Laju Perubahan pada Partikel Fluida dan Elemen Fluida

Atau dalam notasi yang lebih panjang ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + z w y v x u 2.37

2.10 Laju Perubahan pada Partikel Fluida dan Elemen Fluida

Hukum konservatif momentum dan energi membuat persetujuan akan perubahan sifat sebuah partikel fluida. Setiap sifat pada sebuah partikel adalah sebuah fungsi dari posisi x,y,z dari partikel dan waktu t. Nilai suatu sifat per unit massa dinotasikan sebagai ϕ. Turunan total dari ϕ terhadap waktu pada partikel fluida, dituliskan sebagai D ϕDt adalah t z z t y y t x x t Dt D ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ = φ 2.38 Sebuah partikel fluida akan mengalir, sehingga dxdt=u, dydt=v dan dzdt=w. oleh karena itu turunana subtantif dari ϕ dinyatakan sebagai : φ . ∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ ∂ φ φ grad u w z v y u x t Dt D = + + + = 2.39 D ϕDt didefinisikan laju perubahan sifat ϕ per unit massa. Dalam masalah persamaan konservatif massa, persamaan dikembangkan untuk laju perubahan per unit volume. Laju perubahan sifat ϕ per unit volume untuk suatu partikel fluida dinyatakan sebagai hasil dari D ϕDt dan densitas ρ, oleh karena itu + = φ . ∂ ∂ φ ρ φ ρ grad u t Dt D 2.40 Persamaan konservatif massa mengandung massa per unit volume contoh: densitas ρ sebagai jumlah yang dikonservasi. Total laju perubahan densitas dan konfektif dalam persamaan konservatif massa untuk sebuha elemen fluida adalah ρ ∂ ∂ ρ u div t + Dengan mengkondisikan terhadap berbagai sifat adalah ρφ ∂ ρφ ∂ u div t + 2.41 32 Universitas Sumatera Utara Persamaan 2.41 menunjukkan laju perubahan dari ϕ per unit volume dijumlahkan dengan jumlah aliran ϕ keluar elemen fluida per unit volume. Sekarang kembali ditulis ulang untuk mengilustrasikan hubungan dengan turunan derifatif dari ϕ: Dt D u div t grad u t u div t φ ρ ρ ρ φ φ φ ρ ρφ ρφ =     + ∂ ∂ +     + ∂ ∂ = + ∂ ∂ . 2.42 Kondisi     + ∂ ∂ u div t ρ ρ φ = 0 disebabkan konservasi massa. Dalam kata lain. Hubungan persamaan 2.42 dinyatakan sebagai Laju peningkatan ϕ dari elemen fluida + jumlah laju aliran ϕ keluar elemen fluida = laju peningkatan ϕ untuk sebuah partikel fluida Untuk mengkonstruksi komponen-komponen persamaan momentum dan energi berkaitan dengan ϕ dan laju perubahan per unit volume seperti yang didefiniskan oleh persamaan 2.42 dan 2.40 dapat dilihat pada table 2.2 Tabel 2.2 Persamaan momentum dan energi Momentum-x y Dt Du ρ     + ∂ ∂ uu div t u ρ ρ φ Momentum-y v Dt Dv ρ     + ∂ ∂ vu div t v ρ ρ φ Momentum-z w Dt Dw ρ     + ∂ ∂ wu div t w ρ ρ φ Energi E Dt DE ρ     + ∂ ∂ Eu div t E ρ ρ φ 33 Universitas Sumatera Utara

2.11 Persamaan Momentum