Autokorelasi Proses ARp Autokorelasi Parsial Proses Autoregresif

27 yang memberikan daerah stasioner, ini berarti � 2 1

2.21.2.3 Autokorelasi Proses ARp

Autokorelasi untuk ARp sejalan dengan proses AR sederhana dengan cara kedua, yaitu dengan mengalikan persamaan 2.18 dengan � �−� dan selanjutnya harapannya, maka diperoleh: �� � � �−� = � 1 �� �−1 � �−� + � 2 �� �−2 � �−� + ⋯ + � � ��� �−� � �−� � + �� � � �−� � � = � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � � �−� + �� � � �−� karena untuk k = 0 nilai �� � � �−� = � 2 , k 0 nilai �� � � �−� = 0, maka diperoleh � = � 1 � 1 + � 2 � 2 + ⋯ + � � � � + � 2 � � = � 1 � 1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � � �−� 2.23 dari persamaan pertama 2.23 dengan cara yang sama pada proses autoregresif tingkat dua, maka diperoleh: � = � 2 1−� 1 � 1 −� 2 � 2 −⋯−� � � � Autokerelasi diperoleh dari kedua persamaan 2.23 yaitu: � � � = � � = � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � � �−� untuk k 0 2.24 Dengan p persamaan pertama dari persamaan 2.24 dikenal sebagai persamaan Yule Walker yaitu: � = 1: � 1 = � 1 + � 2 � 2 + ⋯ + � �−1 � � � = 2: � 2 = � 1 � 1 + � 2 + ⋯ + � �−2 � � 2.25 � = �: � � = � �−1 � 1 + � �−2 � 2 + ⋯ + � � Bentuk matriks dari persamaan 2.25 adalah : � = �� dengan � = �� 1 , � 2 , … , � � �� = �� 1 , � 2 , … , � � � � = � 1 � 1 ⋮ � �−2 � 1 1 ⋮ � �−2 � 2 � � 1 ⋮ � �−3 � �−1 � �−2 ⋮ 1 � Universitas Sumatera Utara 28 Parameter autoregresif � dapat dinyatakan sebagai fungsi p autokorelasi dengan menyelesaikan sistem persamaan 2.25 yaitu: � = � −1 � Untuk model AR1 persamaan Yule Walker diberikan dengan � 1 = � sedangkan untuk model AR2 persamaan Yule Walker diberikan dengan: � 1 = � 1 + � 1 � 2 � 2 = � 1 � 1 + � 2 yang dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut: � � 1 � 2 � = � 1 � 1 � 1 1 � � � 1 � 2 � dari bentuk matriks ini diperoleh: � 1 = � 1 1−� 2 1−� 1 dan � 2 = � 2 −� 1 2 1−� 1 2 dengan � 1 = � 1 dan � 2 = � 2 diperoleh harga estimasi awal untuk �� 1 dan �� 2 , sedangkan untuk menentukan jenis model diantara model yang berbeda, diperlukan pembahasan tentang fungsi autokorelasi parsial.

2.2.1.3 Autokorelasi Parsial Proses Autoregresif

Autokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai koefisien regresi � �� dalam bentuk � � = � �1 � �−1 + � �2 � �−2 + ⋯ + � �� � �−� + � � . Bentuk ini mengukur korelasi antara � � dan � �−� sesudah penyesuaian dibuat untuk variabel tengah � �−1 , � �−2 , … , � �−�+1 . Autokorelasi parsial pada lag 1 diberikan oleh koefisien regresi parsial dalam bentuk: � � = � 11 � �−1 + � � Persamaan Yule Walker untuk model AR1, memberikan � 11 = � 1 , hal ini karena tidak variabel tengah antara � �−1 dan � � . Autokorelasi parsial pada lag 2 diberikan oleh koefisien regresi parsial � 22 dalam bentuk: � � = � 11 � �−1 + � 22 � �−2 + � � Dari persamaan Tule Walker untuk model AR2 diperoleh: Universitas Sumatera Utara 29 � 1 = � 11 + � 1 � 22 � 2 = � 1 � 11 + � 22 Koefisien � 22 dapat dinyatakan sebagai: � 22 = �� 2 −� 1 2 � �1−� 1 2 � Secara umum, autokorelasi parsial lag k � �� diperoleh dari persamaan Yule Walker, yang dalam notasi matriks adalah sebagai berikut: � � 1 � 2 ⋮ � � � = � 1 � 1 ⋮ � �−1 � 1 1 ⋮ � �−2 � 2 � 1 ⋮ � �−3 � �−1 � �−2 ⋮ 1 � � � 1 � 2 ⋮ � � � Autokorelasi parsial � �� sebagai fungsi autokorelasi parsial. Untuk mendapatkan � �� , maka: � �� = � 1 � 1 ⋮ � �−1 � 1 1 ⋮ � �−2 � �−2 � �−3 ⋮ � 1 � 1 � 2 ⋮ � � � � 1 � 1 ⋮ � �−1 � 1 1 ⋮ � �−2 � �−2 � �−3 ⋮ � 1 � �−1 � �−2 ⋮ 1 � Beberapa bentuk fungsi autokorelasi parsial proses autoregresif adalah sebagai berikut: ��1: � 11 = � 1 ; � �� = 0, untuk k 1 ��2: � 11 = � 1 ; � 22 = �� 2 −� 1 2 � �1−� 1 2 � ; � �� = 0, untuk k p Sifat-sifat fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk menentukan jenis proses autoregresif. 2.2.1.4 Proses Moving Average Order q[MAq]