Bilangan Reproduksi Dasar Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis

49 menyerang populasi atau terbebas dari infeksi, namun jika 1 R  maka setiap penderita sangat mungkin untuk menyebarkan penyakit kepada lebih dari 1 penderita baru, sehingga dapat menyebabkan endemik. Bilangan reproduksi dasar   R dapat ditentukan menggunakan metode next generation matrix dari Sistem Persamaan 3.4. Pada model matematika tersebut, kelas terinfeksi adalah Infectious I sehingga persamaan diferensial yang digunakan sebagai berikut: = t dI I b S c I dt N      3.17 maka diperoleh:   dan = . t I b S c I N                  Selanjutnya  dan  dilinearisasi, diperoleh hasil linierisasi sebagai berikut:   2 dan t bS bSI F V c N N              Kemudian akan dicari 1 V  diperoleh: 1 1 t V c             Next generation matrix diperoleh dari hasil perkalian F dan 1 V  sebagai berikut: 50 2 1 2 1 . t t bS bSI bS bSI N N K FV N N c c                                     3.18 Pada awal kemunculan penyakit pada populasi, hampir semua individu rentan terhadap penyakit, sehingga S pada Persamaan 3.18 dapat didekati dengan menggunakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Sehingga langkah selanjutnya, yaitu mensubstitusi , , , 0, 0 E S I R           pada Persamaan 3.18, diperoleh: t b K c            . 3.19 Dari Persamaan 3.19 diperoleh nilai eigen, yaitu t b c     . Sehingga bilangan reproduksi dasar   R dari Sistem Persamaan 3.4 sebagai berikut: t b R c      . 3.20

3. Analisis Kestabilan

Nilai eigen berfungsi untuk mencari kestabilan dari titik ekuilibrium pada sistem. Nilai eigen dapat ditentukan menggunakan matriks Jacobian   MJ untuk setiap titik ekuilbrium. Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan 3.4 disajikan dalam Teorema 3.2. dan Teorema 3.3. sebagai berikut : 51 Teorema 3.2. a. Jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           stabil asimtotik lokal b. Jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           tidak stabil Bukti: Hasil linearisasi Sistem 3.4 akan diperoleh matriks Jacobian: 2 2 2 2 2 2 t f f f bI bSI bs bSI bSI S I R N N N N N g g g bI bSI bs bSI bSI MJ c S I R N N N N N h h h c S I R                                                                         3.21 Substitusikan E pada Persamaan 3.21 diperoleh: 1 ,0,0 t b MJ MJ b c c                               Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk  , yaitu: 1 det MJ I    t b b c c                 