Jika kita masukkan nilai Tp yang nilainya diperoleh dari nilai Tp dari iterasi sebelumnya pada sisi kanan persamaan, diperoleh
− +
+ =
∑
P P
nb nb
P P
T a
b T
a T
T
2.78
Bentuk ini dapat dimodifikasi dengan menambahkan sebauh fak tor relaksasi α,
sehingga diperoleh :
− +
+ =
∑
P P
nb nb
P P
T a
b T
a T
T
α 2.79a
Atau 1
P P
nb nb
P P
T a
b T
a T
a α
α α
− +
+ =
∑
2.79b
Harus dicatat bahawa, ketika iterasi konvergen, nilai Tp menjadi sama dengan Tp. Persamaan 2.79 menunjukkan hasil nilai T digunakan pada
persamaan 2.76. nilai relaksasi factor antara 0 dan 1 yang berdampak pada underrelaxation sehingga nilai Tp semakin dekat dengan
Tp. Untuk nilai α yang kecil . perubahan Tp menjadi lebih lambat. Ketika α lebih besar dari 1 maka akan
menghasilkan overrelaxation. Tidak ada peraturan khusus
dalam memilih nilai α yang terbaik. Nilai yang paling optimum bergantung pada beberapa faktor, seperti kondisi masalah,
banyaknya titik grid, jarak antar grid,dsb. Nilai α yang sesuai dapat ditentukan berdasarkan pengalaman dan ekplorasi perhitungan dari masalah yang diberikan.
2.16 Perhitungan Metode Elemen Hingga
Pada kenyatannya sangat banyak permasalahan di bidang keteknikan yang tidak dapat diselesaikan dengan persamaan eksak. Untuk memperoleh solusinya
dapat digunakan turunan-turunan dari beberapa persamaan yang kompleks ditambah lagi dengan kondisi awal benda dan kondisi batas yang digunakan.
Untuk mengatasinya maka dilakukanlah pendekatan numerik. Metode elemen hingga lebih menggunakan persamaan yang berkaitan integral formulations
51
Universitas Sumatera Utara
dibandingkan dengan menggunakan turunan dari suatu persamaan untuk membuat suatu sistem persamaan aljabar.
Ada beberapa tahap dalam penyelesaian elemen hingga yaitu, preprocessing ; merupakan tahap pembuatan domain dari elemen hingga node
dan elemen serta menentukan kondisi batas, beban, dan kondisi awal seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.22. Solution; merupakan tahap penyelesaian
persamaan linear dan nonlinear untuk memperoleh hasil pada node seperti nilai perpindahan atau temperatur pada premasalahan perpindahan panas.
Postprocessing; merupakan tahapan untuk memperoleh informasi dari tahap solution, dalam tahap ini kita mendapatkan nilai-nilai tegangan, regangan, heat
flux, dsb.
1 Elemen 1
Elemen 2 Elemen 3
Elemen n 2
3 n
n+1 Elemen 1
Elemen 2 Elemen 3
Elemen n
Gambar 2.22 Menentukan node dan elemen termasuk dalam tahapan preprocessing
[7]
Untuk menetukan regangan dan tegangan akibat beban termal dengan menggunakan metode elemen hingga kita, dapat dijabarkan dengan menggunakan
persamaan dasar regangan dan tegangan termal pada persamaan 2.8 dan 2.9, maka dengan menggunakan persamaan tegangan rata-rata dan mensubtitusikannya
dengan persamaan 2.8 dan 2.9 diperoleh
δ δ
α σ
k L
EA F
TEA F
A F
= =
∆ =
=
2.80
52
Universitas Sumatera Utara
Untuk benda dengan luas penampang berbeda pada arah-y. Dilakukan pendekatan dengan menggunakan prinsip pegas, disebabkan persamaan 2.80 mirip dengan
persamaan pegas linear F=k.x
l E
A A
k u
u l
E A
A u
u l
E A
T T
k f
i i
eq i
i i
i i
i avg
i i
eq
2 2
1 1
1 1
1
+ =
− +
= −
= −
=
+ +
+ +
+
2.81
Ai dan Ai+1, adalah luas penampang permukaan pada node 1 dan i+1, dan l merupakan panjang elemen. Dengan memodelkan elemen, maka kita dapat
membuat diagram benda bebas pada node seperti yang terlihat pada Gambar 2.23
Node 1
Node 2
Node 3
Node n
Node n+1 R1
Rn+1 K
1
u
2
-u
1
K
1
u
2
-u
1
K
2
u
3
-u
2
-T K
2
u
3
-u
2
-T
K
3
u
4
-u
3
K
3
u
n
-u
3
K
n
u
n+1
-u
n
K
n
u
n+1
-u
n
Gambar 2.23 Diagram benda bebas pada node
[7]
Berdasarkan rumus kesetimbangan dimana total gaya yang bekerja pada tiap node adalah nol. Pernyataan tersebut dapat menghasilkan persamaan berikut
Node 1:
1 2
1 1
= −
− T
T k
R
Node 2:
2 2
3 2
1 2
1
= −
− −
T T
k T
T k
Node 3:
3 3
2 3
2
= −
− −
− T
T T
k T
T k
n
53
Universitas Sumatera Utara
Node n:
1 3
3
= −
− −
+ n
n n
n
T T
k T
T k
Node n+1 :
1 1
= −
−
+ +
n n
n n
R T
T k
2.82
Nilai beban eksternal T pada beberapa kasus juga tidak selamanya terdapat pada node-node tertentu bergantung pada kondisi permasalahan, mis: tidak ada
temperatur di titik 3, maka persamaan menjadi Node 3:
3 3
2 3
2
= −
− −
T T
k T
T k
n
Dengan mengatur ulang persamaan 2.82 dengan memisahkan antara nilai k, T dan gaya luar P , maka diperoleh :
1 1
1 3
1 3
3 3
3 3
3 3
3 2
2 2
3 2
2 2
2 1
1 1
2 1
1 1
+ +
+
= =
= =
=
− −
− −
− −
−
n n
n n
n n
n n
n
R T
R
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
u k
2.83
Jika persamaan kesetimbangan yang diberikan oleh persamaan 2.83 dalam bentuk matriks, menjadi :
−
=
− −
+ −
− +
− −
+ −
−
+ +
1 1
1 3
2 1
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
n n
n n
n n
n
R T
R
u u
u u
u
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
2.84
Jika dipisahkan antara matriks pembebanan dengan matriks perlawanan resistance, makabentuk matriks menjadi
−
− −
+ −
− +
− −
+ −
− =
−
+ +
1 3
2 1
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
T u
u u
u u
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
R R
n n
n n
n n
n
2.85 {R} = [k] {u} – {T}
54
Universitas Sumatera Utara
Jika dilihat pada Gambar 2.22 , maka diketahui benda diikat ada pada node 1 dan Pn+1 maka, maka baris pertama dan kelima pada persamaan 2.85 haruslah
u
1
=0 dan u
n+1
=0. Maka dengan menggunakan kondisi batas tersebut didapatkan bentuk persamaan matriks
=
− +
− −
+ −
− +
−
+
1 1
1 3
2 1
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
T u
u u
u u
k k
k k
k k
k k
k k
k k
n n
n n
2.86
Dikarenakan dalam suatu elemen terdapat dua node, dan setiap nodenya berhubungan dengan perubahan temperatur, maka perlu membuat dua persamaan
untuk setiap elemennya seperti yang terlihat pada Gambar 2.24
Node i
Node i+1 f
i
=k
eq
u
i+1
-u
i
f
i+1
=k
eq
u
i+1
-u
i
Node i
Node i+1 f
i
=k
eq
u
i
-u
i+1
f
i+1
=k
eq
u
i+1
-u
i
atau
Gambar 2.24 Gaya-gaya pada sebuah elemen
[7]
Dengan prinsip kesetimbangan dimana fi + fi+1 haruslah nol. Maka dapat dituliskan gaya-gaya yang bekerja pada node I dan i+1 adalah
1 1
1 i
i eq
i i
i eq
i
u u
k f
u u
k f
− =
− =
+ +
+
2.87
Persamaan 2.87 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
− −
=
+ +
1 1
i i
eq eq
eq eq
i i
u u
k k
k k
f f
2.88
55
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan persamaan 2.88 maka untuk tiap elemen dan kemudian disatukan kedalam bentuk formasi matriks global. Matriks untuk elemen 1
adalah :
[ ]
− −
=
1 1
1 1
1
k k
k k
K
dan bentuknya dalam matriks global adalah
[ ]
1 3
2 1
1 1
1 1
1
+
− −
=
n n
u u
u u
u k
k k
k K
Perubahan temperatur ditunjukkan pada matriks global untuk membantu dalam melihat pengaruh node terhadap elemen disebelahnya. Sama dengan elemen 1
maka untuk elemen selanjutnya
[ ]
− −
=
2 2
2 2
2
k k
k k
K
Posisinya dalam matriks global
[ ]
1 3
2 1
2 2
2 2
2
+
− −
=
n n
u u
u u
u k
k k
k K
[ ]
− −
=
3 3
3 3
3
k k
k k
K
Dan posisinya dalam bentuk matriks global
[ ]
1 3
2 1
3 3
3 3
3
+
− −
=
n n
u u
u u
u
k k
k k
K
Dan
56
Universitas Sumatera Utara
[ ]
− −
=
4 4
4 4
4
k k
k k
K
Bentuknya dalam matriks global
[ ]
1 3
2 1
4 4
4 4
4
+
− −
=
n n
u u
u u
u
k k
k k
K
Bentuk akhir dalam matriks global lokal jika digabungkan, atau ditambahkan, digabungkan untuk setiap elemennya dalam bentuk matriks global
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
4 3
2 1
K K
K K
K
G
+ +
+ =
[ ]
− −
+ −
− +
− −
+ −
− =
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
K
G
2.89
Dapat dilihat bahwa persamaan matriks global yang diperoleh menggunakan deskripsi tiap elemen pada persamaan 2.89 identik dengan persamaan global
yang ditentukan dengan diagram benda bebas pada persamaan 2.85. Jika didapat beban di node 3 , maka bentuk matriks globalnya menjadi
[ ]
=
− +
− −
+ −
− +
− =
+
o T
u u
u u
u
k k
k k
k k
k k
k k
k k
K
n n
G
1 1
1 1
1 1
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
2.90
Sehingga dapat disimpulkan, formula metode elemen hingga selalu mengacu kepada bentuk persamaan umum :
[matriks global K]{matriks perpindahan} = {matriks beban}
57
Universitas Sumatera Utara
BAB III METODE PENELITIAN
