Titik Ekuilibrium Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis
45
t
I b
S c I
N
3.6
0. cI
R
3.7 Berdasarkan Persamaan 3.6, diperoleh :
t
I b
S c I
N
t
bS I
c N
0. I
3.8
Dan jika I
t
bS c
N
t
c S
N b
t
c S I
R S
b
t t
c S c I
R S
b b
b
t t
c c I
R S
b b
. b
t t
c I R
S c
3.9
a. Dari Persamaan 3.8 dan Persamaan 3.7 diperoleh :
cI R
46 R
0. R
3.10
Dari Persamaan 3.5, 3.8 dan 3.10 diperoleh: I
b S
S N
S
. S
3.11
Oleh karena itu, diperoleh titik ekuilibrium
, , , 0, 0
E S I R
sehingga terbukti sistem Persamaan 1.4 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
.
b. Untuk setiap
I artinya
I maka pada Persamaan 3.7 diperoleh :
. R
I c
3.12
Substitusikan Persamaan 3.12 pada Persamaan 3.9 diperoleh :
. b
t t
R c
c S
c c
3.13
Substitusikan Persamaan 3.13 pada Persamaan 3.5 diperoleh :
b
t t
t
R c
c c
R b
N cN
b c
c
47
1 b
t t
c c
R c
c
b
t t
t
c b
R c
c
b .
t t
t
c c
R c b
3.14
Substitusikan Persamaan 3.14 pada Persamaan 3.12 diperoleh :
b
t t
t
c c
I c
c b
b ,
0.
t t
t
c I
I c b
3.15
Supaya I
maka diperoleh :
b
t t
t
c c b
b
t t
c b
b
t t
c b
1
t
c b
1
t
c b
t
b c
48
.
t
b c
Substitusikan Persamaan 3.14 pada Persamaan 3.13 diperoleh :
b b
t t
t t
t
c c
c c
S c b
c c
.
t
c S
b
3.16
Berdasarkan Persamaan 3.14, 3.15, dan 3.16 diperoleh titik ekuilibrium sebagai berikut :
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
dengan syarat
t
b c
.
Jadi terbukti jika I
, maka Sistem Persamaan 3,4 memiliki titik ekuilibrium endemik :
1
b b
, , ,
, .
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b