; , , , =
− −
, 1,
− −
, 0 2.9
2.6
F uzzy Linear Programming
FLP
Dalam
fuzzy linear programming
akan dicari suatu nilai yang merupakan fungsi
objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan
fuzzy
.
Bentuk umum dari
fuzzy linear programming
FLP untuk kasus maksimasi adalah:
Maksimumkan: =
=1
2.10 Dengan kendala:
=1
, = 1, 2, , 0 , = 1, 2,
, Di mana
, , dan semuanya adalah bilangan
fuzzy
. Keterangan:
= Fungsi tujuan
= Nilai kontribusi
= Variabel keputusan
= Koefisien teknologi
= Konstanta sebelah kanan sumber daya
2.6.1 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Berbentuk Bilangan
F uzzy
Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan
fuzzy
untuk kasus maksimasi adalah:
Universitas Sumatera Utara
Maksimumkan: =
=1
2.11 Dengan kendala:
=1
, = 1, 2,
, 0, = 1, 2,
,
Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan
fuzzy
, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:
Asumsi 1: Koefisien teknologi
dikatakan berbentuk bilangan
fuzzy
apabila memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:
1 jika
2.12 =
+ −
jika jika
+ di mana
∈ dan 0 untuk semua = 1, 2,
, ,
= 1, 2, , .
Defuzzyfikasi adalah perubahan dari suatu besaran
fuzzy
ke suatu besaran numerik, sedangkan fuzzyfikasi adalah perubahan dari besaran numerik ke suatu besaran
fuzzy
.
Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama fungsi objektif tujuan harus diubah ke dalam kondisi
fuzzy
, yaitu dengan menghitung batas bawah dan batas atas
dari nilai optimal awal. Batas-batas dari nilai optimal ini akan diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan program linier standar berikut:
Maksimumkan:
1
=
=1
2.13 Dengan kendala:
=1
, = 1, 2,
,
Universitas Sumatera Utara
0, = 1, 2, ,
Dan juga Maksimumkan:
2
=
=1
2.14 Dengan kendala:
+
=1
, = 1, 2,
, 0, = 1, 2,
, Dari persamaan di atas, nilai dari fungsi objektif tujuan berada di antara
1
dan
2
di mana nilai koefisien teknologi mengalami perubahan di antara
dan +
. Dengan nilai batas bawah
=
1
,
2
dan nilai batas atas =
1
,
2
.
Asumsi 2: Permasalahan linier
crisp
yaitu persamaan
1
dan
2
di atas memiliki nilai optimal yang terbatas. Pada kasus ini nilai optimal dari himpunan
fuzzy
�, di mana merupakan himpunan bagian dari
, dalam buku Klir dan Yuan didefinisikan sebagai:
jika
=1
2.15
�
=
−
=1
−
jika
=1
1 jika
=1
Himpunan
fuzzy
dari kendala ke- , yaitu yang merupakan himpunan bagian dari
, didefinisikan ke dalam persamaan:
,
=1
2.16 =
−
=1 =1
,
=1
+
=1
1 ,
+
=1
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan definisi keputusan
fuzzy
yang diperkenalkan oleh Bellman dan Zadeh, maka terdapat:
=
�
, min 2.17
Untuk kasus ini keputusan
fuzzy
yang optimal adalah solusi dari permasalahan: max
= max
�
, min 2.18
Dengan demikian bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan
fuzzy
menjadi permasalahan optimisasi: Maksimumkan:
= 2.19
Dengan kendala:
�
, = 1, 2,
, 0,
1
Dengan menggunakan persamaan 2.15 dan 2.16, permasalahan di atas dapat ditulis ke dalam bentuk:
Maksimumkan: =
2.20 Dengan kendala:
− − +
=1
+ −
=1
, = 1, 2,
, ,
= 1, 2, ,
0, 1
Dengan catatan kendala dalam permasalahan ini mengandung aturan
cross product
yaitu adalah nonkonveks. Oleh Karena itu solusi dari permasalahan ini memerlukan
Universitas Sumatera Utara
penyelesaian khusus yang diadopsi dari penyelesaian permasalahan optimisasi nonkonveks.
2.6.2 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Dan Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan
F uzzy
Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah kanan berbentuk bilangan
fuzzy
untuk kasus maksimasi adalah:
Maksimumkan: =
=1
2.21 Dengan kendala:
=1
, = 1, 2,
, 0, = 1, 2,
, Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah kanan
berbentuk bilangan
fuzzy
, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:
Asumsi 1: Koefisien teknologi
dan konstanta sebelah kanan dikatakan berbentuk bilangan
fuzzy
apabila memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:
1 jika
2.22 =
+ −
jika +
jika +
Dan juga
Universitas Sumatera Utara
1 jika
2.23 =
+ −
jika +
jika +
Di mana ∈ . Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama akan dicari
nilai optimal dari batas atas dan batas bawah permasalahan tersebut. Nilai
batas-batas tersebut akan diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan program linier standar, dengan mengasumsikan bahwa batas-batas tersebut memiliki nilai optimal yang
terbatas.
Untuk
1
, persamaannya adalah: Maksimumkan:
1
=
=1
2.24 Dengan kendala:
+
=1
, = 1, 2,
, 0, = 1, 2,
,
Untuk
2
, persamaannya adalah: Maksimumkan:
2
=
=1
2.25 Dengan kendala:
=1
+ ,
= 1, 2, ,
0, = 1, 2, ,
Untuk
3
, persamaannya adalah: Maksimumkan:
3
=
=1
2.26 Dengan kendala:
+ +
=1
, = 1, 2,
,
Universitas Sumatera Utara
0, = 1, 2, ,
Dan untuk
4
, persamaannya adalah: Maksimumkan:
4
=
=1
2.27 Dengan kendala:
=1
, = 1, 2,
, 0, = 1, 2,
,
Maka batas bawah =
1
,
2
,
3
,
4
dan batas atas =
1
,
2
,
3
,
4
. Nilai dari fungsi objektif berada di antara batas bawah dan batas atas sementara nilai
koefisien teknologi berada di antara dan
+ , dan nilai konstanta sebelah kanan
berada di antara dan +
.
Asumsi 2: Nilai optimal himpunan
fuzzy
�, didefinisikan sebagai:
jika
=1
2.28
�
=
−
=1
−
jika
=1
1 jika
=1
Himpunan
fuzzy
dengan kendala ke- yaitu yang merupakan himpunan bagian dari
didefinisikan ke dalam: ,
=1
2.29 =
−
=1 =1
,
=1
+
=1
1 ,
+
=1
+ Dengan menggunakan metode defuzzyfikasi, permasalahan direduksi menjadi:
Maksimumkan: =
2.30
Universitas Sumatera Utara
Dengan kendala: − −
=1
+ +
+ −
=1
, = 1, 2,
, ,
= 1, 2, ,
0, 1
Dengan catatan seperti pada kasus program linier dengan koefisien teknologi berupa bilangan
fuzzy
.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Program Linier dengan Hanya Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan
