19 Untuk mendapatkan harga estimasi yang cukup baik biasanya diperlukan n 50 dan
harga �
�
yang dibutuhkan sekitar k n4. Nilai �
�
diestimasi dengan ��
�
= �
�
=
�
�
�
2.2 Untuk proses normal yang stasioner, rumus Bartlett menyatakan bahwa dengan
menganggap �
�
= 0 untuk semua k 0 diperoleh : ��� �
�
, �
�−1
≈
1 �
∑ �
�
�
�−� �
�=�+�
dengan mengambil s = 0, maka untuk k K ��
�
≈
1 �
∑ �
� 2
� �=−�
2.3 Untuk N yang sangat besar jika
�
�
= 0 maka �
�
mendekati distribusi normal. Dalam prakteknya
�
�
dapat diganti dengan �
�
sehingga menjadi: ��
�
≈
1 �
∑ �
� 2
� �=−�
=
1 �
�
−� 2
+ �
−�+1 2
+ ⋯ + �
−�+�=0 2
+ �
1 2
+ �
2 2
+ ⋯ + �
� 2
dengan �
= �
=
� �
= 1, maka diperoleh =
1 �
�1 + 2 ∑ �
� 2
� �=1
� Jadi
��
�
≈
1 �
�1 + 2 ∑ �
� 2
� �=1
� 2.4 Sedangkan akar positif adalah sesuatu standar
�
�
untuk lag besar, sehingga ���
�
≈ ���
�
2.1.4. Autokorelasi Parsial
Fungsi Autokorelasi Parsial fakp dinotasikan dengan { �
��
: � = 1, 2, … , }, yakni
himpunan autokorelasi parsial untuk lag k didefenisikan sebagai berikut : �
��
=
��
−� ∗
� �
−�
2.5 dengan
�
−�
: matriks autokorelasi k x k dan �
� ∗
: matriks autokorelasi dengan kolom
terakhir diganti dengan ⎣
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎡ �
1
�
2
. .
. �
3
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
Universitas Sumatera Utara
20 nilai estimasi
��
��
diperoleh dengan mengganti �
�
dengan �
�
. Untuk lag yang cukup besar dimana fungsi autokorelasi parsial fakp menjadi sangat
kecil nilainya hingga mendekati nol �
�
= 0 dari persamaan 2.3 maka diperoleh persamaan:
��� ���
��
� ≈
1 �
Untuk N besar ��
��
dianggap mendekati distribusi normal.
2.1.5. Metode Box – Jenkins
Analisis runtun waktu �
�
yang dikembangkan menurut metode Box – Jenkins menggunakan dua operator, yaitu operator backshift B dan operator differensi
∇. Operator backshift B didefenisikan sebagai:
��
�
= �
�−1
Sedangkan operator differensi ∇ didefenisikan sebagai:
∇�
�
= �
�
− �
�−1
Sehingga kedua operator mempunyai hubungan: ∇�
�
= �
�
− �
�−1
= �
�
− ��
�
= 1 − ��
�
, jadi ∇= 1 − �
Adapun model proses stokastik yang sering digunakan adalah bentuk: ���
�
= ���
�
2.6 Dengan
�� dan �� adalah polinomial dan {�
�
: � = 1, 2, 3, … } adalah barisan
variabel random independen dan distribusi normal dan dengan �[�
�
] = 0, ��� [�
�
] = �, [�
� 2
] = �
2
serta ��� �
�
, �
�−�
= 0; { �
�
: � = 1, 2, 3, … } merupakan
suatu runtun getaran yang dibangkitkan oleh proses white noise gerakan random. Persamaan 2.6 dapat ditulis dengan bentuk:
�
�
=
�� ��
�
�
, atau �
�
= ���
�
Dengan ���
�
=
�� ��
�
�
, dengan demikian �
�
dapat dipandang sebagai runtun yang dihasilkan dengan melewatkan proses white noise gerakan random {
�
�
} melalui
Universitas Sumatera Utara
21 kombinasi linier filter linier dengan fungsi transfer
��. Kondisi ini menunjukkan operasi linier filter yang mempresentasikan runtun waktu sebagai hasil dari linier filter
jumlah tertimbang dari observasi sebelumnya, yakni: �
�
= � + �
�
+ �
1
�
�−1
+ �
2
�
�−2
+ �
3
�
3
+ ⋯
�
�
= � + ���
�
2.7 Dengan
�� = 1 + �
�
= �
1
� + �
2
� + �
3
� + ⋯ adalah operator linier yang mentransformasikan
�
�
ke �
�
merupakan fungsi transfer atau filter.
Atau dapat ditulis dalam bentuk: �
�
− � = �
�
+ �
1
�
�−1
+ �
2
�
�−2
+ �
3
�
�−3
+ ⋯
�̅
�
= �
�
+ ∑
�
�
�
�−� ∞
�=1
2.8 dengan
�̅
�
= �
�
− �. Bentuk ini merupakan devisa proses itu dari titik referensi, atau meannya jika proses
itu stasioner. Barisan itu biasanya disebut proses white noise atau random shocks. Selanjutnya dari persamaan tersebut diperoleh:
��
�
= �
� =
��
�
= ��
�
− �
2
= �
2
∑ �
2
�
∞ �=0
2.9 dengan menggunakan nilai
���
�−�
, �
�−�
� �
�
= �
�
− ��
�−�
2.10 =
��
�
+ �
1
�
�−1
+ �
2
�
�−2
+ ⋯ + �
�
�
�−�
+ �
�−1
�
�−�−1
�
�−�
+ �
1
�
�−�−1
+. . . =
�
2
1. �
�
+ �
1
�
�+2
+ ⋯
= �
2
∑ �
�
�
�+� ∞
�=0
Sehingga persamaan autokorelasi pada lag k dapat ditulis dalam bentuk: �
� ∑
�
�
�
�+� ∞
�=0
∑ �
� 2
∞ �=0
=
�
�
�
2.11 Jika jumlah bobot
�
�
tak hingga, maka diasumsikan bahwa bobot itu konvergen secara absolute atau
��
�
� ∞, sebagai contoh jika �
1
= −� ��� �
�
= 0 untuk j 1. Maka proses white noise dapat ditulis menjadi:
�
�
− � = �
�
− ��
�−1
2.12
Secara umum untuk �
�
= −�
�
maka persamaan white-noise menjadi:
Universitas Sumatera Utara
22 �
�
− � = �
�
+ ��
�−1
+ �
2
�
�−2
+ ⋯
= �
�
+ ��
�−1
+ ��
�−2
+ �
2
�
�−2
+ ⋯
= ��
�−1
− � + �
�
Model ini dalam runtun waktu dikenal dengan model autoregresif tingkat orde satu, selanjutnya untuk memenuhi keadaan stasioner maka |
�| 1.
2.2. Model Runtun Waktu