dengan mensubtitusikan persamaan 2.52 dan persamaan 2.48 dan beberapa pengaturan ulang dihasilkan persamaan total entalpi:
h zz
yz xz
zy yy
xy zx
yx xx
o o
S t
p T
kgrad div
z w
y w
x w
z v
y v
x v
z u
y u
x u
u h
div t
h
+ ∂
∂ +
+
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= +
∂ ∂
. .
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ ρ
ρ
2.59
2.13 Konduksi Transien
Untuk konduksi transien dibentuk oleh persamaan S
x T
k x
t T
c +
∂ ∂
∂ ∂
= ∂
∂ ρ
2.60
Sebagai tambahan biasanya ditambahkan variabel panas spesifik c JkgK dari material.
W
wP
x
δ
Pe
x
δ
P E
e w
Gambar 2.20 Kontrol volume untuk kondisi satu dimensi
[11]
Untuk kondisi satu dimensi seperti pada Gambar 2.20, integral dari persamaan 2.60 terhadap batas control volume dan interval waktu
t hingga t+Δt adalah
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Δ Δ
Δ
. .
∂ ∂
∂ ∂
. δ
δ ρ
t t
t CV t
t t
CV t
t t
CV
dt sdV
dt dV
x T
k x
dt dV
t T
c
+ +
+
+ =
=
Atau dapat ditulis
∫ ∫
∫ ∫
Δ Δ
Δ
. Δ
∂ ∂
∂ ∂
δ δ
ρ
t t
t w
e t
t t
t t
t e
w
dt V
S dt
x T
kA x
T kA
dV dt
t T
c
+ +
+
+
=
2.61
42
Universitas Sumatera Utara
Pada persamaan 2.61, A adalah luas permukaan dari control volume , ΔV adalah
volume , yang mana besarnya sama dengan AΔx dimana Δx adalah lebar dari
control volume, dan S adalah kekuatan rata-rata source. Jika node pada temperatur diasumsikan merata disemua kontrol volume, pada sisi kiri dapat dituliskan
V T
T c
dV dt
t T
c
o p
p t
t t
CV
∆ −
=
∫ ∫
∆ +
ρ δ
δ ρ
2.62
Pada persamaan 2.62 superskrip ‘o’ mengacu pada temperatur pada waktu t; temperatur
pada waktu t + Δt tidak di subskrip. Jika kita menerapkan pusat perbedaan untuk kondisi difusi pada sisi kanan persamaan 2.61 dapat dituliskan
V T
T c
dt V
S dt
T T
A k
T T
A k
o p
p t
t t
XWP W
P w
XPE P
E e
t t
t
∆ −
= ∆
+
−
−
−
∫ ∫
∆ +
∆ +
.
ρ δ
δ 2.63
Untuk mengevaluasi sisi kanan dari persamaan kita perlu membuat suatu asumsi mengenai variasi dari T
P
, T
E
dan T
W
dengan waktu. Kita dpat menggunakan temperatur
pada waktu t atau pada waktu t + Δt untuk menghitung penigkatan waktu atau , mengkombinasikan temperatur
pada waktu t dan t + Δt. Kita dapat menyamaratakan pendekatan dengan c
ara menggunakan parameter θ yang nilainya antara 0 dan 1 dan menulis integral I
T
dari temperatur T
P
terhadap waktu
[ ]
t T
T dt
T I
P P
t t
t P
t
∆ −
+ =
=
∫
∆ +
1
θ θ
2.64
Oleh karena itu dengan mensubtitusikan nilai θ terhadap persamaan 2.64, maka
dapat ditulis beberapa persamaan baru yang dapat dilihat pada tabel 2.3
Tabel 2.3 H asil dari pendekatan persamaan parameter θ
θ 0,5
1 I
T
t T
o P
∆ t
T T
o P
P
∆ +
2 1
t T
P
∆
43
Universitas Sumatera Utara
Dapat menggaris bawahi nilai dari integral I
T
; jika θ=0 temperatur pada waktu t digunakan; jika θ=1 temepratur pada waktu yang baru t+Δt digunakan; dan jika
θ=12, temperatur pada t dan t+Δt bernilai sama.
Menggunakan persamaan 2.64 untuk T
W
dan T
E
pada persamaan 2.63 dan membaginya dengan AΔt, diperoleh:
x S
T T
k T
T k
T T
k T
T k
x t
T T
c
XWP W
o P
W XPE
P o
E e
XWP W
P W
XPE P
E e
o P
P
∆ +
− −
− −
+
−
− −
= ∆
∆ −
δ δ
θ δ
δ θ
ρ
1 2.65
Kita dapat mengatur ulangnya mejadi bentuk
[ ]
[ ]
x S
T k
k t
x c
T T
k T
T k
T k
k t
x c
P XEP
W XPE
e W
W XEP
W E
E XPE
e P
XEP W
XPE e
∆ +
− −
− −
∆ ∆
+ −
+ +
− +
=
+
+ ∆
∆
\
1 1
1 1
δ θ
δ θ
ρ θ
θ δ
θ θ
δ δ
δ θ
ρ
2.66
Sekarang identifikasikan koeffisien T
W
dan T
E
sebagai a
W
dan a
E
dan menulis persamaan 2.66 menjadi bentuk yang lebih mudah:
[ ] [
] [
]
b T
a a
a T
T a
T T
a T
a
o P
E W
o P
o E
E E
o W
W W
P P
+ −
− −
− +
− +
+ −
+ =
1 1
1 1
θ θ
θ θ
θ θ
2.67
dimana
o P
E W
P
a a
a a
+ +
= θ
, b =
x S
∆
, a
E
=
XPE e
k δ
,a
W
=
XWP W
k
δ , dan
t x
c a
o P
∆ ∆
= ρ
Bentuk akhir dari persamaan diskretisasi bergantung pada nilai θ. Dimana
θ bernilai 0, kita hanya menggunakan temperatur TPo, Two dan TEo pada waktu t persamaan 2.67 untuk menentukan TP pada waktu yang waktu yang baru. Hasil
dari skema ini disebut eksplisi t. Dimana 0θ≤1 waktu yang baru digunakan pada
persamaan; hasil dari skema ini disebut implisit. Untuk kasus dimana θ=1
dinamakan implis it penuh dan kasus untuk θ=12 disebut skema Crank-Nicolson.
44
Universitas Sumatera Utara
2.13.1 Skema Eksplisit Pada skema eksplisit sumber dilinirkan sebagai b=S
u
+S
P
T
P o
. mensubtitus
ikan θ=0 kedalam persamaan 2.67 memberikan diskretisasi eksplisit dari persamaan perpindahan panas konduski transien:
[ ]
u o
P P
E W
o P
o E
E o
W W
P P
S T
S a
a a
T a
T a
T a
+ −
+ −
+ +
= 2.68
Dimana a
P
= a
P o
, a
E
=
XPE e
k
δ , a
W
=
XWP W
k
δ dan
t x
c a
o P
∆ ∆
= ρ
2.13.2 Skema Crank Nicolson Metode Crank-Nicolson diperoleh dari mengatur
nilai θ=12 pada persamaan 2.67. Sekarang persamaan diskretisasi konduksi transien adalah :
b T
a a
a T
T a
T T
a T
a
o P
W E
o P
W W
W E
E E
P P
+
−
− +
+ +
+ =
2 2
2 2
2.69
Dimana
P o
P E
W P
S a
a a
a 2
1 2
1 −
+ +
= ,b =
2 1
p P
u
T S
S +
, a
E = XPE
e
k δ
, a
W =
XWP W
k
δ dan
t x
c a
o P
∆ ∆
= ρ
2.13.3 Skema Implisit Penuh K
etika nilai θ diatur sama dengan 1 , diperoleh skema implisit penuh. Persamaan menjadi
u o
P o
P E
E W
W P
P
S T
a T
a T
a T
a +
+ +
= 2.70
Dimana
P E
W o
P P
S a
a a
a −
+ +
= ,
t x
c a
o P
∆ ∆
= ρ
, a
W=
XWP W
k
δ dan a
E =
XPE e
k
δ
Metode implisit penuh direkomendasikan untuk perhitungan CFD dengan tujuan yang umum dikarenakan hasil perhitungan yang stabil.
45
Universitas Sumatera Utara
Untuk masalah 2 dimensi 2D persamaan 2.60 dapat dikembangkan menjadi sebuah persamaan baru menjadi
S y
k y
x k
x t
c
∂
∂ ∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
= ∂
∂ φ
φ φ
ρ 2.71
Jika persamaan 2.71 dideskritisasikan terhadap kontrol volume, persamaan yang dihasilkan adalah :
u o
P o
P N
N S
S E
E W
W P
P
S T
a a
a a
a a
+ +
+ +
+ =
φ φ
φ φ
φ 2.72
Dimana
P o
p N
S E
W P
S a
a a
a a
a −
+ +
+ +
=
dan t
V c
a
o P
∆ ∆
= ρ
W
wP
x
δ
Pe
x
δ
we
x δ
P E
e w
S N
s n
sn
y
δ
P n
y
δ
sP
y
δ
Gambar 2.21 Kontrol volume untuk situasi dua dimensi
[11]
Dimana koeffisien a
W
, a
E
untuk masalah 1D, dan a
W
, a
E
, a
S
, a
N
untuk 2D seperti dapat dilihat pada Gambar 2.20, serta a
W
, a
E
, a
S
, a
N
, a
B
, a
T
untuk 3D; b=S
u
+S
p
ϕ
p
adalah sumber. Hasil dari koeffisien-koeffisien yang diberikan adalah :
46
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.4 implisit untuk 1D, 2D, dan 3D a
W
a
E
a
S
a
N
a
B
a
T
1D
WP W
W
x A
δ
Γ
PE e
e
x A
δ
Γ
- -
- -
2D
WP W
W
x A
δ
Γ
PE e
e
x A
δ
Γ
SP s
s
y A
δ
Γ
PN n
n
y A
δ
Γ
- -
3D
WP W
W
x A
δ
Γ
PE e
e
x A
δ
Γ
SP s
s
y A
δ
Γ
PN n
n
y A
δ
Γ
BP b
b
z A
δ
Γ
PT t
t
z A
δ
Γ
Nilai untuk volume dan luas permukaan cell untuk ketiga kasus:
Tabel 2.5 Nilai volume dan luas permukaan cell 1D
2D 3D
ΔV Δx ΔxΔy ΔxΔyΔz
Aw = Ae 1
Δy ΔyΔz
An = As -
Δx ΔxΔz
Ab = At -
- ΔxΔy
2.14 Konveksi Transien
