18
Contoh 2.10
Akan ditentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan 2.6. Misalkan Sistem 2.6 dapat dituliskan dalam bentuk
x f x
dengan
1 2 2
2 1
2
. x x
x f x
x x
Titik
ekuilibrium
1 2
ˆ ˆ ˆ
, x
x x
dari Sistem 2.6 dapat diperoleh jika
ˆx f
, sehingga sistem tersebut menjadi
1 2 2
ˆ ˆ ˆ
x x x
2 1
ˆ ˆ 1 0 x
x
2 1
ˆ ˆ
0 dan 1.
x x
Untuk
2
ˆ x
, maka
2 1
2
ˆ ˆ x
x
1
ˆ 0 x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium
0, 0
T
. Untuk
1
ˆ 1 x
, maka
2 1
2
ˆ ˆ x
x
2 2
ˆ 1
x
2 2
ˆ 1 x
2
ˆ 1 x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium
1,1
T
.
19
Jadi Sistem 2.6 mempunyai titik ekuilibrium
0, 0
T
dan
1,1
T
.
E. Linearisasi
Linearisasi merupakan suatu proses untuk mengubah sistem persamaan nonlinear menjadi sistem persamaan linear. Linearisasi dilakukan pada sistem
persamaan nolinear yang bertujuan untuk mengetahui perilaku sistem disekitar titik ekuilibriumnya. Adapun syarat linearisari adalah bagian real akar
karakteristiknya tidak nol. Diberikan sistem persamaan nonlinear sebagai berikut:
x=f x 2.7
dengan , :
,
n n
x L
f L
fungsi nonlinear dan kontinu.
Lineariasi dapat menggunakan matriks Jacobian. Berikut adalah penjelasan mengenai matriks Jacobian:
Teorema 2.1. Perko, 2001
Jika :
n n
f
terdiferensial di x maka diferensial parsial
, , 1, 2,..., ,
i j
f i j
n x
di x ada untuk semua
n
x
dan
1
.
n j
j j
f Df x
x x
x x
20
Bukti:
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
1 1
2 1
2 n
n n
n n
j j
j n
n n
n n
f f
f x
x x
x x
x x
x x
f f
f x
x x
x x
x f
x x
x x
x x
f f
f x
x x
x x
x x
x x
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
n n
n n
n n
n
f f
f x
x x
x x
x x
f f
f x
x x
x x
x x
x f
f f
x x
x x
x x
. Df x
x
dengan
Df x disebut sebagai matriks Jacobian dari fungsi
:
n n
f
yang terdiferensial pada
n
x
dan
Df x dapat dinotasikan
Jf x .
Kemudian akan ditunjukkan proses linearisasi dari suatu sistem persamaan diferensial. Misalkan
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,...,
T n
x x x
x
adalah titik ekuilibrium Sistem 2.7 maka pendekatan linear untuk Sistem 2.7 diperoleh dengan menggunakan
ekspansi Taylor disekitar titik ekuilibrium tersebut, sebagai berikut
1
1 1
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
, ,...,
T T
T T
n n
n n
n n
f n
f f
f x x x
f x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x
2
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
, ,...,
T T
T T
n n
n n
n n
f n
f f
f x x
x f
x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x