31
2.3. Model Runtun Waktu Nonstasioner
Pembentukan model yang tepat dalam runtun waktu, pada umumnya menggunakan asumsi kestasioneran, sehingga jika terdapat kasus ketidakstasioneran, maka data
tersebut harus distasionerkan terlebih dahulu sebelum melangkah lebih lanjut pada pembentukan model runtun waktu.
Bentuk visual dari plot runtun waktu seringkali cukup meyakinkan bahwa suatu runtun waktu stasioner atau tidak stasioner, akan tetapi lebih meyakinkan lagi
dengan membuat plot nilai-nilai autokorelasi tersebut turun sampai nol dengan cepat, sesudah lag kedua atau ketiga, maka data tersebut dapat dikatakan stasioner.
Sedangkan jika nilai-nilai autokorelasinya turun sampai nol dengan lambat atau berbeda secara signifikan dari nol, maka data tersebut tidak stasioner.
Menurut Box-Jenkins 1976, bahwa runtun waktu yang tidak stasioner dapat diubah menjadi runtun waktu yang stasioner dengan melakukan deferensi berturut-
turut, yaitu dengan melihat barisan ∆�
�
, ∇�
�
, ... dengan ∇ adalah operator diferensi,
yang mempunyai nilai 1 – B atau ∇= −�.
2.3.1. Proses Autoregressive Inteagrated Moving Average model ARIMA
Berdasarkan uraian didepan telah dikemukakan bahwa runtun waktu �
�
yang takstasioner, dapat diubah manjadi stasioner dengan melakukan diferensi
�
�
= ∇ Z
t
= 1
− B�
�
. Karena �
�
merupakan runtun yang stasioner, maka dapat menggunakan model ARMA untuk menggambarkan
�
�
. Selanjutnya jika didefinisikan : W
t
= Z
t
– Z
t - 1
Maka proses umum model ARMA p,q dapat ditulis dalam bentuk: �
�
= ∅
1
�
�−1
+ ∅
2
�
�−2
+ ⋯ + ∅
�
�
�−�
+ �
1
�
�−1
+ ⋯ + �
�
�
�−�
+ �
�
Dengan substitusi dua persamaan tersebut, setelah dijabarkan akhirnya diperoleh: �
�
= �
�
+ �
�−1
+ �
�−2
+ ⋯
Universitas Sumatera Utara
32 Ini berarti bahwa Z
t
dapat dipandang sebagai integrasi runtun waktu W
t
, sehingga proses ARMA p, q dipandang sebagai integrated autoregressive-moving
average proses disingkat ARIMA. Dengan demikian proses ARIMA p, d, q untuk {Z} merupakan proses ARIMA p, q untuk {W
t
}, maka teori runtun waktu stasioner berlaku pula untuk W
t
.
Selanjutnya proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian autoregresif AR ditulis sebagai integrated moving average ditulis sebagai ARIMA 0, d, q. Sedangkan
proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian moving average ditulis ARIMA p, d, 0 atau autoregresif integrated [ARIp, d, 0].
2.3.2. Proses ARIMA p, d, 0
Bentuk umum proses ARIMA p, d, 0 adalah : Ф�{1 − �
�
�
�
− �} = �
�
dengan � ≥ 0
dengan a
t
t = ....., -1, 0, 1, 2...... variabel random independen terhadap N 0, σ
2 a
, B menyatakan operator Backshift sehingga
∅� = �1 − ∅
1
� − ∅
2
�
2
− ⋯ − ∅
�
�
�
� Pada model ARIMA p, d, 0 diatas apabila d = 0 maka akan diperoleh suatu runtun waktu yang stasioner, akan tetapi jika d 0 maka akan diperoleh suatu runtun
waktu yang tak stasioner nonstasioner. Kedua bentuk ini akan dibahas secara detail pada bagian berikut ini.
2.3.2.1. Model ARIMA p, d, 0 jika d = 0
Model ARIMA p, d, 0 untuk d = 0 sebagai berikut: ∅�{�
�
− �} = �
�
atau ∅��
�
= �
�
dengan �
�
= �
�
− �
Universitas Sumatera Utara
33 Seperti pada proses AR 1 pada pembahasan sebelumnya, untuk memudahkan
pen ulisan diambil μ = 0 sehingga diperoleh bentuk :
∅��
�
= �
�
atau �
1
− ∅
1
�
�−1
− ∅
2
�
�−2
− ⋯ − ∅
�
�
�−�
= �
�
�
�
= ∅
1
�
�−1
+ ∅
2
�
�−2
+ ⋯ + ∅
�
�
�−�
= �
�
Terlihat bahwa bentuk tersebut merupakan proses autogresif order p [AR p].
2.3.2.2. Model ARIMA p, d, 0 jika d 0
Bentuk ARIMA p, d, 0 untuk d 0 merupakan proses nonstasioner, menurut uraian di depan telah dikemukakan bahwa runtun waktu Z
t
yang nonstasioner dapat dibuat menjadi runtun waktu yang stasioner dengan jalan melakukan differensi W
t
= Δ
d
Z
t
= 1 - B
d
Z
t
dan substitusi W
t
pada model ARIMA p, d, 0, maka diperoleh bentuk: ∅�{�
�
− �} = �
�
Menurut Box-Jenkins 1976, untuk d 0 akan cocok jika diambil μ = 0, sehingga
diperoleh bentuk: ∅��
�
= �
�
atau �
�
− ∅
�
�
�−1
− ∅
2
�
�−2
− ⋯ − ∅
�
�
�−�
= �
�
Terlihat bahwa W
t
merupakan runtun yang stasioner dan merupakan proses autogresif order p [AR p], dengan demikian maka dapat menggunakan model ARMA untuk
menggambarkan W
t
. Selanjutnya jika didefinisikan : W
t
= Z
t
– Z
t-1
Maka proses umum model ARMA p, q dapat ditulis sebagai: �
�
= ∅
1
�
�−1
+ ∅
2
�
�−2
+ ⋯ + ∅
�
�
�−�
+ �
1
�
�−1
+ �
2
�
�−2
+ ⋯ + �
�
�
�−�
+ �
�
Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: �
�
= �
�
+ �
�−1
+ �
�−2
+ �
�−3
+ ⋯ 2. 40
Universitas Sumatera Utara
34 Bentuk ini menunjukan bahwa Z
t
dapat dipandang sebagai integrasi runtun waktu W
t
, sehingga proses ARMA p, q dipandang sebagai integrated autoregressive-moving
average process disingkat ARIMA. Dengan demikian proses ARIMA p, d, q untuk {Z
t
} merupakan proses ARMA p, q untuk {W
t
}, ini berarti teori runtun waktu stasioner berlaku pula untuk
�
�
.
2.4. Tinjauan Distribusi Normal Multivariate 2.4.1. Fungsi Densitas Normal Multivariate Bersama, distribusi Marginal dan
Distribusi Bersyarat
Misalkan X varibel random berdistribusi normal univariate dengan mean μ dan
variansi �
2
biasanya dinyatakan dengan �~�, �
2
. Fungsi densitas dari X adalah :
�� =
1 �√2�
��� �−
1 2
�
�−� �
�
2
� , ∞ � ∞, ∞ � ∞ dan
� 0 2.41 jika X
1
,X
2
,...,X
p
adalah variabel random berdistribusi independent ��, �
2
, maka vektor random X =
��
1
, �
2
, … , �
�
� mempunyai fungsi densitas bersama: ���� = ��
1
��
2
… ���
�
� =
1 2�
� 2
�
1
�
2
… �
�
��� �−
1 2
∑
�
�
−�
� 2
�
�
� �=1
�, −∞ �
�
∞, −∞ �
�
∞ dan
�
�
0; �=1,2,3,... 2.42
2.4.2. Fungsi Likelihood dan Estimasi Maksimum Likelihood
Setelah satu atau beberapa model sementara untuk suatu model sementara suatu runtun waktu kita identifikasikan, langkah selanjutnya adalah mencari estimasi terbaik
atau paling efisien untuk parameter-parameter dalam model tersebut.
Universitas Sumatera Utara
35 Contoh :
Dipunyai data runtun waktu sebagai berikut 15,5 15,7 15,6 16,7 18,0 17,4 17,9 18,8 17,6 17,0
16,1 15,7 15,9 17,9 20,3 20,4 20,2 20,5 10,9 20,9 21,1 21,4 18,2 20,1 21,4 21,3 21,9 21,3 20,4 20,4
20,7 20,7 20,9 23,0 24,9 26,5 25,6 26,1 27,0 27,2 28,1 28,0 29,1 28,3 25,7 24,5 24,4 25,5 27,0 28,7
29,1 29,0 29,6 31,2 30,6 29,8 27,6 27,7 29,0 30,3 31,0 32,1 33,5 33,2 33,2 33,8 35,5 36,6 36,9 39,0
41,0 41,6 43,7 44,4 46,6 48,3 50,2 52,1 54,0 56,0 Dari data asli setelah dilakukan perhitungan komputer diperoleh fak dan fakp sebagai
berikut:
Telah dihitung �
� = 0,51 �̅ = 27,45
�
� 2
= 94,23 �
� 2
= 1,25 ∅�
��
k
r
k
1
0,93
0,93 2
0,86
-0,03 3
0,79
-0,02 4
0,73
-0,01 5
0,67
0,02 6
0,62
-0,01 7
0,58
0,02 8
0,53
-0,02 9
0,49
0,01
k 10
11 12
13 14
15 16
17 18
∅�
��
r
k
0,45
-0,03 0,41
-0,01 0,38
0,02 0,43
0,31 0,29
0,26 0,24
0,22
Universitas Sumatera Utara
36 Dari fak dan fakp ditentukan model AR1 :
�
�
− � � = ∅�
�
− � � + �
�
dengan �
�
= �
�
− �
�−1
. Diperoleh estimasi parameter
∅ adalah ∅� = �
1
= 0,36 dan �
� 2
= �
� 2
1 − ∅
1 2
= 1,251 − 0,36
2
= 1,09 maka model runtun waktu tersebut adalah:
�
�
− 0,51 = 0,36�
�
− 0,51 + �
�
dimana nilai �
�
~ �0, �
� 2
.
Metode untuk mengestimasikan harga parameter dari model suatu runtun waktu dengan menggunakan metode maksimum likelihood.
Menurut Bain dan Engelhardt 1992, metode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang paramet
er Ω yang bersesuai dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang tidak diketahui.
Dalam aplikasi Lθ menunjukan fungsi densitas probabilitas bersama dari sample random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan Lθ
merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω maka
persamaan maksimum likelihoodnya adalah:
� ��
�� = 0
Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari Lθ dapat terpenuhi. Apabila
tak terpenuhi maka fungsi Lθ dapat dibuat logaritma naturnya, dengan ketentuan jika ln Lθ maksimum maka Lθ juga maksimum,
sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah:
� ��
ln �� = 0
Definisi 9
Fungsi densitas probabilitas bersama dari n variable random �
1
, �
2
, … , �
�
yang observasi pada �
1
, �
2
, … , �
�
di notasikan dengan ��
1
, �
2
, … , �
�
, �. Untuk
menentukan fungsi likelihood dari �
1
, �
2
, … , �
�
yang merupakan � dan dinotasikan
dengan ��, dengan �
1
, �
2
, … , �
�
adalah sampel random dari fungsi densitasprobabilitas
��; � yang fungsi likelihoodnya adalah: �� = ��
1
; ���
2
; � … ��
�
; � = ∏
���
�
; ��
� �=1
Bain dan Engelhardt, 1992 : 290
Universitas Sumatera Utara
37
Defenisi 10
Misalkan �� = ��
1
; ���
2
; � … ��
�
; � = ∏
���
�
; ��, ��
� �=1
Ω yang merupakan fungsi densitas probabilitas bersama
�
1
, �
2
, … , �
�
. Bila diberikan himpunan dari observasi autoregresif, serta estimasi maksimum likelihood pada
autoregresif ARI dan estimasi likelihood pada model ARIMA 1, 1, 0 Box-Jenkins yang homogen.
Universitas Sumatera Utara
38
BAB III
PEMBAHASAN
4.1 Inferensi Proses Autogresif Klasik Box-Jenkins
Bentuk umum proses ARIMA 1, 1, 0 klasik Box-Jenkins adalah: Ф�{1 − ��
�
− �} = �
�
4.1 dengan
�� = 1 − �
1
�, �
�
� = ⋯ , −1, 0, 1, 2, … variabel yang independen N 0,
�
� 2
. B menyatakan operator Backshift sehingga ��
�
= �
�−1
.
Inferensi model ARIMA 1, 1, 0 Box-Jenkins biasanya dikerjakan dalam dua tahap, yaitu:
1. Pada langkah pertama melakukan satu kali proses diferensi untuk suatu time series runtun waktu atau menstasionerkan runtun waktu yang nonstasioner
dengan metode pembeda diferensi yang disebut dengan proses ARIMA. 2. Langkah kedua mengestimasi parameter-parameter yang ada pada model
ARIMA 1,1,0 Box-Jenkins. Pada langkah kedua ini digunakan estimasi maksimum likelihood dan estimasi kuadrat terkecil.
Masing-masing langkah tersebut akan dibahas sebagai berikut.
4.1.1 Menentukan selisih diferensi pertama runtun waktu
Misalkan Z
t
didefinisikan seperti pada persamaan 4.1, untuk sederhananya diambil μ diketahui sama dengan nol. Jika struktur probabilistik tidak berubah dengan
berubahnya waktu, proses ini dinamakan stasioner. Untuk proses Gaussian yang didefinisikan dengan sifat bahwa fungsi kepadatan peluang fkp yang berkaitan
dengan sembarang himpunan waktu adalah normal multivariate.
Universitas Sumatera Utara
Kategori