LAMPIRAN D
OSILATOR ANHARMONIK
Persamaan Schrodinger digunakan untuk menggambarkan berbagai macam sistem mekanika kuantum, walaupun sebenarnya tidak dapat diselesaikan kecuali untuk
beberapa model sederhana. Persamaan Schrodinger ini biasanya menggunakan persamaan linear dua variable yang diselesaikan dengan menggunakan metode
ekspansi deret pangkat persamaan diferensial, atau menggunakan operator tangga dalam mekanika kuantum. Pada osilator anharmonik, persamaan fungsi
gelombang schrodinger yang digunakan adalah sebagai berikut:
−
ħ
�
��
Ψ’’x + Ax
4
Ψx = E Ψx D.1
Untuk memecahkan persamaan ini dalam satu dimensi, pertama kita menggunakan persamaan diferensial orde dua, kemuadian dilanjutkan dengan
metode deret pangkat.
4.1. Persamaan Awal
Pertama kita perkenalkan persamaan linear dua variable sebagai berikut:
y
’’
– 2xy
’
+ 2n +x
2
– x
4
y = 0 D.2
ini bukan merupakan adjoint nya, melainkan untuk mempermudah memperkenalkan serangkaian fungsi abnormal
�
�
sebagai berikut:
�
�
= �
−�
2
2
. yx D.3
Dengan mensubstitusikan persamaan D.3 ke dalam persamaan D.2, maka akan diperoleh persamaan diferensial untuk
�
�
sebagai berikut: �′′
�
+ 2n+1-x
4
�
�
= 0 D.4
Universitas Sumatera Utara
Persamaan D.4 ini merupakan persamaan diferensial untuk osilator anharmonik mekanika kuantum dengan energy potensial Vx = Ax
4
.
4.2. Solusi Analitik
Dengan menggunakan metode deret pangkat, kita memperoleh solusi dari persamaan D.2 sebagai berikut:
yx = x
k
� +
�
1
� + �
2
x
2
+ �
3
x
3
+ …
yx = ∑
�
�
�
�+� ∞
�=0
, a ≠ 0 D.5
dimana eksponen k dan koefisien koefisien a
m
sudah ditentukan. Dengan menurunkan persamaan D.5 sebanyak dua kali, maka kita peroleh:
�� ��
= ∑
�
�
� + ��
�+�−1 ∞
�=0
,
�
2
� ��
2
= ∑
�
�
� + �� + � − 1�
�+�−2 ∞
�=0
D.6
Dengan mensubstitusikan persamaan D.6 kedalam persamaan D.2 maka kita peroleh:
∑ �
�
� + �� + � − 1�
�+�−2 ∞
�=0
– 2
∑ �
�
� + ��
�+� ∞
�=0
+ 2n
∑ �
� ∞
�=0
�
�+�
+ ∑
�
�
�
�+�+2 ∞
�=0
- ∑
�
�
�
�+�+4 ∞
�=0
= 0 D.7
Pangkat x terendah pada persamaan D.7 adalah: x
k-2
, untuk m=0 pada penjumlahan pertama. Keunikan dari deret pangkat memerlukan penghilangan
koefisien yang menghasilkan: �
kk-1 = 0 Dimana
� ≠ 0.
Jika �
= 1, maka kita peroleh:
kk-1 = 0 D.8
Universitas Sumatera Utara
persamaan D.8 ini merupakan persamaan indisial yang menghasilkan nilai k-0 atau k-1.
Jika kita tinjau kembali persamaan D.7 dan menetapkan m = j+2 pada penjumlaham yang pertama, kemudian m = j,m = j, m = j-2, m = j-4 berturut turut
pada penjumlahan kedua, ketiga, keempat dan kelima maka kita peroleh: a
j+2
k+j+2k+j+1 – 2a
j
k+j-n+a
j-2
– a
j-4
= 0
a
j+2
=
�
�−4
− �
�−2
+ 2 �
�
�+� −� �+� +2�+� +1
D.9
dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan D.8 untuk k = 0 dan j = bilangan genap, kita peroleh:
a
2
=
� 2
2-n a
4
=
� 4
[-2 + 2
2
-n2-n] a
6
=
� 6
[4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n + 2
3
-n2-n4-n] dan untuk k = 1 dan j = bilangan genap, kita peroleh:
a
2
=
� 3
21-n a
4
=
� 5
[-3 + 2
2
1-n3-n]
Pada kasus k = 0, semua nilai koefisiennya kita masukkan kedalam persamaan D.5, maka kita peroleh:
y
genap
= a [1+
1 2
2-nx
2
+
1 4
-2 + 2
2
-n2-nx
4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n + 2
3
-n2-n4-nx
6
+ …] D.10
melalui persamaan D.10, kita tentukan Polynomial Hermite untuk n = genap dan menghasilkan beragam parameter sebagai berikut:
y
genap
= a [1+
1 2
2-nx
2
+
1 4
2
2
-n2-nx
4
+
1 6
2
3
-n2-n4-nx
6
+ …] + a [
−
2 4
x
4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-nx
6
+ …] D.11
Universitas Sumatera Utara
dengan cara yang sama kita juga dapat menetukan Polinomial Hermite untuk n = ganjil dan k = 1 sebagai berikut:
y
ganjil
= a [x +
1 3
21-nx
3
+
1 5
2
2
1-n3-nx
5
+
1 7
2
3
1-n3-n5-nx
7
+ …] + a
[-
3 5
x
5
+
1 7
5 –
5 3
21-n – 325-nx
7
+ …] D.12
Tanda kurung siku pertama dari ruas kanan y
genap
dan y
ganjil
hanya menunjukkan bentuk dari polynomial hermite yang kemudian kita masukkan nilainya kedalam
persamaan D.3. Maka untuk n = genap kita peroleh:
�
�
x = �
−�
2
2
{H
n
x + �
�
4
[-
2 4
+
1 6
4 –
4 2
2-n – 2
2
4-n x
2
+ …]} D.13
Untuk n = ganjil kita peroleh:
�
�
x = �
−�
2
2
{H
n
x + �
�
5
[-
3 5
+
1 7
5 –
5 3
21-n – 32 5-n x
2
+…]}D.14
4.3. Fungsi fungsi gelombang dan tingkat tingkat energi
