Memodelkan Persamaan Orde Satu Memodelkan Persamaan Orde Kedua

2.2 Analisis Regresi

Hubungan antara variabel bebas atau faktor-faktor yang mempengaruhi variabel respon dengan variabel respon itu sendiri dibentuk dalam persamaan regresi ganda. Dalam penelitian ini persamaan regresi pada model orde satu dan orde dua metode permukaan respon akan diselesaikan dengan menggunakan bentuk matriks.

2.2.1 Memodelkan Persamaan Orde Satu

Model orde satu untuk � variabel bebas adalah sebagai berikut: � � = � + � 1 � 1 � + � 2 � 2 � + � 3 � 3 � + ⋯ + � � � �� + � 2.1 Keterangan: � � =variabel dependen respon � = konstanta � � = parameter variabel bebas � � �� =variabel independen variabel bebas, � = 1,2, … , � � =error Untuk mencari nilai � , � 1 , � 2 ��� � 3 dapat digunakan berbagai metode. Metode yang paling sederhana dan umum digunakan adalah metode kuadrat terkecil. Dalam hal ini untuk meminimumkan galat dihitung jumlah kuadrat galat, kemudian jumlah kuadrat galat ini diturunkan secara berurutan terhadap � , � 1 , � 2 , … , � � yang selanjutnya disamakan dengan 0. Turunan jumlah kuadrat galat terhadap � , � 1 , � 2 , … , � � sebagai berikut: �� + � 1 ∑ � 1 � � � + � 2 ∑ � 2 � � � + ⋯ + � � ∑ � �� � � = ∑ � � � � � ∑ � 1 � � � + � 1 ∑ � 1 � 2 � � + � 2 ∑ � 1 � � 2 � � � + ⋯ + � � ∑ � 1 � � �� � � = ∑ � 1 � � � � � ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ � ∑ � �� � � + � 1 ∑ � �� � 1 � � � + � 2 ∑ � �� � 2 � � � + ⋯ + � � ∑ � �� 2 � � = ∑ � �� � � � � 2.2 Selanjutnya untuk memperoleh nilai � , � 1 , � 2 , … , � � dibentuk matriks dari persaman normal 2.2 � = � ′ � Dengan � = � 1 � 11 � 21 … � �1 1 � 12 � 22 … � �2 … … … … … 1 � 1 � � 2 � … � �� � , � ′ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 1 … 1 � 11 � 12 … � 1 � � 21 … � 21 … … … � 2 � … � �1 � �2 … � �� ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Maka � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � ∑ � 1 � � � ⋮ ∑ � 1 � � � ∑ � 2 � � � … ∑ � �� � � ∑ � 1 � 2 � � ∑ � 1 � � �� � � … ∑ � 1 � � �� � � ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ∑ � �� � � ∑ � �� � 1 � � � ∑ � �� � 2 � � � … ∑ � �� 2 � � ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 2.3 Untuk � = � ′ � Dengan = � � 1 � 2 … � � � , maka � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ∑ � � � � ∑ � 1 � � � � � ⋮ ∑ � �� � � � � ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ Maka persamaan normal dapat dinyatakan dalam bentuk matriks �. � = �, maka � = � −1 . �. Untuk mempermudah pengerjaan proses estimasi dapat dilakukan dengan bantuan software Minitab. 2.2.2 Uji Signifikansi 2.2.2.1 Uji signifikan secara serentak Pengujian ini dilakukan untuk menentukan apakah terjadi hubungan antara parameter tidak bebas � dengan parameter bebasnya � 1 , � 2 , � 3 . � : � � = � 1 = � 2 = ⋯ = � � = 0 semua parameter regresi bernilai 0, yaitu semua parameter bebas tidak berpengaruh terhadap parameter respon. � 1 : minimal ada satu � � ≠ 0 sedikitnya ada satu parameter bebas yang berpengaruh terhadap parameter respon. Statistik ujinya dengan rumus: � ℎ����� = �� � �� � � ditolak jika � ℎ����� � ����� atau � ����� �, yang berarti model dapat diterima secara statistik dan paling sedikit ada satu parameter bebas yang mempunyai pengaruh nyata terhadap respon �.

2.2.2.2 Uji signifikan secara individu

Pengujian koefisien parameter secara individu ini dimaksudkan untuk menguji regresi � � pada suatu parameter bebas � � tertentu, bila parameter bebas � � dianggap konstan. Hipotesa yang di uji: � : � = 0 ⟹yaitu � � tidak mempengaruhi respon � 1 : � � ≠ 0 ⟹ yaitu � 1 mempengaruhi respon Dengan menggunakan uji statistik yang sama dengan signifikansi secara serentak maka kriteria keputusannya juga sama yaitu jika � ℎ����� � ����� atau � ����� � maka � ditolak, yang berarti bahwa variabel bebas memberi pengaruh nyata pada respon �. Tabel 2.1 Uji Signifikansi secara manual Sumber Variansi Dk Jumlah Kuadrat JK Rata-rata Jumlah Kuadrat RJK � ℎ����� Total � � � 2 � ℎ = ��� ��� � 1|�0 ��� ��� Regresi � 1 �� ��� � 0 = ∑ � 2 � ��� ��� � 0 = �� ��� � 0 Regresi � � | � 1 �� ��� � 1|�0 = � 1 { ∑ �� − ∑ �∑ � � } ��� ��� � 1|�0 = �� ��� � 1|�0 Residu � − 2 �� ��� = � � 2 − �� ��� �� 1|�0� − �� ��� � 0 ��� ��� = �� ��� � − 2 Keterangan: �� ��� : Jumlah Kuadrat Regresi �� ��� : Jumlah Kuadrat Residu ��� ��� : Rata-rata Jumlah Kuadrat Regresi ��� ��� : Rata-rata Jumlah Kuadrat Residu

2.2.3 Memodelkan Persamaan Orde Kedua

Jika Uji signifikansi menyatakan bahwa terdapat variabel bebas yang signifikan atau mempengaruhi variabel respon, maka variabel bebas tersebut digunakan kembali untuk persamaan orde dua, persamaan orde kedua dalam bentuk persamaan regresi sebagai berikut: � � = � + � 1 � 1 + � 2 � 2 + � 3 � 3 + � 11 � 1 2 + � 22 � 2 2 + � 33 � 3 2 + � 12 � 1 � 2 + � 13 � 1 � 3 + � 23 � 2 � 3 + � 2.4 Apabila diambil permisalan replikasi antar variabel � 1 2 menjadi � 4 sampai � 2 � 3 menjadi � 9 maka persamaan 2.4 dalam bentuk yang lebih sederhana adalah sebagai berikut: � � = � + � 1 � 1 + � 2 � 2 + � 3 � 3 + � 4 � 4 + � 5 � 5 + � 6 � 6 + � 7 � 7 + � 8 � 8 + � 9 � 9 + � 2.5 sehingga persamaan orde dua menjadi persamaan regresi linier dengan jumlah variabel bebas sebanyak sembilan dan variabel bebas ke- � � 3 merupakan variabel bebas hasil replikasi dari tiga variabel bebas pada persamaan orde satu.

2.3 Metode Permukaan Respon

Metode permukaan respon adalah suatu metode yang menggabungkan teknik matematika dengan teknik statistika yang digunakan untuk membuat model dan menganalisis suatu respon yang dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas atau faktor, dengan tujuan mengoptimalkan respon Montgomery, 2001. Ide dasar metode ini adalah memanfaatkan desain eksperimen dengan bantuan statistika untuk mencari nilai optimal dari suatu respon. Metode permukaan respon yang dikemukakan oleh Box dan Wilson pada 1950 merupakan salah satu alat yang efektif untuk mengkaji hubungan antara respon dan variabel input tersebut. Dengan menyusun suatu model matematika, peneliti dapat mengetahui nilai variabel-variabel independen yang menyebabkan nilai variabel respon menjadi optimal. Hubungan antara respon � dan variabel input� adalah: � = �� 1 , � 2 , � 3 , … , � � + � 2.6 Keterangan: � � = variabel dependen respon � � = variabel independen variabel bebas, � = 1,2, … , �