4.3. Fungsi fungsi gelombang Osilator Anharmonik
Persamaan fungsi gelombang Schrodinger untuk Osilator Anharmonik dengan energi potensial Vx = Ax
4
, dituliskan sebagai berikut:
−
ħ
�
��
Ψ’’z + Az
4
Ψz = E Ψz 4.20
Dimana m adalah massa partikel dan E adalah energi total. Dengan
Ψz = Ψxα = ѱx, maka bentuk persamaan 4.20 ini menjadi: −
ħ
�
�� �
2
ѱx ��
2
+ Az
4
ѱx = E ѱx −
ħ
�
�� �
2
ѱx ��
2
+ Az
4
ѱx - E ѱx = 0 Untuk mempermudah solusi, kita sederhanakan persamaan 4.20 dengan
memperkenalkan kuantitas yang disingkat sebagai berikut ini:
x = αz dimana ∝
6
=
2 ��
ħ
2
4.21
λ =
2 ��
ħ
2
�
2
= E
2 �
ħ
2
23
A
-13
4.22
Persamaan 4.20 kita kalikan dengan −
2 �
ħ
sehingga diperoleh:
�
2
ѱx ��
2
+
�� ħ
�
E - Az
4
ѱx = 0
�
2
ѱx ��
2
+
�� ħ
�
E - A
�
4
∝
4
ѱx = 0
�
2
ѱx ��
2
+
��� ħ
�
-
��� ħ
�
�
4
∝
4
ѱx = 0
�
2
ѱx ��
2
+
��� ħ
�
- ∝
6 �
4
∝
4
ѱx = 0
�
2
ѱx ��
2
+
��� ħ
�
- ∝
2
�
4
ѱx = 0 4.23
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan nilai λ pada persamaan 4.22 dan mengalikan [
∝
2
∝
2
] kedalam persamaan 4.23, maka diperoleh:
�
2
ѱx ��
2
+
��� ħ
�
∝
2
. ∝
2
- ∝
2
�
4
ѱx = 0
�
2
ѱx ��
2
+ λ∝
2
- ∝
2
�
4
ѱx = 0
�
2
ѱx ��
2
+ ∝
2
λ -�
4
ѱx = 0 4.24
Untuk α = 1, maka persamaan 4.24 menjadi:
�
2
ѱx ��
2
+ λ -�
4
ѱx = 0 4.25
Persamaan 4.25 ini memiliki bentuk yang sama dengan Persamaan 4.8 yang merupakan persamaan diferensial untuk osilator anharmonik pada mekanika
kuantum dengan energi potensial, Vx = Ax
4
. Persamaan 4.25 merupakan kelipatan dari persamaan 4.8, sehingga diperoleh
hubungan: Ѱ
n
x = K �
�
x 4.26
Jika kita substitusi nilai �
�
x pada persamaan 4.17 ke dalam persamaan 4.26, maka kita peroleh fungsi gelombang Osilator Anharmonik untuk n = genap
sebagai berikut:
Ѱ
n
x = K �
−�
2
2
{H
n
x + a x
4
[-
2 4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-nx
2
+ …]} 4.27
Dengan menggumakan Matlab, grafik persamaan fungsi gelombang persamaan 4.27 dapat di plot sebagai berikut ini:
Universitas Sumatera Utara
Kemudian kita substitusi nilai �
�
x pada persamaan 4.19 ke dalam persamaan 4.26, maka kita peroleh fungsi gelombang Osilator Anharmonik untuk n = ganjil
sebagai berikut:
Ѱ
n
x = K �
−�
2
2
{H
n
x + a x
5
[-
3 5
+
1 7
5 –
5 3
21-n – 325-nx
2
+ …]} 4.28
Dengan menggumakan Matlab, grafik persamaan fungsi gelombang persamaan 4.28 dapat di plot sebagai berikut ini:
Universitas Sumatera Utara
4.4. Tingkat tingkat energi Osilator Anharmonik
Kategori