Titik Ekuilibrium Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis

45 t I b S c I N       3.6 0. cI R    3.7 Berdasarkan Persamaan 3.6, diperoleh : t I b S c I N       t bS I c N             0. I  3.8 Dan jika I  t bS c N      t c S N b      t c S I R S b        t t c S c I R S b b            b t t c c I R S b b                  . b t t c I R S c                  3.9 a. Dari Persamaan 3.8 dan Persamaan 3.7 diperoleh : cI R    46 R    0. R  3.10 Dari Persamaan 3.5, 3.8 dan 3.10 diperoleh: I b S S N       S      . S    3.11 Oleh karena itu, diperoleh titik ekuilibrium , , , 0, 0 E S I R           sehingga terbukti sistem Persamaan 1.4 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           . b. Untuk setiap I  artinya I  maka pada Persamaan 3.7 diperoleh : . R I c   3.12 Substitusikan Persamaan 3.12 pada Persamaan 3.9 diperoleh :     . b t t R c c S c c             3.13 Substitusikan Persamaan 3.13 pada Persamaan 3.5 diperoleh :     b t t t R c c c R b N cN b c c                                 47   1 b t t c c R c c                         b t t t c b R c c                           b . t t t c c R c b               3.14 Substitusikan Persamaan 3.14 pada Persamaan 3.12 diperoleh :      b t t t c c I c c b                     b , 0. t t t c I I c b                3.15 Supaya I  maka diperoleh :      b t t t c c b                  b t t c b           b t t c b         1 t c b       1 t c b      t b c      48 . t b c      Substitusikan Persamaan 3.14 pada Persamaan 3.13 diperoleh :          b b t t t t t c c c c S c b c c                                        . t c S b        3.16 Berdasarkan Persamaan 3.14, 3.15, dan 3.16 diperoleh titik ekuilibrium sebagai berikut :               1 b b , , , , t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                          dengan syarat t b c      . Jadi terbukti jika I  , maka Sistem Persamaan 3,4 memiliki titik ekuilibrium endemik :               1 b b , , , , . t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                         

2. Bilangan Reproduksi Dasar

  R Bilangan reproduksi dasar   R adalah jumlah rata-rata dari kasus sekunder yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi selama masa terinfeksinya dalam suatu populasi individu rentan. Jika 1 R  penyakit tidak 49 menyerang populasi atau terbebas dari infeksi, namun jika 1 R  maka setiap penderita sangat mungkin untuk menyebarkan penyakit kepada lebih dari 1 penderita baru, sehingga dapat menyebabkan endemik. Bilangan reproduksi dasar   R dapat ditentukan menggunakan metode next generation matrix dari Sistem Persamaan 3.4. Pada model matematika tersebut, kelas terinfeksi adalah Infectious I sehingga persamaan diferensial yang digunakan sebagai berikut: = t dI I b S c I dt N      3.17 maka diperoleh:   dan = . t I b S c I N                  Selanjutnya  dan  dilinearisasi, diperoleh hasil linierisasi sebagai berikut:   2 dan t bS bSI F V c N N              Kemudian akan dicari 1 V  diperoleh: 1 1 t V c             Next generation matrix diperoleh dari hasil perkalian F dan 1 V  sebagai berikut: