32 Ini berarti bahwa Z
t
dapat dipandang sebagai integrasi runtun waktu W
t
, sehingga proses ARMA p, q dipandang sebagai integrated autoregressive-moving
average proses disingkat ARIMA. Dengan demikian proses ARIMA p, d, q untuk {Z} merupakan proses ARIMA p, q untuk {W
t
}, maka teori runtun waktu stasioner berlaku pula untuk W
t
.
Selanjutnya proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian autoregresif AR ditulis sebagai integrated moving average ditulis sebagai ARIMA 0, d, q. Sedangkan
proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian moving average ditulis ARIMA p, d, 0 atau autoregresif integrated [ARIp, d, 0].
2.3.2. Proses ARIMA p, d, 0
Bentuk umum proses ARIMA p, d, 0 adalah : Ф�{1 − �
�
�
�
− �} = �
�
dengan � ≥ 0
dengan a
t
t = ....., -1, 0, 1, 2...... variabel random independen terhadap N 0, σ
2 a
, B menyatakan operator Backshift sehingga
∅� = �1 − ∅
1
� − ∅
2
�
2
− ⋯ − ∅
�
�
�
� Pada model ARIMA p, d, 0 diatas apabila d = 0 maka akan diperoleh suatu runtun waktu yang stasioner, akan tetapi jika d 0 maka akan diperoleh suatu runtun
waktu yang tak stasioner nonstasioner. Kedua bentuk ini akan dibahas secara detail pada bagian berikut ini.
2.3.2.1. Model ARIMA p, d, 0 jika d = 0
Model ARIMA p, d, 0 untuk d = 0 sebagai berikut: ∅�{�
�
− �} = �
�
atau ∅��
�
= �
�
dengan �
�
= �
�
− �
Universitas Sumatera Utara
33 Seperti pada proses AR 1 pada pembahasan sebelumnya, untuk memudahkan
pen ulisan diambil μ = 0 sehingga diperoleh bentuk :
∅��
�
= �
�
atau �
1
− ∅
1
�
�−1
− ∅
2
�
�−2
− ⋯ − ∅
�
�
�−�
= �
�
�
�
= ∅
1
�
�−1
+ ∅
2
�
�−2
+ ⋯ + ∅
�
�
�−�
= �
�
Terlihat bahwa bentuk tersebut merupakan proses autogresif order p [AR p].
2.3.2.2. Model ARIMA p, d, 0 jika d 0
Bentuk ARIMA p, d, 0 untuk d 0 merupakan proses nonstasioner, menurut uraian di depan telah dikemukakan bahwa runtun waktu Z
t
yang nonstasioner dapat dibuat menjadi runtun waktu yang stasioner dengan jalan melakukan differensi W
t
= Δ
d
Z
t
= 1 - B
d
Z
t
dan substitusi W
t
pada model ARIMA p, d, 0, maka diperoleh bentuk: ∅�{�
�
− �} = �
�
Menurut Box-Jenkins 1976, untuk d 0 akan cocok jika diambil μ = 0, sehingga
diperoleh bentuk: ∅��
�
= �
�
atau �
�
− ∅
�
�
�−1
− ∅
2
�
�−2
− ⋯ − ∅
�
�
�−�
= �
�
Terlihat bahwa W
t
merupakan runtun yang stasioner dan merupakan proses autogresif order p [AR p], dengan demikian maka dapat menggunakan model ARMA untuk
menggambarkan W
t
. Selanjutnya jika didefinisikan : W
t
= Z
t
– Z
t-1
Maka proses umum model ARMA p, q dapat ditulis sebagai: �
�
= ∅
1
�
�−1
+ ∅
2
�
�−2
+ ⋯ + ∅
�
�
�−�
+ �
1
�
�−1
+ �
2
�
�−2
+ ⋯ + �
�
�
�−�
+ �
�
Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: �
�
= �
�
+ �
�−1
+ �
�−2
+ �
�−3
+ ⋯ 2. 40
Universitas Sumatera Utara
34 Bentuk ini menunjukan bahwa Z
t
dapat dipandang sebagai integrasi runtun waktu W
t
, sehingga proses ARMA p, q dipandang sebagai integrated autoregressive-moving
average process disingkat ARIMA. Dengan demikian proses ARIMA p, d, q untuk {Z
t
} merupakan proses ARMA p, q untuk {W
t
}, ini berarti teori runtun waktu stasioner berlaku pula untuk
�
�
.
2.4. Tinjauan Distribusi Normal Multivariate 2.4.1. Fungsi Densitas Normal Multivariate Bersama, distribusi Marginal dan
Distribusi Bersyarat
Misalkan X varibel random berdistribusi normal univariate dengan mean μ dan
variansi �
2
biasanya dinyatakan dengan �~�, �
2
. Fungsi densitas dari X adalah :
�� =
1 �√2�
��� �−
1 2
�
�−� �
�
2
� , ∞ � ∞, ∞ � ∞ dan
� 0 2.41 jika X
1
,X
2
,...,X
p
adalah variabel random berdistribusi independent ��, �
2
, maka vektor random X =
��
1
, �
2
, … , �
�
� mempunyai fungsi densitas bersama: ���� = ��
1
��
2
… ���
�
� =
1 2�
� 2
�
1
�
2
… �
�
��� �−
1 2
∑
�
�
−�
� 2
�
�
� �=1
�, −∞ �
�
∞, −∞ �
�
∞ dan
�
�
0; �=1,2,3,... 2.42
2.4.2. Fungsi Likelihood dan Estimasi Maksimum Likelihood
