atom tingkat ke-1, energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan. Energi yang dilepaskan dapat dirumuskan sbb:
E= hf 2.1 keterangan:E adalah energi J, hadalah tetapan Planck Js dan
fadalah frekuensi dari cahaya Hz. Dalam spektrometer massa, telah dibuktikan bahwa garis-garis spektrum
dari atom yang di-ionisasi tidak kontinu, hanya pada frekuensipanjang gelombang tertentu garis-garis spektrum dapat dilihat. Ini adalah salah satu bukti
dari teori mekanika kuantum.
2.2. Persamaan Schrodinger
2.2.1. Perumusan Persamaan Schrodinger
Bila keadaan awal sebuah partikel dalam suatu lingkungan klasik tidak relativistik dan tidak kuantum diketahui, maka dengan menggunakan hukum
Newton, perilaku selanjutnya dapat diramalkan dengan kepastian mutlak berdasarkan hukum Newton, lalu pemecahannya diselesaikan secara matematik.
Dalam kasus fisika kuantum Takrelativistik, persamaan utama yang harus di pecahkan adalah suatu persamaan diferensial orde dua, yang dikenal sebagai
Persamaan Schrodinger. Seperti halnya dengan hukum Newton, kita juga mencari pemecahannya bagi suatu gaya tertentu. Berbeda dari hukum Newton, pemecahan
persamaan Schrodinger, yang disebut fungsi gelombang, memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel.
Jadi dapat kita ikhtisarkan, bahwa dalam kasus mekanika klasik, persoalan yang kita hadapi dicirikan oleh hadirnya gaya tertentu F. dengan menuliskan
hukum Newton bagi gaya tersebut, kita pecahkan permasalahan matematikanya untuk memperoleh kedudukan dan kecepatan partikelnya. Dalam kasus
elektromagnet, kita berhadapan dengan persoalan yang dicirikan oleh sekumpulan muatan dan arus; disini kita menuliskan persamaan Maxwell dan memecahkan
persoalan matematiknya untuk memperoleh medan elektrik dan medan magnet. Dalam kasus fisika kuantum, persoalannya dicirikan oleh fungsi potensial
tertentu; kita tinggal menuliskan persamaan Schrodinger bagi potensial tersebut dan mencari pemecahannya.Tentu saja, dalam masing masing kasus ini,
pemecahannya hanya berlaku bagi suatu keadaan situasi tertentu saja; untuk
Universitas Sumatera Utara
situasi yang lain, perlu dicari lagi pemecahan baru bagi persamaan yang berkaitan dengan situasi tersebut.
2.2.2. Pembenaran Persamaan Schrodinger
Baik hukum Newton, persamaan Maxwell maupun persamaan Schrodinger tidak dapat diturunkan dari seperangkat azas dasar, namum pemecahan yang diperoleh
darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan.Persamaan Schrodinger hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu;
yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial Osilator Harmonik. Kedua kasus sederhana ini memang tidak Fisis, dalam artian bahwa
pemecahannya tidak dapat di periksa kebenarannya dengan percobaan atau tidak ada contoh di alam yang berkaitan dengan gerak sebuah partikel yang
terkungkung dalam sebuah kotak satu dimensi, ataupun sebuah Osilator Harmonik Mekanika kuantum Ideal, meskipun kasus seperti ini seringkali merupakan
hampiran yang cukup baik bagi situasi fisis yang sebenarnya. Namun demikian, berbagai kasus sederhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran
tentang tekhnik umum pemecahan persamaan Schrodinger. Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan
untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika
kuantum, walaupun dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat digunakan sebagai bahan perbandingan. Untuk menghasilkan persamaan
Schrödinger, maka harus memenuhi 3 kriteria, sebagai berikut : a.
Taat asas dengan kekekalan energi Hukum kekekalan energi adalah jumlah energi kinetik ditambah energi potensial
bersifat kekal, artinya tidak bergantung pada waktu maupun posisi.Persamaan Schrödinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi. Secara matematis,
hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan: K + V = Etot 2.2
Suku pertama ruas kiri menyatakan energi kinetik, suku kedua menyatakan energi potensial, dan ruas kanan menyatakan suatu tetapan yang biasanya disebut sebagai
energi total.Dimana energi kinetik digunakan bukanlah dalam bentuk: K=
1 2
mv
2
2.3
Universitas Sumatera Utara
b. Linear dan bernilai tunggal
Persamaannya haruslah “Berperilaku Baik” dalam pengertian matematikanya. Pemecahannya harus memberi informasi tentang probabilitas untuk menemukan
partikelnya, walaupun ditemukan probabilitas berubah secara kontinu dan partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada
titik lainnya, namun fungsinya haruslah bernilai tunggal, artinya tidak boleh ada dua probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik yang sama. Ia harus linear
agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai milik gelombang yang berperilaku baik.
c. Pemecahan partikel bebas sesuai dengan gelombang de Broglie tunggal.
Tahun 1924 de Broglie menyatakan bahwa materi mempunyai sifat gelombang disamping sifat partikel.Bentuk persamaan diferensial apapun, haruslah taat azas
terhadap hipotesis de Broglie. Untuk menyelesaikan persamaan matematik bagi sebuah partikel dengan momentum p, maka pemecahannya harus berbentuk
fungsi gelombang dengan panjang gelombang λ yang sama dengan h p. Sesuai dengan persamaan:
λ = h p 2.4 Maka energi kinetik dari gelombang de Broglie partikel bebas haruslah:
K = p
2
2m = ħ
2
k
2
2m 2.5 Bentuk persamaan harus taat azas dengan kekekalan energi seperti yang
dijelaskan diatas V + K = E , Kmuncul dalam pangkat satu danK = p
2
2m = ħ
2
k
2
2m, sehinggga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung k
2
adalah dengan mengambil turunan kedua dari ψ x = A sin
kxterhadap x Kenneth,1992.
2.2.3. Probabilitas
Fungsi gelombang ψxmenyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang
gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas.Masalah yang muncul ketika hendak menafsirkan amplitudonya adalah apakah yang dinyatakan oleh
amplitudo ψx dan variabel fisika apakah yang bergetar?Ini merupakan suatu
jenis gelombang yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana |
ψx|
2
Universitas Sumatera Utara
dxmemberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dxdi x. Rapat probabilitas Pxterhadap
ψxmenurut persamaan Schrödinger sebagai berikut: Pxdx=|
ψx|
2
dx 2.6
2.2.4. Penerapan Persamaan Schrödinger
Persamaan Schrödinger dapat diterapkan dalam berbagai persoalan fisika.Dimana pemecahan persamaan Schrödinger yang disebut fungsi gelombang, memberikan
informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. 2.2.4.a. Pada partikel Bebas
Yang dimaksud dengan “Partikel Bebas” adalah sebuah partikel yang bergerak tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu bagian ruang, yaitu, F = - dVx dx
= 0 sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan. Dalam hal ini, bebas memilih tetapan potensial sama dengan nol.
Partikel bebas dalam mekanika klasik bergerak dengan momentum konstan P, yang mengakibatkan energi totalnya jadi konstan.Tetapi partikel bebas dalam
mekanika kuantum dapat dipecahkan dengan persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu.
2.2.4.b.Pada partikel dalam kotak Untuk meninjau sebuah partikel yang bergerak bebas dalam sebuah kotak dalam
dimensi yang panjangnya L, dimana partikelnya benar-benar terperangkap dalam kotak. Potensial ini dapat dinyatakan:
Vx = 0,0 ≤ x ≤ L dan Vx = ∞, x 0, x L
Gambar.2.1.Sumur Potensial yang bersesuaian dengan sebuak kotak yang
dindingnya keras tak berhingga.
Universitas Sumatera Utara
Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0dan x =
Ldisebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Misalnya, sebuah manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat yang ditegangkan antara dua
dinding tegar dan bertumbukan secara eksak dengan kedua dinding. Sebuah partikel tidak akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding,
energi totalnya tetap konstan. Dari perbandingan Mekanika Kuantum,energi potensial V dari partikel itu
menjadi tak hingga di kedua sisi kotak, sedangkan V konstan di dalam kotak, dapat dikatakan V = 0 seperti yang terlihat pada gambar 2.1 di atas. Karena
partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar kotak, sehingga fungsi gelombang
ψ = 0untuk 0 ≤ x ≤ L.
2.3. Osilator Harmonik
