�
� ′′
+ 2 ��
�
+ �
�
− �
4
�
�
= 0 �
� ′′
+ 2 � + 1 − �
4
�
�
= 0 4.8
Persamaan 4.8 ini merupakan persamaan diferensial untuk osilator anharmonik pada mekanika kuantum dengan energi potensial, Vx = Ax
4
.
4.2 Solusi Analitik
Prosedur baku untuk memecahkan persamaan diferensial seperti persamaan 4.3 adalah dengan menganggap bahwa yx dapat diuraikan dengan deret pangkat x
sebagai berikut: yx = x
k
� +
�
1
� + �
2
x
2
+ �
3
x
3
+ …
yx = ∑
�
�
�
�+� ∞
�=0
, a ≠ 0 4.9
Turunan pertama dari yx adalah: �
′
� = ∑ �
�
� + ��
�+�−1 ∞
�=0
4.10
Turunan kedua dari yx adalah: �
′′
� ∑ �
�
� + �� + � − 1�
�+�−2 ∞
�=0
4.11
Kemudian kita substitusikan kembali persamaan 4.9, persamaan 4.10, persamaan 4.11 ke dalam persamaan 4.3 sehingga akan diperoleh:
�
′′
− 2��
′
+ 2 � + �
2
− �
4
� = 0
∑ �
�
� + �� + � − 1�
�+�−2 ∞
�=0
- 2x { ∑
�
�
� + ��
�+�−1 ∞
�=0
} + 2
� + �
2
− �
4
∑ �
�
�
�+� ∞
�=0
= 0 ∑
�
�
� + �� + � − 1�
�+�−2 ∞
�=0
– 2
∑ �
�
� + ��
�+� ∞
�=0
+ 2n
∑ �
� ∞
�=0
�
�+�
+ ∑
�
�
�
�+�+2 ∞
�=0
− ∑ �
�
�
�+�+4 ∞
�=0
= 0 4.12
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan 4.12 ini, kita substitusi; m = j + 2 untuk penjumlahan pertama
m = j untuk penjumlahan kedua m = j untuk penjumlahan ketiga
m = j - 2 untuk penjumlahan keempat m = j – 4 untuk penjumlahan kelima
Sehingga akan diperoleh: ∑
�
� +2
� + � + 2� + � + 2 − 1�
�+�+2−2 ∞
�=0
– 2
∑ �
�
� + ��
�+� ∞
�=0
+ 2n
∑ �
� ∞
�=0
�
�+�
+ ∑
�
�−2
�
�+�−2+2 ∞
�=0
− ∑ �
�−4
�
�+�−4+4 ∞
�=0
= 0 ∑
�
� +2
� + � + 2� + � − 1�
�+� ∞
�=0
– 2
∑ �
�
� + ��
�+� ∞
�=0
+ 2n
∑ �
� ∞
�=0
�
�+�
+ ∑
�
�−2
�
�+� ∞
�=0
− ∑ �
�−4
�
�+� ∞
�=0
= 0 ∑
[ �
�+2
� + � + 2� + � + 1
∞ �=0
– 2 �
�
� + �+ 2n�
�
+ �
�−2
− �
� −4
] �
�+�
= 0 ∑
[ �
�+2
� + � + 2� + � + 1
∞ �=0
–2 �
�
� + �-n+ �
� −2
− �
�−4
] �
�+�
= 0 4.13
Supaya persamaan 4.13 ini berlaku untuk setiap x, maka kuantitas dalam tanda kurung harus nol untuk setiap harga n, sehingga kita dapatkan persyaratan sebagai
berikut: �
� +2
� + � + 2� + � + 1 – 2�
�
� + � - n+ �
�−2
− �
� −4
= 0 �
� +2
� + � + 2� + � + 1 = 2�
�
� + � - n− �
� −2
+ �
� −4
�
� +2
=
�
�−4
− �
�−2
+ 2 �
�
�+� −� �+� +2�+� +1
4.14
Persamaan 4.14 adalah merupakan rumus rekursi untuk koefisien �
�
. Rumus rekursi ini memungkinkan kita untuk mencari koefisien
�
2
, �
3
, �
4
, �
5
, … Tetapi sebelumnya kita perhatikan persamaan 4.12, pangkat terendah dari x
adalah x
k-2
untuk m = 0 pada penjumlahan yang pertama.
Universitas Sumatera Utara
Penjumlahan pertama dipilih karena hanya pada penjumlahan pertama yang dapat menghasilkan 2 nilai k yang berfungsi untuk memperoleh fungsi genap dan fungsi
ganjil dalam rumus rekursi. Kita substitusi nilai m = 0 pada penjumlahan pertama persamaan 4.12 maka
diperoleh: �
�
� + �� + � + 1 = 0 �
�� − 1 = 0 Sehingga kita peroleh nilai :
k = 0 untuk j
genap
k = 1 untuk j
ganjil
. •
untuk k = 0 dan j
genap
dimulai dari 0, 2, 4, … pada persamaan 4.14 kita peroleh:
Rumus dasar: �
� +2
=
�
�−4
− �
�−2
+ 2 �
�
�+� −� �+� +2�+� +1
j = 0
→
a
2
=
�
−4
− �
−2
+ 2 �
−� 2.1
=
2 �
−�
2
a
2
=
� 2
2-n
j = 2
→
a
4
=
�
−2
− � + 2
�
2
2 −�
4.3
;
kita substitusi nilai a
2
, sehingga di peroleh:
=
− � +2
�
�0 2
. 2 −��2−�
4
1 2
x
2 2
a
4
=
� 4
[-2 + 2
2
-n2-n]
j = 4
→
a
6
=
� − �
2
+ 2 �
4
4 −�
4.5
;
kita substitusi nilai a
2
dan nilai a
3
, diperoleh:
=
� −
�0 2
. 2 −�+ 2
�0 4
[ −2+ 2
2
−�2−�]4−� 6 .
1 4
.
4 4
a
6
=
� 6
[4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n + 2
3
-n2-n4-n]
Universitas Sumatera Utara
Catatan: Nilai a terendah yang diijinkan adalah a
nilai a negative dianggap tidak ada karena dari persamaan awal:
∑ �
�
� + �� + � − 1 …
∞ �=0
dst, nilai a terkecil adalah a
.
Kemudian nilai koefisien �
2
, �
4
, �
6
ini kita substitusikan kedalam persamaan 4.9 sehingga diperoleh:
yx = ∑
�
�
�
�+� ∞
�=0
y
genap
= �
�
�
+ �
2
�
�+2
+ �
4
x
�+4
+ �
6
x
�+6
+ … untuk k = 0, diperoleh:
y
genap
= �
+ �
2
�
2
+ �
4
x
4
+ �
6
x
6
+ … y
genap
= �
+
� 2
2-n �
2
+
� 4
[-2 + 2
2
-n2-n] x
4
+
� 6
[4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n + 2
3
-n2-n4-n] x
6
+ …
y
genap
= a [1+
1 2
2-nx
2
+
1 4
-2 + 2
2
-n2-nx
4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n + 2
3
-n2-n4-nx
6
+ …] 4.15
Melalui persamaan 4.15 kita akan memperoleh beragam parameter yang disebut dengan Polinomial Hermite untuk n = genap sebagai berikut:
y
genap
= a [1+
1 2
2-nx
2
+
1 4
2
2
-n2-nx
4
+
1 6
2
3
-n2-n4-nx
6
+ …] + a
[ −
2 4
x
4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-nx
6
+ …] 4.16
Tanda kurung siku pertama pada persamaan 4.16 merupakan bentuk Polinomial Hermite untuk n = genap, maka diperoleh bentuk sederhana persamaan 4.16
adalah sebagai berikut: y
genap
= {H
n
x + �
�
4
[-
2 4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n x
2
+ …]}
Kemudian nilai yx untuk genap kita subtitusikan kedalam persamaan 4.4 sehingga diperoleh persamaan baru sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
�
�
x = �
−�
2
2
{H
n
x + �
�
4
[-
2 4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n x
2
+ …]} 4.17
• untuk k = 1 dan j
ganjil
dimulai dari 1, 2, 3, … pada persamaan 4.14 kita peroleh:
j = 1
→
a
3
=
� 3
21-n j = 3
→
a
5
=
� 5
[-3 + 2
2
1-n3-n] Kemudian nilai koefisien
�
3
, �
5
, ini kita substitusikan kedalam persamaan 4.9 sehingga diperoleh:
yx = ∑
�
�
�
�+� ∞
�=0
y
ganjil
= �
1
�
�+2
+ �
3
�
�+4
+ …
untuk k = 1, diperoleh: y
genap
= �
1
�
3
+ �
3
�
5
+ … Dengan melakukan cara yang sama seperti mencari y
genap
kita juga dapat menentukan Polinomial Hermite untuk n = ganjil dan k = 1 sebagai berikut:
y
ganjil
= a [x +
1 3
21-nx
3
+
1 5
2
2
1-n3-nx
5
+
1 7
2
3
1-n3-n5-nx
7
+ …] + a
[-
3 5
x
5
+
1 7
5 –
5 3
21-n –
325-nx
7
+ …]
4.18
Tanda kurung siku pertama pada persamaan 4.18 merupakan bentuk Polinomial Hermite untuk n = ganjil, maka diperoleh bentuk sederhana persamaan 4.18
adalah sebagai berikut: y
ganjil
= {H
n
x + a [-
3 5
x
5
+
1 7
5 –
5 3
21-n – 325-nx
7
+ …] Kemudian nilai yx untuk ganjil kita subtitusikan kedalam persamaan 4.4
sehingga diperoleh persamaan baru sebagai berikut:
�
�
x = �
−�
2
2
{H
n
x + �
�
5
[-
3 5
+
1 7
5 –
5 3
21-n – 32 5-n x
2
+…]} 4.19
Universitas Sumatera Utara
4.3. Fungsi fungsi gelombang Osilator Anharmonik
