
, dan maka diperoleh
sehingga determinan matriks dapat ditulis
Teorema 2.1. Howard Anton, 1988. Determinan matriks
yang berukuran
dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktornya dan menambahkan hasil-
hasil kali yang dihasilkan; yaitu, untuk setiap dan
maka,
perluasan kofaktor di sepanjang kolom ke- dan
perluasan kofaktor di sepanjang baris ke- .
Contoh 5: [
]
Hitung dengan perluasan kofaktor di sepanjang baris pertama.
Penyelesaian. |
|
| | |
| | |
Suatu matriks persegi atau matriks berukuran memiliki suatu
nilai karakteristik. Nilai karakteristik dari matriks ini disebut
dengan nilai eigen.
5. Nilai Eigen
Definisi 2.5. Howard Anton, 1988. Jika
adalah matriks , maka vektor tak nol
di dalam dinamakan vektor eigen eigenvector dari
jika adalah kelipatan skalar dari yakni,
untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen eigenvalue dari
dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Jika adalah nilai eigen dari yang bersesuaian dengan , maka
, sehingga perkalian oleh akan memperbesar , atau membalik arah
, yang bergantung pada nilai , sedangkan untuk mencari nilai eigen matriks
yang berukuran maka kita menulis kembali sebagai
atau secara ekuivalen
Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tak nol dari
persamaan ini. Persamaan ini akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika
Ini dinamakan persamaan karakteristik ; skalar yang memenuhi
persamaan ini adalah nilai eigen dari . Bila diperluas, maka determinan
adalah polinom yang dinamakan polinom karakteristik dari
. Jika adalah matriks , maka polinom karakteristik harus
memenuhi dan koefisien
adalah , sehingga polinom karakteristik
dari matriks berbentuk
Contoh 6: Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
Penyelesaian. Karena
Maka polinom karakteristik dari adalah
Dan persamaan karakteristik dari adalah
Penyelesaian-penyelesaian persamaan ini adalah dan ; inilah
nilai-nilai eigen dari . Lebih lanjut, matriks dan nilai eigen akan banyak
digunakan untuk mencari penyelesaian suatu sistem persamaan diferensial.
C. PERSAMAAN DIFERENSIAL
