berada pada status j setelah n langkah. Untuk n=0, P
ij
maka P X = j| X
=i sehingga mengakibatkan bernilai 1 ketika i=j dan 0 ketika i = j.
Dimana P
ij n
≥ 0, untuk semua i dan j, dan n = 0,1,2,...
M
∑
P
ij n
=
i,
untuk semua i dan n = 0,1,2,…
j = 0
2.7.1 Kegunaan Probabilitas dan Keputusan Markov
Di dalam operasinya suatu item akan mengalami beberapa kemungkinan transisi status yang berubah dari satu status ke status yang lain. Bila dikatakan
bahwa dalam selang yang cukup pendek terdapat 4 kemungkinan status, maka untuk mengubah kondisi status yang dialami dilakukan beberapa tindakan yang
sesuai dengan kondisi status. Sebagai misal , jika perbaikan item baru dilakukan setelah item tersebut mengalami kerusakan berat status 4, dengan kata lain untuk
status 1,2 dan 3 tetap dibiarkan saja. Tetapi seandainya kebijaksanaan itu dirubah dimana perawatan dilakukan apabila item berada pada status 2,3 dan 4 sehingga
menjadi status juga bisa dilakukan. Keputusan-keputusan yang diambil dalam menentukan perawatan dapat dituliskan sebagai berikut :
Tabel 2-2. Keputusan dan Tindakan Yang Dilakukan Keputusan
Tindakan yang dilakukan 1
2
3 Tidak dilakukan tindakan
Dilakukan pemeliharaan pencegahan sistem kembali ke status sebelumnya
Pemeliharaan korektif sistem kembali ke status 1
Operasional Research, Hillier Liberman, 2006 :hal 319
Tabel 2-3. Policy Policy Keterangan d
1
p d
2
P d
3
P d
4
P P
1
2
3
P
4
n
meliharaan pencegahan pada
haraan pencegahan pada status 2
araan korektf pada status 3 dan satus
1 2 3
2 3 3
2 2 3
1 1 3 3 P
P Pemeliharaan korektif pada status 4 da
pemeliharaan pencegahan pada status 3 Pemeliharaan korektf pada status 3 dan 4
dan pe status 2
Pemeliharaan korektif pada status 4 dan pemeli
dan 3 Pemelih
4 1
1
1
Operasional Research, Hillier Liberman, 2006 :hal 320 Dalam pemeliharaan yang dilakukan Markov Chain, yang merupakan
matrik transisi adalah P
1
, P
2
,P
3
, dan P
4
yaitu usulan pemeliharaan sesuai dengan tindakan yang dilakukan.
Jika suatu item berada pada status kerusakan ringan dan kerusakan sedang, maka item tersebut tidak akan mengalami transisi ke status baik, dengan kata lain
bahwa suatu item yang berada pada status kerusakan ringan dan kerusakan sedang akan tetap berada pada status kerusakan ringan dan kerusakan sedang atau hanya
akan beralih ke status kerasakan berat. Dan jika item berada pada status kerusakan berat atau dengan kata lain suatu item yang memburuk akan tetap memburuk
sampai selang pemeriksaan berikutnya, atau bila tidak item akan mengalami kerusakan berat selama selang tersebut akan diperbaiki pada selang pemeriksaan
berikutnya. Dari uraian tersebut dapat dibuat skematis himpunan tertutup close
P
22
41
33
P
44
Operasional Research, Hillier Liberman, 2006: hal 168
. Menyatakan status 4 kerusakan berat
set dan peralihan status sebagai berikut: P
12
P
12
P P
23
P
14
P
13
P
24
P
34
P Gambar 2-4. Diagran Transisi Probabilitas
Keterangan : 1.
Menyatakan status 1 baik 2.
Menyatakan status 2 kerusakan ringan 3.
Menyatakan status 3 kerusakan sedang 4
1 2
3 4
Dari uraian diatas Probabilitas transisi dapat dinyatakan dalam bentuk matrik adalah sebagai berikut:
Table 2.4 Probabilitas transisi Status 0
1 M
0 P
00 n
…… P
0M n
1 ……
M P
M0 n
…… P
MM n
P
n
=
Untuk n = 0,1,2,…… Atau
P
00 n
…………. P
0M n
. .
. .
P
n
= . .
. .
. …………. .
P
M0 n
P
MM n
Operasional Research, Hillier Liberman, 2006 : hal 165
Matrik P ini dikatakan suatu peralihan yang homogin atau matrik stokastik, karena probabilitas transisi P adalah konstan dan tidak tergantung pada waktu. Sifat
Markov Chain dalam jangka panjang, probabilitasnya menjadi status mapan
steady state . Untuk Markov Chain Ergodic positif dan terjadi secara berulang- ulang dan tidak dapat diperkecil lagi maka:
Limit P
ij n
nyata tidak tergantung pada i. n
→ a
Selain daripada itu limit
Limit P
ij n
= π
j
n → a
Dimana π
j
merupakan probabilitas pada status j yang memenuhi persyaratan steady state.
π
j M
π
j
= ∑
π
j
P
ij n
untuk j dan n = 0,1,2,…M
j = 0 M
∑
π
j
= 1
j = 0
Bertitik tolak pada asumsi di atas maka dapat diungkapkan bahwa suatu item mempunyai probabilitas transisi P
ij
, yang menyatakan bahwa suatu item berada pada status i maka pada selang waktu berikutnya akan beralih pada status j.
Dalam bentuk matriks, probabilitas-probabilitas transisi tersebut diatas dapat dinyatakan sebagai berikut:
Tabel 2-5. Probabilitas Kerusakan Status akhir j
1 2 3 4 1 P
11
P
12
P
13
P
14
2 0 P
22
P
23
P
24
3 0 0 P
33
P
34
4 1 0 0 0 Status
Awal i
2.8 Analisa Biaya
