Analisis Kestabilan Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis
51
Teorema 3.2.
a. Jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
stabil asimtotik lokal
b. Jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
tidak stabil
Bukti: Hasil linearisasi Sistem 3.4 akan diperoleh matriks Jacobian:
2 2
2 2
2 2
t
f f
f bI
bSI bs
bSI bSI
S I
R N
N N
N N
g g
g bI
bSI bs
bSI bSI
MJ c
S I
R N
N N
N N
h h
h c
S I
R
3.21
Substitusikan E
pada Persamaan 3.21 diperoleh:
1 ,0,0
t
b MJ
MJ b
c c
Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk
, yaitu:
1
det MJ
I
t
b b
c c
52
t
b c
Sehingga nilai eigen
untuk titik ekuilibrium E adalah:
1 2
3
, ,
t
b c
3.22
a. Akan ditunjukkan jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
stabil asimtotik lokal.
Jika 1
R maka :
1
t
b c
t
b c
t
b c
Oleh karena itu, Persamaan 3.22 semuanya bernilai negatif. Sehingga terbukti jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
stabil.
b. Akan ditunjukkan jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
tidak stabil.
Jika 1
R maka :
t
b c
53
Jadi jika 1
R membuat Persamaan 3.22 tidak semuanya bernilai negatif
karena nilai
3
. Sehingga terbukti jika 1
R maka titik ekuilibrium bebas
penyakit
, , , 0, 0
E S I R
tidak stabil.
Teorema 3.3.
a. Jika
1 R
maka
titik ekuilibrium
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
tidak stabil
b. Jika
1 R
maka
titik ekuilibrium
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
stabil
asimtotik lokal.
Bukti: Substitusikan
1
E pada Persamaan 3.21 diperoleh:
2 b
b ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
b c b
c b
MJ MJ
2 2
2
, L
A MA L M
L M A
A A
L L M
L M MJ
A A
A c
54
dengan
, J
c
,
t
K b
,
t
L b
c
t
M c
,
dan
. A
b c
Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk
, yaitu:
2
det MJ
I
2 2
L A
A MA L M
L M A
A A
L L M
A L M
A A
A c
.
Sehingga nilai eigen
untuk titik ekuilibrium
1
E adalah :
2
L A
L M A
L M A
A A
2
L MA L M
L M A
A A
2
L A
L M A
L Mc
2
L MA
L M L Mc
2 3
2 2
3 2
L M
AL L
Mc AL M
2 2
2
A AL Mc
L MA
3 2
3 2
L M
L Mc
2 2
2 2
AL AL M
A
55
2
AL Mc L
MA
2 2
0. A
L L M
A L Mc
L M
Selanjutnya diperoleh:
1
3.23
dan
2 2
L L M
A L Mc
L M
2 2
2 2
L L
M L M
A A
L Mc L M
2 2
2 2
A L
L M A
L M
L Mc L
M
2
A L
L M
A L M L
c
2
A L b bJ
L M L K
L
2
A b
L J
L MK
2 t
A b
b L MK
3.24 Persamaan 3.24 dapat ditulis menjadi
2 1
2
a a
a
3.25 dengan
a A
1 t
a b
b
2
. a
L MK
56
Menurut kriteria Routh Hurwitz, semua nilai eigen Persamaan 3.25 bagian realnya bernilai negatif sehingga
0, a
1
0, a
dan
2
a . Berdasarkan
Persamaan 3.25, nilai a
A
sudah pasti bernilai positif karena
0. a
A b
c
Selanjutnya akan diselidiki
1
a dan
2
a harus bernilai positif, yaitu:
1
a
t
b b
t
b
3.26
dan
2
a
L MK
t t
t
b c
c b
t t
b c b
sehingga diperoleh
dan .
t t
b b
c
3.27
Bukti: a.
Akan dibuktikan bahwa Jika 1
R maka titik ekuilibrium
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
tidak
stabil
57
Berdasarkan Persamaan 2.20, untuk 1
R
diperoleh
1
t
b c
.
t
b c
3.28
Pada Persamaan 3.28 terlihat bahwa persamaan tersebut berlawanan dengan Persamaan 3.27, sehingga terbukti untuk
1 R
maka titik ekuilibrium
1
E tidak stabil.
b. Akan ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium
1
E akan stabil asimtotik lokal jika
1 R
Berdasarkan Persamaan 3.20, untuk
1 R
diperoleh
1
t
b c
.
t
b c
3.29
Persamaan 3.29 sama dengan Persamaan 3.27 sehingga terbukti jika 1
R
maka titik ekuilibrium
1
E stabil asimtotik lokal.