Proses Moving Average Order q[MAq]

29 � 1 = � 11 + � 1 � 22 � 2 = � 1 � 11 + � 22 Koefisien � 22 dapat dinyatakan sebagai: � 22 = �� 2 −� 1 2 � �1−� 1 2 � Secara umum, autokorelasi parsial lag k � �� diperoleh dari persamaan Yule Walker, yang dalam notasi matriks adalah sebagai berikut: � � 1 � 2 ⋮ � � � = � 1 � 1 ⋮ � �−1 � 1 1 ⋮ � �−2 � 2 � 1 ⋮ � �−3 � �−1 � �−2 ⋮ 1 � � � 1 � 2 ⋮ � � � Autokorelasi parsial � �� sebagai fungsi autokorelasi parsial. Untuk mendapatkan � �� , maka: � �� = � 1 � 1 ⋮ � �−1 � 1 1 ⋮ � �−2 � �−2 � �−3 ⋮ � 1 � 1 � 2 ⋮ � � � � 1 � 1 ⋮ � �−1 � 1 1 ⋮ � �−2 � �−2 � �−3 ⋮ � 1 � �−1 � �−2 ⋮ 1 � Beberapa bentuk fungsi autokorelasi parsial proses autoregresif adalah sebagai berikut: ��1: � 11 = � 1 ; � �� = 0, untuk k 1 ��2: � 11 = � 1 ; � 22 = �� 2 −� 1 2 � �1−� 1 2 � ; � �� = 0, untuk k p Sifat-sifat fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk menentukan jenis proses autoregresif. 2.2.1.4 Proses Moving Average Order q[MAq] Proses moving average tingkat q dikontruksikan dari model 2.9 dengan � � = � � dan � � = 0 untuk � �, sehinggga model MAq adalah: � � = � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � � �−� + � � 2.26 dengan � � ~ �0, � 2 2 apabila operator Backshift diterapkan pada persamaan 2.26, maka diperoleh: � � = � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � � �−� + � � Universitas Sumatera Utara 30 � � = � + �� �� � dengan �� = �1 + � 1 � + � 2 � 2 + ⋯ + � � � � � Fungsi autokorelasi MAq diperoleh dengan menggunakan cara kedua seperti pada proses autoregresif order p, yaitu dengan mengalikan kedua sisi persamaan 2.26 dengan � �−� , kemudian mengambil nilai harapannya. Sehingga diperoleh fungsi autokovariansinya sebagai berikut: � � = �−� � + � 1 � �+1 + � 2 � �+2 + ⋯ + � �−� � � �� 2 2.27 Untuk k = 0, maka � = �1 + � 1 2 + � 2 2 + ⋯ + � � 2 �� 2 � � = � � � = � −� � +� 1 � �+1 +� 2 � �+2 +⋯+� �−� � � 1+� 1 2 +� 2 2 +⋯+� � 2 0;�� ; 1 ≤ � ≤ � 2.28 Estimasi awal dari parameter-parameter diperoleh dengan mensubsitusikan nilai autokorelasi empirik � � untuk � � pada persamaan 2.28 dan menyelesaikannya. Fungsi autokorelasi untuk model MA1 diperoleh dari persamaan 2.28, dengan q = 1, sehingga diperoleh: � 1 = � � 1 1+� 1 2 0;�≥2 ; � = 1 2.29 Estimasi awal dari � 1 diperoleh dengan cara mengganti � 1 dan � 1 pada persamaan 2.29 dan menyelesaikannya, dengan syarat ��� 1 � 1. Fungsi autokorelasi untuk model MA2 diperoleh dari persamaan 2.28, dengan q = 2 sehingga diperoleh � 1 = −� 1 1−� 2 1+� 1 2 +� 2 2 2.30 � 2 = −� 2 1+� 1 2 +� 2 2 � � = 0; � ≥ 3 Estimasi awal dari � 1 dan � 2 diperoleh dengan cara mengganti � 1 dan � 2 berturut- turut dengan � 1 dan � 2 pada persamaan 2.30. Universitas Sumatera Utara 31

2.3. Model Runtun Waktu Nonstasioner

Pembentukan model yang tepat dalam runtun waktu, pada umumnya menggunakan asumsi kestasioneran, sehingga jika terdapat kasus ketidakstasioneran, maka data tersebut harus distasionerkan terlebih dahulu sebelum melangkah lebih lanjut pada pembentukan model runtun waktu. Bentuk visual dari plot runtun waktu seringkali cukup meyakinkan bahwa suatu runtun waktu stasioner atau tidak stasioner, akan tetapi lebih meyakinkan lagi dengan membuat plot nilai-nilai autokorelasi tersebut turun sampai nol dengan cepat, sesudah lag kedua atau ketiga, maka data tersebut dapat dikatakan stasioner. Sedangkan jika nilai-nilai autokorelasinya turun sampai nol dengan lambat atau berbeda secara signifikan dari nol, maka data tersebut tidak stasioner. Menurut Box-Jenkins 1976, bahwa runtun waktu yang tidak stasioner dapat diubah menjadi runtun waktu yang stasioner dengan melakukan deferensi berturut- turut, yaitu dengan melihat barisan ∆� � , ∇� � , ... dengan ∇ adalah operator diferensi, yang mempunyai nilai 1 – B atau ∇= −�.

2.3.1. Proses Autoregressive Inteagrated Moving Average model ARIMA

Berdasarkan uraian didepan telah dikemukakan bahwa runtun waktu � � yang takstasioner, dapat diubah manjadi stasioner dengan melakukan diferensi � � = ∇ Z t = 1 − B� � . Karena � � merupakan runtun yang stasioner, maka dapat menggunakan model ARMA untuk menggambarkan � � . Selanjutnya jika didefinisikan : W t = Z t – Z t - 1 Maka proses umum model ARMA p,q dapat ditulis dalam bentuk: � � = ∅ 1 � �−1 + ∅ 2 � �−2 + ⋯ + ∅ � � �−� + � 1 � �−1 + ⋯ + � � � �−� + � � Dengan substitusi dua persamaan tersebut, setelah dijabarkan akhirnya diperoleh: � � = � � + � �−1 + � �−2 + ⋯ Universitas Sumatera Utara