Titik Ekuilibrium LANDASAN TEORI

18 Contoh 2.10 Akan ditentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan 2.6. Misalkan Sistem 2.6 dapat dituliskan dalam bentuk   x f x  dengan   1 2 2 2 1 2 . x x x f x x x          Titik ekuilibrium   1 2 ˆ ˆ ˆ , x x x  dari Sistem 2.6 dapat diperoleh jika   ˆx f  , sehingga sistem tersebut menjadi 1 2 2 ˆ ˆ ˆ x x x     2 1 ˆ ˆ 1 0 x x   2 1 ˆ ˆ 0 dan 1. x x   Untuk 2 ˆ x  , maka 2 1 2 ˆ ˆ x x   1 ˆ 0 x  sehingga diperoleh titik ekuilibrium   0, 0 T . Untuk 1 ˆ 1 x  , maka 2 1 2 ˆ ˆ x x   2 2 ˆ 1 x   2 2 ˆ 1 x  2 ˆ 1 x  sehingga diperoleh titik ekuilibrium   1,1 T . 19 Jadi Sistem 2.6 mempunyai titik ekuilibrium   0, 0 T dan   1,1 T .

E. Linearisasi

Linearisasi merupakan suatu proses untuk mengubah sistem persamaan nonlinear menjadi sistem persamaan linear. Linearisasi dilakukan pada sistem persamaan nolinear yang bertujuan untuk mengetahui perilaku sistem disekitar titik ekuilibriumnya. Adapun syarat linearisari adalah bagian real akar karakteristiknya tidak nol. Diberikan sistem persamaan nonlinear sebagai berikut:   x=f x 2.7 dengan , : , n n x L f L    fungsi nonlinear dan kontinu. Lineariasi dapat menggunakan matriks Jacobian. Berikut adalah penjelasan mengenai matriks Jacobian: Teorema 2.1. Perko, 2001 Jika : n n f  terdiferensial di x maka diferensial parsial , , 1, 2,..., , i j f i j n x    di x ada untuk semua n x  dan     1 . n j j j f Df x x x x x      20 Bukti:                     1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 n n n n n j j j n n n n n f f f x x x x x x x x x f f f x x x x x x f x x x x x x f f f x x x x x x x x x                                                                                                               1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n f f f x x x x x x x f f f x x x x x x x x f f f x x x x x x                                                        . Df x x  dengan   Df x disebut sebagai matriks Jacobian dari fungsi : n n f  yang terdiferensial pada n x  dan   Df x dapat dinotasikan   Jf x . Kemudian akan ditunjukkan proses linearisasi dari suatu sistem persamaan diferensial. Misalkan   1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., T n x x x x  adalah titik ekuilibrium Sistem 2.7 maka pendekatan linear untuk Sistem 2.7 diperoleh dengan menggunakan ekspansi Taylor disekitar titik ekuilibrium tersebut, sebagai berikut             1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., T T T T n n n n n n f n f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R x x                        2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., T T T T n n n n n n f n f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R x x           