Autokorelasi Parsial Metode Box – Jenkins

19 Untuk mendapatkan harga estimasi yang cukup baik biasanya diperlukan n 50 dan harga � � yang dibutuhkan sekitar k n4. Nilai � � diestimasi dengan �� � = � � = � � � 2.2 Untuk proses normal yang stasioner, rumus Bartlett menyatakan bahwa dengan menganggap � � = 0 untuk semua k 0 diperoleh : ��� � � , � �−1 ≈ 1 � ∑ � � � �−� � �=�+� dengan mengambil s = 0, maka untuk k K �� � ≈ 1 � ∑ � � 2 � �=−� 2.3 Untuk N yang sangat besar jika � � = 0 maka � � mendekati distribusi normal. Dalam prakteknya � � dapat diganti dengan � � sehingga menjadi: �� � ≈ 1 � ∑ � � 2 � �=−� = 1 � � −� 2 + � −�+1 2 + ⋯ + � −�+�=0 2 + � 1 2 + � 2 2 + ⋯ + � � 2 dengan � = � = � � = 1, maka diperoleh = 1 � �1 + 2 ∑ � � 2 � �=1 � Jadi �� � ≈ 1 � �1 + 2 ∑ � � 2 � �=1 � 2.4 Sedangkan akar positif adalah sesuatu standar � � untuk lag besar, sehingga ��� � ≈ ��� �

2.1.4. Autokorelasi Parsial

Fungsi Autokorelasi Parsial fakp dinotasikan dengan { � �� : � = 1, 2, … , }, yakni himpunan autokorelasi parsial untuk lag k didefenisikan sebagai berikut : � �� = �� −� ∗ � � −� 2.5 dengan � −� : matriks autokorelasi k x k dan � � ∗ : matriks autokorelasi dengan kolom terakhir diganti dengan ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 � 2 . . . � 3 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Universitas Sumatera Utara 20 nilai estimasi �� �� diperoleh dengan mengganti � � dengan � � . Untuk lag yang cukup besar dimana fungsi autokorelasi parsial fakp menjadi sangat kecil nilainya hingga mendekati nol � � = 0 dari persamaan 2.3 maka diperoleh persamaan: ��� ��� �� � ≈ 1 � Untuk N besar �� �� dianggap mendekati distribusi normal.

2.1.5. Metode Box – Jenkins

Analisis runtun waktu � � yang dikembangkan menurut metode Box – Jenkins menggunakan dua operator, yaitu operator backshift B dan operator differensi ∇. Operator backshift B didefenisikan sebagai: �� � = � �−1 Sedangkan operator differensi ∇ didefenisikan sebagai: ∇� � = � � − � �−1 Sehingga kedua operator mempunyai hubungan: ∇� � = � � − � �−1 = � � − �� � = 1 − �� � , jadi ∇= 1 − � Adapun model proses stokastik yang sering digunakan adalah bentuk: ��� � = ��� � 2.6 Dengan �� dan �� adalah polinomial dan {� � : � = 1, 2, 3, … } adalah barisan variabel random independen dan distribusi normal dan dengan �[� � ] = 0, ��� [� � ] = �, [� � 2 ] = � 2 serta ��� � � , � �−� = 0; { � � : � = 1, 2, 3, … } merupakan suatu runtun getaran yang dibangkitkan oleh proses white noise gerakan random. Persamaan 2.6 dapat ditulis dengan bentuk: � � = �� �� � � , atau � � = ��� � Dengan ��� � = �� �� � � , dengan demikian � � dapat dipandang sebagai runtun yang dihasilkan dengan melewatkan proses white noise gerakan random { � � } melalui Universitas Sumatera Utara 21 kombinasi linier filter linier dengan fungsi transfer ��. Kondisi ini menunjukkan operasi linier filter yang mempresentasikan runtun waktu sebagai hasil dari linier filter jumlah tertimbang dari observasi sebelumnya, yakni: � � = � + � � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + � 3 � 3 + ⋯ � � = � + ��� � 2.7 Dengan �� = 1 + � � = � 1 � + � 2 � + � 3 � + ⋯ adalah operator linier yang mentransformasikan � � ke � � merupakan fungsi transfer atau filter. Atau dapat ditulis dalam bentuk: � � − � = � � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + � 3 � �−3 + ⋯ �̅ � = � � + ∑ � � � �−� ∞ �=1 2.8 dengan �̅ � = � � − �. Bentuk ini merupakan devisa proses itu dari titik referensi, atau meannya jika proses itu stasioner. Barisan itu biasanya disebut proses white noise atau random shocks. Selanjutnya dari persamaan tersebut diperoleh: �� � = � � = �� � = �� � − � 2 = � 2 ∑ � 2 � ∞ �=0 2.9 dengan menggunakan nilai ��� �−� , � �−� � � � = � � − �� �−� 2.10 = �� � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � � �−� + � �−1 � �−�−1 � �−� + � 1 � �−�−1 +. . . = � 2 1. � � + � 1 � �+2 + ⋯ = � 2 ∑ � � � �+� ∞ �=0 Sehingga persamaan autokorelasi pada lag k dapat ditulis dalam bentuk: � � ∑ � � � �+� ∞ �=0 ∑ � � 2 ∞ �=0 = � � � 2.11 Jika jumlah bobot � � tak hingga, maka diasumsikan bahwa bobot itu konvergen secara absolute atau �� � � ∞, sebagai contoh jika � 1 = −� ��� � � = 0 untuk j 1. Maka proses white noise dapat ditulis menjadi: � � − � = � � − �� �−1 2.12 Secara umum untuk � � = −� � maka persamaan white-noise menjadi: Universitas Sumatera Utara 22 � � − � = � � + �� �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ = � � + �� �−1 + �� �−2 + � 2 � �−2 + ⋯ = �� �−1 − � + � � Model ini dalam runtun waktu dikenal dengan model autoregresif tingkat orde satu, selanjutnya untuk memenuhi keadaan stasioner maka | �| 1.

2.2. Model Runtun Waktu