11
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Suatu runtun waktu adalah himpunan observasi beraturan dalam waktu atau dalam dimensi apa saja yang lain. Jika pengalaman yang lalu, keadaan yang akan datang
dapat diramalkan secara pasti, maka runtun waktu itu dinamakan deterministik, dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu
hanya bisa menunjukkan struktur probabilitas keadaan yang akan datang suatu runtun waktu, maka runtun waktu semacam ini dinamakan stokastik statistik.
Runtun waktu statistik dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari stokastik. Biasanya tidak mungkin diperoleh realisasi yang lain dari suatu proses statistik, yaitu
tidak dapat diulang kembali keadaan untuk memperoleh himpunan observasi serupa seperti yang telah dikumpulkan. Selanjutnya, misalkan
�
1
, �
2
, … , �
�
adalah observasi yang telah diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan
observasi itu. Dengan demikian �
�
dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari suatu variable random
�
�
yang mempunyai distribusi dengan fungsi densitas probabilitas fdp tertentu, misalnya
� �
�
.
Setiap himpunan �
�
misalnya �
�
, … , �
�+�
mempunyai fkp fungsi kepadatan peluang bersama
��
�1
, … , �
��
, jika suatu proses statistik mempunyai fkp fungsi kepadatan peluang bersama
��
�+�1
, … , �
�+��
yang independen dengan t, sebarang pilihan
�
1
, �
2
, … , �
�
yang mempunyai struktur probabilistik tidak berubah dengan berubahnya waktu. Proses seperti ini dinamakan stasioner, jika tidak demikian maka
proses itu dinamakan tak stasioner. Apabila definisi kondisi ini berlaku dengan
Universitas Sumatera Utara
12 pembatasan m
≥ p, dengan p bilangan bulat positif, maka stasioneritas itu dinamakan stasioner tingkat p.
Untuk proses Gaussian yang didefenisikan dengan sifat bahwa fkp fungsi kepadatan peluang yang berkaitan dengan sebarang himpunan waktu adalah normal
multivariate, stasioneritasnya hanya memerlukan stasioneritas tingkat dua. Dengan demikian biasanya cukup puas dengan stasioneritas tingkat dua, yang dinamakan
stasioneritas lemah dengan mengharapkan asumsi normalitas berlaku.
Runtun waktu yang stasioner pada umumnya jarang sekali dijumpai dalam praktek, namun stasioneritas merupakan asumsi yang sangat bermanfaat dalam
mengestimasi runtun waktu. Pada tahun 1970-an Box-Jenkins membahas tentang model runtun waktu klasik, termasuk didalamnya model autoregresif klasik. Dalam
perkembangannya model autoregresif itu mempunyai dua macam yakni model autoregresif yang stasioner dan model autoregresif yang tidak stasioner nonstasioner.
Pada runtun waktu yang stasioner biasanya bisa langsung dilakukan estimasi terhadap parameter - parameter yang ada, tetapi untuk model runtun waktu yang tidak stasioner
perlu dilakukan langkah untuk menjadikan runtun waktu itu stasioner dulu, kemudian mengestimasi parameter - parameternya.
Jika data asli menunjukkan adanya ketidakstasioneran, maka perlu dilakukan transformasi, apabila ragam runtun aslinya telah stasioner tetapi nilai tengah runtun
menunjukkan keadaan yang tidak stasioner, maka untuk menghilangkan ketidakstasioneran itu digunakan metode pembeda diferensi. Cara ini akan membuat
runtun waktu selisih derajat tertentu nilai-nilai yang berurutan dari runtun aslinya �
�
ditulis �
�
= �
�
− �
�−1
menjadi stasioner, yang dipandang bahwa �
�
sebagai integrasi runtun waktu
�
�
yang dikenal sebagai proses autoregresife integrated moving average ARIMA, sehingga ketentuan yang berlaku pada proses ARMA
barlaku pula untuk proses ARIMA.
Proses ARIMA yang tidak mempunyai proses moving average disebut ARI p, d atau ARIMA p, d, 0. Model ini mempunyai beberapa macam model, diantaranya
Universitas Sumatera Utara
13 model autoregresif atau ARIMA 1, d, 0, 2, d, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 0 dan p,
d, 0.
Model runtun waktu yang tidak stasioner dikelompokkan menjadi dua yaitu model runtun waktu tak stasioner nonstasioner homogen dan runtun waktu tak
stasioner nonstasioner tak homogen. Runtun waktu nonstasioner yang homogen ditunjukkan oleh selisih perubahan nilai-nilai yang berurutan adalah stasioner.
Proses runtun waktu ARIMA 1, 1, 0 Box-Jenkins klasik ditulis dalam bentuk: 1
− �
1
��1 − ��
�−�
� = �
�
Selanjutnya misalkan �
1
, �
2
, … , �
�
adalah sekumpulan observasi dan telah diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan observasi itu,
dengan memandang observasi itu sebagai variabel random yang diambil dari distribusi bersama
����
1
, �, �
� 2
� dengan �
1
, μ dan σ
a 2
adalah parameter-parameter yang tidak diketahui, sedangkan W menunjukkan barisan atau vektor yang stasioner dan
merupakan selisih observasi di atas. Dari fungsi bersama tersebut dapat ditentukan estimasi maksimum likelihoodnya.
Dari uraian di atas, penulis tertarik ingin mengadakan penelitian tentang estimasi maksimum likelihood model ARIMA 1, 1, 0.
1.1.1. Perumusan Masalah
Menentukan nilai-nilai parameter pada model ARIMA 1, 1, 0 yang homogen dengan menggunakan metode maksimum likelihood.
ARIMA 1,1,0 dengan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood
Universitas Sumatera Utara
14
1.1.2. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini adalah:
a. Mempelajari cara mengkontruksi bentuk fungsi likelihood dari model
aoutoregresif, khususnya model ARIMA 1,1,0. b.
Menentukan estimator untuk parameter-parameter yang ada pada model ARIMA 1,1,0 dengan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood.
1.1.3. Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat antara lain: 1.
Bagi peneliti diharapkan dapat menambah wawasan pengetahuan yang lebih luas terutama yang berkaitan dengan masalah estimasi model ARIMA 1,1,0
Box-Jenkins. 2.
Secara umum diharapkan dapat memberikan sumbangan pengetahuan dan gambaran tentang estimasi model ARIMA 1,1,0 Box-Jenkins.
1.1.4. Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan beberapa langkah yaitu: 1.
Pada langkah pertama melakukan satu kali proses diferensi untuk suatu time series runtun waktu.
2. Langkah kedua mengestimasi parameter-parameter yang ada pada model
ARIMA 1, 1, 0 Box-Jenkins. Pada langkah kedua ini digunakan estimasi kuadrat terkecil.
3. Menarik kesimpulan, yaitu menyimpulkan hasil dan informasi dari langkah-
langkah sebelumnya dan memberikan saran-saran sebagai masukan.
Universitas Sumatera Utara
15
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Konsep Dasar Analisis Runtun Waktu