Sebagaimana telah dijelaskan dalam gambar 3.2 mengenai siklus penyebaran penyakit leptospirosis dari tikus ke manusia dan asumsi-asumsi
yang telah dibuat, serta dengan variabel-variabel dan parameter-parameter yang telah ditentukan, secara skematis dinamika penyebaran penyakit
leptospirosis dapat disajikan dalam bagan di bawah ini.
Gambar 3. 3. Diagram Penyebaran Penyakit Leptospirosis
Sumber: Mathematical Model of Leptospirosis: Linearized Solutions and Stability Analysis
Dari gambar 3.3 akan dibentuk suatu model matematika yang menggambarkan penyebaran penyakit tersebut.
C. FORMULASI MODEL
Misalkan adalah total populasi manusia pada waktu
, adalah
banyaknya manusia yang rentan dapat terinfeksi penyakit, adalah
banyaknya manusia yang terinfeksi, dan adalah banyaknya manusia yang
telah sembuh, maka
Berdasarkan gambar 3.4, total populasi manusia dapat digambarkan dengan persamaan
{ }
{ }
{ }
{ }
atau dapat ditulis sebagai
3.1
Demikian pula dimisalkan adalah total populasi vektor pada waktu
, adalah banyaknya vektor yang rentan terhadap penyakit dan
adalah banyaknya vektor yang terinfeksi, maka
Gambar 3. 4. Diagram Jumlah Total Populasi Manusia
Gambar 3. 5. Diagram Jumlah Total Populasi Vektor
Berdasarkan gambar 3.5, total populasi vektor dapat digambarkan dengan persamaan
{ }
{ }
{ }
atau dapat ditulis 3.2
Misalkan adalah banyaknya populasi manusia yang rentan pada waktu
. Berdasarkan gambar 3.3
,
laju perubahan populasi manusia yang rentan dapat digambarkan dengan persamaan
{ }
{ }
{ }
Jumlah manusia yang masuk ke populasi rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang lahir dalam populasi
dengan angka kelahiran dan banyaknya individu dalam populasi bebas penyakit
yang menjadi rentan kembali dengan angka
,
{ }
Dan jumlah manusia yang keluar dari populasi rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu rentan yang terinfeksi oleh tikus vektor yang terinfeksi
dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang
terinfeksi ke manusia yang rentan sebanyak dan jumlah individu yang
meninggal dalam populasi rentan dengan angka kematian ,
{ }
Sehingga laju perubahan populasi manusia yang rentan adalah
Maka diperoleh persamaan 3.3
Dimisalkan adalah banyaknya populasi manusia yang terinfeksi pada
waktu . Berdasarkan gambar 3.3, laju perubahan populasi manusia yang
terinfeksi dapat digambarkan dengan persamaan
{ }
{ }
{ }
Jumlah manusia yang masuk ke populasi terinfeksi dipengaruhi oleh banyaknya individu rentan yang terinfeksi oleh tikus vektor yang terinfeksi
dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang terinfeksi
ke manusia yang rentan sebanyak ,
{ }
Dan jumlah manusia yang keluar dari populasi rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang terinfeksi atau sakit menjadi sembuh dengan angka
kesembuhan dan jumlah individu dari populasi terinfeksi yang meninggal
dengan angka kematian ,
{ }
Sehingga laju perubahan populasi manusia yang terinfeksi adalah
Maka diperoleh persamaan 3.4
Dimisalkan pula adalah banyaknya populasi manusia yang bebas
penyakit pada waktu . Berdasarkan gambar 3.3, laju perubahan populasi
manusia yang bebas penyakit dapat digambarkan dengan persamaan
{ }
{ }
{ }
Jumlah manusia yang masuk ke populasi bebas penyakit dipengaruhi oleh banyaknya individu yang terinfeksi atau sakit menjadi sembuh dengan angka
kesembuhan ,
{ }
Dan jumlah manusia yang keluar dari populasi bebas penyakit dipengaruhi oleh banyaknya individu dalam populasi bebas penyakit
yang menjadi
rentan kembali dengan angka dan jumlah individu dari populasi bebas
penyakit yang meninggal dengan angka kematian ,
{ }
Sehingga laju perubahan populasi manusia yang bebas penyakit adalah
Maka diperoleh persamaan 3.5
Misalkan adalah banyaknya populasi vektor yang rentan pada waktu
. Berdasarkan gambar 3.3
,
laju perubahan populasi vektor yang rentan dapat digambarkan dengan persamaan
{ }
{ }
{ }
Jumlah vektor yang masuk ke populasi vektor rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang lahir dalam populasi vektor rentan dengan angka
kelahiran ,
{ }
Dan jumlah vektor yang keluar dari populasi vektor rentan dipengaruhi oleh banyaknya vektor rentan yang terinfeksi penyakit oleh vektor yang telah
terinfeksi dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang terinfeksi ke vektor yang rentan sebanyak
dan jumlah vektor yang mati dalam populasi vektor rentan dengan angka kematian
,
{ }
Sehingga laju perubahan populasi vektor yang rentan adalah
Maka diperoleh persamaan 3.6
Misal adalah banyaknya populasi vektor yang terinfeksi pada waktu
. Berdasarkan gambar 3.3
,
laju perubahan populasi vektor yang terinfeksi dapat digambarkan dengan persamaan
{ }
{ }
{ }
Jumlah vektor yang masuk ke populasi vektor rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang lahir dalam populasi vektor terinfeksi dengan angka
kelahiran dan banyaknya vektor rentan yang terinfeksi penyakit oleh
vektor yang telah terinfeksi dengan angka penularan penyakit leptospirosis dari vektor yang terinfeksi ke vektor yang rentan sebanyak
,
{ }
Dan jumlah vektor yang keluar dari populasi vektor terinfeksi dipengaruhi oleh jumlah vektor yang mati dalam populasi vektor rentan dengan angka
kematian ,
{ }
Sehingga laju perubahan populasi vektor yang terinfeksi adalah
Maka diperoleh persamaan 3.7
Dari persamaan 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, dan 3.7 diperoleh model SIR sebagai berikut:
3.8
Model 3.8 merupakan suatu sistem persamaan diferensial non linear dengan lima variabel, yaitu
, ,
, , dan
. Model tersebut menggambarkan laju perubahan populasi pada waktu
untuk masing-masing kelas yaitu populasi manusia rentan
, manusia terinfeksi , manusia
sembuh , vektor rentan
, dan vektor terinfeksi .
46
BAB IV ANALISIS KESTABILAN
