D. TEORI SISTEM DINAMIK
Teori sistem adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang sistem sebagai obyeknya Rudolfh Stitchweh, 2011. Sistem dinamik adalah sistem yang
memiliki struktur dan aktivitas yang ditandai dengan pola perilaku yang berubah-ubah sepanjang waktu Vincent Gazpers. Teori sistem dinamik
merupakan bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa perilaku sistem dinamik, biasanya menggunakan persamaan diferensial. Teori
ini membahas perilaku kualitatif jangka panjang sistem dan pemecahan persamaan gerak dari sistem yang terutama bersifat mekanik di alam.
1. Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat persamaan diferensial dengan
buah fungsi yang tidak diketahui, dimana
. Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial dapat dituliskan sebagai berikut:
̇ ̇
̇
Sistem di atas dapat ditulis sebagai
[ ̇
̇ ̇
] [ ] [
] [
] atau
̇
.
2. Sistem Homogen
Sistem persamaan diferensial
̇
disebut homogen jika dan tidak homogen jika . Sistem homogen dari
persamaan diferensial linear orde satu dengan koefisien real, secara umum dapat ditulis sebagai:
̇ ̇
̇
Sistem persamaan di atas dapat di tulis sebagai
̇
, dengan
[ ] [
]
3. Kestabilan
Definisi 2.6. D.Gilliam, 1999. Suatu persamaan diferensial
̇
, dimana
.
Misal merupakan
penyelesaian dari persamaan, dengan kondisi awal . Misal
merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial. a.
Penyelesaian stabil di jika untuk setiap , ada
sedemikian sehingga |
| , penyelesaian terdefinisi untuk setiap
dan |
| , .
b. stabil asimptotik di
jika stabil dan untuk setiap , ada
sedemikian sehingga |
| ,
| | .
c. tidak stabil jika ada sedemikian sehingga untuk setiap
dimana ada dengan
| | sedemikian sehingga
| | untuk
. Kestabilan digunakan untuk menentukan apakah sistem tersebut
stabil atau tidak dengan menguji kestabilan dari titik kesetimbangannya.
4. Titik Kesetimbangan equilibrium
Diberikan sistem
persamaan diferensial
̇
, titik kesetimbangan equilibrium adalah suatu penyelesaian yang memenuhi
̇
. Berdasarkan persamaan
̇
di mana adalah matriks berukuran
, penyelesaiannya adalah ,
dan adalah nilai-nilai eigen dari
berlaku
Teorema 2.2.
adalah sebuah matriks dan adalah nilai-
nilai eigen dari . Misalkan bahwa
di mana dan bernilai real untuk
Ada suatu konstanta sedemikian
sehingga
‖ ‖
, .
Berdasarkan dari teorema 2.2, maka berlaku pula
Teorema 2.3.
adalah sebuah matriks dan misalkan semua nilai eigen dari
berniali real dan kurang dari atau sama dengan nol, dan nilai eigen dengan nilai nol adalah simpel. Maka, ada suatu konstanta
sedemikian sehingga
‖ ‖ , .
Nilai-nilai eigen dari matriks menggolongkan kestabilan dari titik
kesetimbangan sistem persamaan diferensial
̇
.
Teorema 2.4 C. C. Remsing, 2006. Suatu sistem stabil netral jika dan
hanya jika beberapa nilai eigen dari bernilai real tak-positif dan paling
sedikit satu nilai eigen yang bernilai nol. a.
Suatu sistem stabil asimptotik jika dan hanya jika adalah sebuah matriks yang stabil yaitu setiap nilai eigen dari
bernilai real negatif.
b. Suatu sistem tidak stabil jika dan hanya jika beberapa nilai eigen dari
bernilai real positif. Bukti:
a. Misalkan
, berdasarkan teorema 2.3 ada suatu konsatanta
sedemikian sehingga ‖
‖ , . Misal penyelesaian
, diberikan , ambil . Jika
adalah kondisi awal dengan |
| | | , maka
| | |
| ‖ ‖ |
| |
| Sehingga
| | . Jadi, sistem tersebut stabil atau
stabil netral.
b. Misalkan
, maka sistem dalam keadaan stabil berdasarkan bukti sebelumnya. Ambil suatu bilangan real
, sedemikian sehingga untuk semuaa nilai eigen
dari . Berdasarkan teorema 2.2, ada suatu konsatanta
sedemikian sehingga ‖
‖ ,
. Maka untuk kondisi awal
, |
| | | ‖
‖ | | |
| ,
. Karena
bernilai negatif, saat . Sehingga
. Jadi, sistem tersebut stabil asimptotik. c.
Misalkan nilai eigen dengan Misalkan adalah suatu vektor eigen dari
. Penyelesaian dari sistem dengan kondisi awal
dalah . Diberikan , misal
| |
maka | |
. Dengan kata lain, penyelesaian dari sistem dengan kondisi awal adalah
. Sehingga | | . Karena
maka | | saat . Jadi, sistem tidak stabil.
Contoh 11: Diketahui sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
Atau dapat ditulis
Titik kesetimbangan equilibrium akan diperoleh jika dan
, maka
Diperoleh Dari matriks
akan dicari nilai eigennya, yaitu
Maka polinom karakteristik dari adalah
Dan persamaan karakteristik dari adalah
Maka diperoleh nilai dan
Kedua nilai eigen dari matriks bernilai negatif, maka berdasarkan
teorema 2.4 titik kesetimbangannya stabil asimptotik. Akan tetapi, jika sistem tidak linear, maka untuk menentukan kestabilan sistem tersebut
dilakukan dengan dengan linearisasi sistem.
5. Linearisasi Sistem
Definisi 2.7. Lawrence Perko, 2001. Titik dinamakan titik
kesetimbangan atau titik kritis dari
̇
jika . Titik
kesetimbangan dinamakan titik kesetimbangan hiperbolik dari
̇
jika tidak ada nilai eigen dari matrik bernilai nol.
Sistem linear
̇
dengan matriks linearisasi dari
̇
pada . Linearisasi sistem
̇
menggunakan matriks Jacobian.
Teorema 2.5. Jika dapat diturunkan pada
, maka turunan parsial
, semua ada pada dan untuk semua
,
∑
Jika ̅ adalah fungsi yang dapat diturunkan, turunan ̅ diberikan
oleh matriks Jacobian ,
̅ ̅
[ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅ ̅
̅ ] Kriteria kestabilan sistem non linear
̇
dapat ditentukan dengan nilai eigen dari matriks Jacobian
̅
.
Teorema 2.6. Olsder, 1994. Diberikan matriks Jacobian
̅ dari sistem non linear
̇
dengan nilai eigen . a.
Stabil asimptotik lokal, jika semua nilai eigen dari matriks ̅ bernilai negatif.
b. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks
̅ bernilai positif. Bukti:
Jika adalah matriks , maka berlaku
. Diberikan nilai awal
, maka solusinya adalah .
a. Jika semua nilai eigen dari ,
, untuk maka nilai
saat , sehingga semua nilai dari mendekati titik kesetimbangannya. Jadi, sistem stabil asimptotik
lokal. b.
Jika ada nilai eigen dari , untuk
maka nilai atau tidak mendekati nol saat ,
sehingga nilai dari menjauhi titik kesetimbangannya dan
bergerak menuju . Jadi, sistem tidak stabil.
30
BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS
Kategori