2.12 Persamaan-Persamaan Energi
Persamaan energi diturunkan dari hukum pertama termodinamika yang mana menyebutkan bahwa laju perubahan energi sebuha partikel fluida sama
dengan laju pertambahan panas ke partikel fluida ditambah dengan laju kerja yang dilakukan pada partikel.
Laju pertambahan energi pada partikel fluida = jumlah total panas yang ditambahkan ke partikel fluida + jumlah total kerja yang dilakukan pada partikel
fluida
Seperti sebelumnya dimana untuk menurunkan sebuah persamaan dari laju pertambahan energi dari sebuah partikel fluida per unit volume dinyatakan
sebagai Dt
DE ρ
2.47
2.12.1 Kerja Yang Dilakukan Oleh Gaya Permukaan Laju kerja yang dilakukan pada partikel fluida di elemen disebabkan
sebuah tegangan permukaan adalah sama dengan produk gaya dan kecepatan komponen dalam arah pada gaya yang bekerja. Sebagai contoh, gaya yang
diberikan pada persamaan 2.44a,b,c semuanya bergerak pada arah x. Maka kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya tersebut dinyatakan sebagai
y x
z z
u u
z z
u u
z x
y y
u u
y y
u u
z y
x x
u u
x x
pu pu
x x
u u
x x
pu pu
zx zx
zx zx
yx yx
yx yx
xx xx
xx xx
∂ ∂
∂ ∂
+ +
∂ ∂
− −
+ ∂
∂
∂ ∂
+ +
∂ ∂
− −
+ ∂
∂
∂ ∂
+ +
∂ ∂
+ −
∂ ∂
− −
∂ ∂
−
δ τ
τ δ
τ τ
δ τ
τ δ
τ τ
δ τ
τ δ
δ τ
τ δ
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
Jumlah kerja yang dilakukan oleh gaya permukaan ini yang bekerja pada arah dinyatakan sebagai
37
Universitas Sumatera Utara
[ ]
z y
x z
u y
u x
p u
zx yx
xx
δ δ
δ τ
τ τ
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ +
− ∂
2.48a
Tegangan permukaan pada komponen-komponen pada arah y dan z juga melakukan kerja pada partikel fluida. Pengulangan dari proses diatas memberikan
tambahan laju kerja yang dilakukan pada partikel fluida yang diakibatkan kerja yang dilakukan oleh gaya permukaan tersebut :
[ ]
z y
x z
v y
p v
x v
zy yy
xy
δ δ
δ τ
τ τ
∂ ∂
+ ∂
+ −
∂ +
∂ ∂
2.48b Dan
[ ]
z y
x z
p w
y w
x w
zz yz
xz
δ δ
δ τ
τ τ
∂ +
− ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
2.48c
Total laju kerja yang dilakukan per unit volume pada partikel fluida oleh semua gaya permukaan dnyatakan oleh penjumlahan persamaan 2.48a,b,c yang dibagi
oleh volum e δxδyδz. Dalam kondisi terdapat tekanan di setiap arah maka tekanan
dapat di satukan bersaman dan ditulis lebih ringkas dalam bentuk vektor : pu
div z
wp y
vp x
up −
= ∂
∂ −
∂ ∂
− ∂
∂ −
Sehingga total laju kerja yang dilakukan pada partikel fluida disebabkan tegangan-tegangan permukaan:
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ −
z w
y w
x w
z v
y v
x v
z u
y u
x u
pu div
zz yz
xz zy
yy xy
zx yx
xx
] [
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ
2.49
38
Universitas Sumatera Utara
2.12.2 Fluks Energi Akibat Panas Flux panas heat flux vekor q memiliki tiga komponen qx, qy dan qz
x y
z
x x
q q
x x
δ 2
1 ∂
∂ −
x x
q q
x x
δ
2 1
∂ ∂
+ z
z q
q
z z
δ 2
1 ∂
∂ +
z z
q q
z z
δ
2 1
∂ ∂
− y
y q
q
y y
δ 2
1 ∂
∂ +
y y
q q
y y
δ 2
1 ∂
∂ −
Gambar 2.19 Komponen dari vektor heat flux
[11]
Jumlah perpindahan panas ke partikel fluida disebabkan aliran panas pada arah x dinyatakan oleh perbedaan antara laju panas masuk melewati permukaan W dan
laju panas yang hilang melewati permukaan E:
z y
x x
q z
y x
x q
q x
x q
q
x x
x x
x
δ δ
δ δ
δ δ
δ
∂ ∂
− =
∂ ∂
+ −
∂ ∂
− 2
1 2
1
2.50a
Maka jumlah laju perpindahan panas ke fluida akibat aliran panas dalam arah y dan z adalah :
z y
x y
q
y
δ δ
δ
∂ ∂
− dan
z y
x z
q
z
δ δ
δ ∂
∂ −
2.50b-c
Total laju panas yang ditambahkan ke partikel fluida per unit volume akibat alirna panas melewati batas boundaries merupakan penjumlahan dari persamaan
2.50a,b,c yang dibagi oleh volume δxδyδz.
q div
z q
y q
x q
z y
x
− =
∂ ∂
− ∂
∂ −
∂ ∂
− 2.51
39
Universitas Sumatera Utara
Hukum Fourier untuk panas konduksi behubungan dengan heat flux pada gradient temperatur lokal. Sehingga
x T
k q
x
∂ ∂
− =
y T
k q
y
∂ ∂
− =
z T
k q
z
∂ ∂
− =
Ini dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut : Q = -k grad T
2.52
Menggabungkan persamaan 2.51 dan 2.52 memperoleh bentuk akhir dari laju panas yang ditambahkan ke partikel fluida akibat panas konduksi yang melewati
batas elemen: -div q = div k grad T
2.53
2.12.3 Persamaan Energi Sumber source energi per unit volume per unit waktu pada momentum
dinyatakan dalam S
E
. Dimana energi pada partikel fluida dipastikan dengan menyamakan laju perubahan energi partikel fluida dengan total laju kerja yang
dilakukan pada partikel fluida dan total laju panas yang ditambahkan pada fluida dan laju pertambahan energi. Persamaan energi dinyatakan sebagai :
E zz
yz xz
zy yy
xy zx
yx xx
S T
kgrad div
z w
y w
x w
z v
y v
x v
z u
y u
x u
pu div
Dt DE
+ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ −
= τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
ρ 2.54
Pada persamaan 2.54 nilai E = I + ½ u
2
+ v
2
+ w
2
Walaupun persamaan 2.54 merupakan persamaan energi yang sangat layak, tapi source dapat dirubah menjadi mechanical energi kinetik untuk
memperoleh sebuah persamaan untuk energi dalam i atau temperaut T. bagian dari persamaan energi dapat dijadikan acuan terhadap energi kinetik dapat diperoleh
dengan mengalikan persamaan x momentum dengan komponen kecepatan u, persamaan y momentum dengan v dan persamaan momentum z dengan w dan
40
Universitas Sumatera Utara
menambahkan hasilnya bersamaan. Hal ini menghasilkan persamaan konservasi untuk energi kinetic:
M zz
yz xz
zy yy
xy zx
yx xx
S u
z y
x w
z y
x v
z y
x u
p grad
u Dt
w v
u D
. .
2 1
2 2
2
+
∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+
∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
− =
+ +
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ ρ
2.55
Dengan melakukan subtraksi antara persamaan 2.54 dan 2.55 dan mendefiniskan sebuah sumber baru sebagai S
i
= S
E
– u.S
M
menghasilkan persamaan energi dalam
i zz
yz xx
zy yy
xy zx
yx xx
S z
w y
w x
w z
v y
v x
v z
u y
u x
u T
grad k
div u
div p
Dt Di
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
+ −
=
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ ρ
. .
2.56
Dalam kondisi spesial sebuah fluida inkompresibel memiliki nilai i = cT, dimana c adalah panas spesifik, dan div u =0. Ini mengakibatkan pengulangan kembali
persamaan 2.56 menjadi persamaan temperatur
i zz
yz xx
zy yy
xy zx
yx xx
S z
w y
w x
w z
v y
v x
v z
u y
u x
u T
grad k
div Dt
DT c
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
=
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ ρ
.
2.57
Untuk aliran kompresibel persamaan 2.54 sering diatur ulang untuk memberikan sebuah persamaan entalpi. Panas spesifik h dan total entalpi spesifik h
o
sebuah fluida didefiniskan sebagai :
h = I + pρ dan h
o
= h + ½ u
2
+ v
2
+ w
2
mengkombinasikan dua definisi ini menjadi satu untuk energi spesifik E diperoleh ho = I + pρ + ½ u
2
+ v
2
+ w
2
= E + pρ 2.58
41
Universitas Sumatera Utara
dengan mensubtitusikan persamaan 2.52 dan persamaan 2.48 dan beberapa pengaturan ulang dihasilkan persamaan total entalpi:
h zz
yz xz
zy yy
xy zx
yx xx
o o
S t
p T
kgrad div
z w
y w
x w
z v
y v
x v
z u
y u
x u
u h
div t
h
+ ∂
∂ +
+
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= +
∂ ∂
. .
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ ρ
ρ
2.59
2.13 Konduksi Transien