27 yang memberikan daerah stasioner, ini berarti
�
2
1
2.21.2.3 Autokorelasi Proses ARp
Autokorelasi untuk ARp sejalan dengan proses AR sederhana dengan cara kedua, yaitu dengan mengalikan persamaan 2.18 dengan
�
�−�
dan selanjutnya harapannya, maka diperoleh:
��
�
�
�−�
= �
1
��
�−1
�
�−�
+ �
2
��
�−2
�
�−�
+ ⋯ + �
�
���
�−�
�
�−�
� + ��
�
�
�−�
�
�
= �
1
�
�−1
+ �
2
�
�−2
+ ⋯ + �
�
�
�−�
+ ��
�
�
�−�
karena untuk k = 0 nilai ��
�
�
�−�
= �
2
, k 0 nilai ��
�
�
�−�
= 0, maka diperoleh �
= �
1
�
1
+ �
2
�
2
+ ⋯ + �
�
�
�
+ �
2
�
�
= �
1
�
1
+ �
2
�
�−2
+ ⋯ + �
�
�
�−�
2.23 dari persamaan pertama 2.23 dengan cara yang sama pada proses autoregresif
tingkat dua, maka diperoleh: �
=
�
2
1−�
1
�
1
−�
2
�
2
−⋯−�
�
�
�
Autokerelasi diperoleh dari kedua persamaan 2.23 yaitu:
�
�
�
= �
�
= �
1
�
�−1
+ �
2
�
�−2
+ ⋯ + �
�
�
�−�
untuk k 0 2.24 Dengan p persamaan pertama dari persamaan 2.24 dikenal sebagai persamaan Yule
Walker yaitu: � = 1: �
1
= �
1
+ �
2
�
2
+ ⋯ + �
�−1
�
�
� = 2: �
2
= �
1
�
1
+ �
2
+ ⋯ + �
�−2
�
�
2.25 � = �: �
�
= �
�−1
�
1
+ �
�−2
�
2
+ ⋯ + �
�
Bentuk matriks dari persamaan 2.25 adalah :
� = �� dengan � = ��
1
, �
2
, … , �
�
�� = ��
1
, �
2
, … , �
�
�
� = � 1
�
1
⋮ �
�−2
�
1
1 ⋮
�
�−2
�
2
� �
1
⋮ �
�−3
�
�−1
�
�−2
⋮ 1
�
Universitas Sumatera Utara
28 Parameter autoregresif
� dapat dinyatakan sebagai fungsi p autokorelasi dengan menyelesaikan sistem persamaan 2.25 yaitu:
� = �
−1
� Untuk model AR1 persamaan Yule Walker diberikan dengan
�
1
= � sedangkan
untuk model AR2 persamaan Yule Walker diberikan dengan: �
1
= �
1
+ �
1
�
2
�
2
= �
1
�
1
+ �
2
yang dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut: �
�
1
�
2
� = � 1
�
1
�
1
1 � � �
1
�
2
� dari bentuk matriks ini diperoleh:
�
1
=
�
1
1−�
2
1−�
1
dan �
2
=
�
2
−�
1 2
1−�
1 2
dengan �
1
= �
1
dan �
2
= �
2
diperoleh harga estimasi awal untuk ��
1
dan ��
2
, sedangkan untuk menentukan jenis model diantara model yang berbeda, diperlukan
pembahasan tentang fungsi autokorelasi parsial.
2.2.1.3 Autokorelasi Parsial Proses Autoregresif
Autokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai koefisien regresi �
��
dalam bentuk
�
�
= �
�1
�
�−1
+ �
�2
�
�−2
+ ⋯ + �
��
�
�−�
+ �
�
. Bentuk ini mengukur korelasi antara
�
�
dan �
�−�
sesudah penyesuaian dibuat untuk variabel tengah
�
�−1
, �
�−2
, … , �
�−�+1
. Autokorelasi parsial pada lag 1 diberikan oleh koefisien regresi parsial dalam bentuk:
�
�
= �
11
�
�−1
+ �
�
Persamaan Yule Walker untuk model AR1, memberikan �
11
= �
1
, hal ini karena tidak variabel tengah antara
�
�−1
dan �
�
. Autokorelasi parsial pada lag 2 diberikan oleh koefisien regresi parsial
�
22
dalam bentuk:
�
�
= �
11
�
�−1
+ �
22
�
�−2
+ �
�
Dari persamaan Tule Walker untuk model AR2 diperoleh:
Universitas Sumatera Utara
29 �
1
= �
11
+ �
1
�
22
�
2
= �
1
�
11
+ �
22
Koefisien �
22
dapat dinyatakan sebagai: �
22
=
��
2
−�
1 2
� �1−�
1 2
�
Secara umum, autokorelasi parsial lag k �
��
diperoleh dari persamaan Yule Walker, yang dalam notasi matriks adalah sebagai berikut:
� �
1
�
2
⋮ �
�
� = � 1
�
1
⋮ �
�−1
�
1
1 ⋮
�
�−2
�
2
� 1
⋮ �
�−3
�
�−1
�
�−2
⋮ 1
� � �
1
�
2
⋮ �
�
�
Autokorelasi parsial �
��
sebagai fungsi autokorelasi parsial. Untuk mendapatkan �
��
, maka:
�
��
=
� 1
�
1
⋮ �
�−1
�
1
1 ⋮
�
�−2
�
�−2
�
�−3
⋮ �
1
�
1
�
2
⋮ �
�
� �
1 �
1
⋮ �
�−1
�
1
1 ⋮
�
�−2
�
�−2
�
�−3
⋮ �
1
�
�−1
�
�−2
⋮ 1
�
Beberapa bentuk fungsi autokorelasi parsial proses autoregresif adalah sebagai berikut:
��1: �
11
= �
1
; �
��
= 0, untuk k 1 ��2: �
11
= �
1
; �
22
=
��
2
−�
1 2
� �1−�
1 2
�
; �
��
= 0, untuk k p Sifat-sifat fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan untuk
menentukan jenis proses autoregresif.
2.2.1.4 Proses Moving Average Order q[MAq]