Gambar 2.7 Jam Pendulum
Pendulum yang terdapat padajam merupakan salah satu contoh gerak harmonik. Ayunanmatematis pendulum tersebutberfungsi untuk mengatur gerakjarum jam.
• Kereta mainan
Gambar 2.8memperlihatkan sebuah kereta mainan sedang bergerakmelingkar di
jalurnya. Dalam hal ini, kereta mainantersebut bergerak melingkar beraturan dan bayangankereta mainan yang terbentuk akibat cahaya lampu yangdiarahkan
padanya akan bergerak bolak-balik yang merupakan gerak harmonik sederhana.
a. Metode Deret Pangkat
Metode deret pangkat power series method merupakan suatu metode umum untuk memecahkan persamaan diferensial linier, termasuk persamaan
y”+pxy‘+qxy=0 dengan px dan qx fungsi tehadap x; metode ini juga dapat
Universitas Sumatera Utara
diterapkan pada persamaan tak-homogen dan persamaan yang berordo lebih tinggi. Metode ini menghasilkan solusi yang berbentuk deret pangkat, oleh
karenanya metode ini dinamai dengan metode deret pangkat. Di dalam metode ini, diasumsikan solusi berbentuk deret pangkat dengan
sembarang pusat x0, misal x0=0: y =
∑ �
� ∞
�=0
x – x
m
2.12 y’ =
∑ ��
� ∞
�=1
x – x
m-1
2.13 y’’ =
∑ �� − 1�
� ∞
�=0
x – x
m-2
2.14 Jika px dan qxanalitik di x=x0 maka solusi akan berbentuk deret kuasa.
Jika px dan qx tidak analitik di x=x0 , biasanya dinamakan singular di x=x0. Jika kesingularannya tidak terlalu buruk sedemikian sehingga dapat dinyatakan
dalam: y’’ +
�� �− �
y’ +
�� �− �
2
y = 0 2.15 dengan ax dan bx analitik di x=x0, maka setidaknya ada satu solusi. Metode
ini terangkum dalam Teorema Frobenius.Dalam persamaan diferensial ordo-2 ini, ada beberapa persamaan yang sering digunakan dan diterapkan pada bidang
rekayasa dan fisika, sehingga diberi nama khusus ataupun lambang khusus. Misalnya, persamaan Legendredan polinom-polinom Legendre, persamaan
hipergeometrik dan fungsi-fungsi hipergeometrik ataupun persamaan Bessel dan fungsi-fungsi Bessel.
b. Polynomial Hermite
Persamaan diferensialHermiteinimunculpadasolusidaripersamaanSchrödingeruntukosilator
harmonik.Persamaandiferensialnyadapat dituliskandalam bentuk:
�
2
� ��
2
– 2
�
�� ��
+ c – 1f = 0 2.16 Dimana c = 2n+1
Maka kitadapat menulis ulangpersamaandiferensialmenjadi:
�
2
� ��
2
– 2
�
�� ��
+ 2nf = 0 2.17
Universitas Sumatera Utara
Solusidaripersamaan iniadalah polinomialdalam y, melalui metodederet pangkat diperolehrumusrekursiuntuk mendapatkan koefisiendaripolinomial.
Untukmelakukan perhitungan, kita misalkanfungsi sebagai berikut: Sy,s
≡ �
−�
2
+2 ��
2.18 Dari ekspansi eksponential, dalam sebuah deret Taylor kita dapat menuliskan
persamaan diatas sebagai berikut: Sy,s =
∑
−�
2
+2 ��
�
� ∞
�=0
2.19
c. MATLAB Matrix Laboratory
