14
H t adalah matriks ukuran n x 1 yang merupakan fungsi dari t. Berikut Persamaan 2.2 yang dituliskan dalam bentuk matriks:
11 12
1 1
1 21
22 2
2 2
1 2
3
.
n n
n n
n nn
n n
a a
a x
H t a
a a
x H
t dy
dt a
a a
a x
H t
2.4
Contoh 2.5
Diberikan sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut:
2 3
6 dx
x y
dt dy
x y
dt
2.5
Sistem Persamaan 2.5 merupakan persamaan diferensial linear homogen.
2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear
Definisi 2.5. Ross, 1984
Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tidak linear.
Persamaan diferensial dapat dikatakan sebagai persamaan diferensial nonlinear apabila memenuhi setidaknya satu dari kriteria berikut Ross, 1984,
i. Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu.
ii. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas danatau turunan-turunannya.
iii. Terdapat fungsi transedental dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya.
15
Contoh 2.6
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:
1 1
2 2
2
1 dx
x x
dt dx
x dt
2.6
Penyelesaian:
2 2
dx x
dt
2 2
1 dx
dt x
Integralkan kedua ruas, diperoleh
2
2
1 d x
dt x
2 1
2
ln x c
t c
2
ln x t
c
2 t c
x e
2
.
t
x ke
1 1
2
1 dx
x x
dt
1 2
1
1 1
dx x dt
x
16
1 1
1 1
t
dx ke dt
x
Integralkan kedua ruas, diperoleh
1 1
1 1
t
dx ke dt
x
1 3
4
ln
t
x c
t ke
c
1 5
ln
t
x t
ke c
5
1
t
t ke c
x e
1 1
t
t ke
x k e e
misalkan
1 2
k k k
maka
1 2
t
t ke
x k ke e
2
1 2 2
.
x
x k x e
Sehingga diperoleh penyelesaiannya adalah
2 t
x ke
2
1 2 2
x
x k x e
Sistem Persamaan 2.6 merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear dengan variabel bebas t dan variabel tak bebas
1
x dan
2
x . Sistem tersebut dikatakan sistem persamaan nonlinear karena terdapat perkalian antara variabel
tak bebasnya pada persamaan yang pertama, kemudian pada persamaan yang kedua terdapat kuadrat dari variabel tak bebasnya.
17
Contoh 2.7
Persamaan diferensial yang memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu:
3
3 4.
dy x
dt
Contoh 2.8
Persamaan diferensial yang memuat perkalian dari variabel tak bebas danatau turunan-turunannya:
1 1 2
1
3 . dx
x x x
dt
Contoh 2.9
Persamaan diferensial yang memuat fungsi transedental daari variabel tak bebas dan turunan-turunannya:
2
3 4.
x
dy e
dt
D. Titik Ekuilibrium
Definisi 2.6. Perko, 2001
Titik ˆx disebut titik ekuilibrium dari
x f x
jika
ˆ 0.
f x
18
Contoh 2.10
Akan ditentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan 2.6. Misalkan Sistem 2.6 dapat dituliskan dalam bentuk
x f x
dengan
1 2 2
2 1
2
. x x
x f x
x x
Titik
ekuilibrium
1 2
ˆ ˆ ˆ
, x
x x
dari Sistem 2.6 dapat diperoleh jika
ˆx f
, sehingga sistem tersebut menjadi
1 2 2
ˆ ˆ ˆ
x x x
2 1
ˆ ˆ 1 0 x
x
2 1
ˆ ˆ
0 dan 1.
x x
Untuk
2
ˆ x
, maka
2 1
2
ˆ ˆ x
x
1
ˆ 0 x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium
0, 0
T
. Untuk
1
ˆ 1 x
, maka
2 1
2
ˆ ˆ x
x
2 2
ˆ 1
x
2 2
ˆ 1 x
2
ˆ 1 x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium
1,1
T
.
