Analisis Kestabilan Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis

51 Teorema 3.2. a. Jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           stabil asimtotik lokal b. Jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           tidak stabil Bukti: Hasil linearisasi Sistem 3.4 akan diperoleh matriks Jacobian: 2 2 2 2 2 2 t f f f bI bSI bs bSI bSI S I R N N N N N g g g bI bSI bs bSI bSI MJ c S I R N N N N N h h h c S I R                                                                         3.21 Substitusikan E pada Persamaan 3.21 diperoleh: 1 ,0,0 t b MJ MJ b c c                               Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk  , yaitu: 1 det MJ I    t b b c c                  52        t b c                 Sehingga nilai eigen    untuk titik ekuilibrium E adalah: 1 2 3 , , t b c                3.22 a. Akan ditunjukkan jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           stabil asimtotik lokal. Jika 1 R  maka : 1 t b c      t b c      t b c       Oleh karena itu, Persamaan 3.22 semuanya bernilai negatif. Sehingga terbukti jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           stabil. b. Akan ditunjukkan jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           tidak stabil. Jika 1 R  maka : t b c       53 Jadi jika 1 R  membuat Persamaan 3.22 tidak semuanya bernilai negatif karena nilai 3   . Sehingga terbukti jika 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           tidak stabil. Teorema 3.3. a. Jika 1 R  maka titik ekuilibrium               1 b b , , , , t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                          tidak stabil b. Jika 1 R  maka titik ekuilibrium               1 b b , , , , t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                          stabil asimtotik lokal. Bukti: Substitusikan 1 E pada Persamaan 3.21 diperoleh:             2 b b , , t t t t t t t c c c c b c b c b MJ MJ                                         2 2 2 , L A MA L M L M A A A L L M L M MJ A A A c                                  54 dengan , J c    , t K b    , t L b c       t M c      , dan   . A b c    Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk  , yaitu:   2 det MJ I    2 2 L A A MA L M L M A A A L L M A L M A A A c                       . Sehingga nilai eigen    untuk titik ekuilibrium 1 E adalah :     2 L A L M A L M A A A                                              2 L MA L M L M A A A                                         2 L A L M A L Mc                             2 L MA L M L Mc                       2 3 2 2 3 2 L M AL L Mc AL M                            2 2 2 A AL Mc L MA                     3 2 3 2 L M L Mc                2 2 2 2 AL AL M A                    55     2 AL Mc L MA                      2 2 0. A L L M A L Mc L M                         Selanjutnya diperoleh:      1     3.23 dan     2 2 L L M A L Mc L M                    2 2 2 2 L L M L M A A L Mc L M                   2 2 2 2 A L L M A L M L Mc L M                      2 A L L M A L M L c                  2 A L b bJ L M L K L              2 A b L J L MK           2 t A b b L MK          3.24 Persamaan 3.24 dapat ditulis menjadi 2 1 2 a a a      3.25 dengan a A    1 t a b b     2 . a L MK   56 Menurut kriteria Routh Hurwitz, semua nilai eigen Persamaan 3.25 bagian realnya bernilai negatif sehingga 0, a  1 0, a  dan 2 a  . Berdasarkan Persamaan 3.25, nilai a A  sudah pasti bernilai positif karena   0. a A b c      Selanjutnya akan diselidiki 1 a dan 2 a harus bernilai positif, yaitu: 1 a    t b b     t b   3.26 dan 2 a  L MK        t t t b c c b                 t t b c b         sehingga diperoleh dan . t t b b c        3.27 Bukti: a. Akan dibuktikan bahwa Jika 1 R  maka titik ekuilibrium               1 b b , , , , t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                          tidak stabil 57 Berdasarkan Persamaan 2.20, untuk 1 R  diperoleh 1 t b c      . t b c      3.28 Pada Persamaan 3.28 terlihat bahwa persamaan tersebut berlawanan dengan Persamaan 3.27, sehingga terbukti untuk 1 R  maka titik ekuilibrium 1 E tidak stabil. b. Akan ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium 1 E akan stabil asimtotik lokal jika 1 R  Berdasarkan Persamaan 3.20, untuk 1 R  diperoleh 1 t b c      . t b c      3.29 Persamaan 3.29 sama dengan Persamaan 3.27 sehingga terbukti jika 1 R  maka titik ekuilibrium 1 E stabil asimtotik lokal.

D. Analisis Numerik Model SIR pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis

Analisis numerik menggambarkan lebih jelas mengenai model penyebaran penyakit Tuberculosis dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal tertentu. Pada subbab ini akan membahas mengenai analisis numerik jika 1 R  dan 1 R  dengan nilai awal dan parameter tertentu. 58 Pada tahun 2014, menurut profil kesehatan tahun 2015 di kota Yogyakarta terdapat penemuan kasus penderita Tuberculosis sebanyak 491 jiwa. Jumlah penduduk kota Yogyakarta pada saat itu sebanyak 413.936 jiwa dengan 202.296 jiwa penduduk laki-laki dan 211.640 jiwa penduduk perempuan. Berdasarkan permasalahan nyata yang terjadi di kota Yogyakarta diperoleh nilai awal untuk   413205, S    491, I  dan   240 R  . Selain itu juga diperoleh banyaknya kelahiran sebesar 4369   4369   . Banyaknya kematian yang disebabkan oleh penyakit Tuberculosis adalah 10 orang dalam 1 tahun, sehingga 3 10 5 1, 697216565x10 491x12 2946 t      . Selanjutnya diasumsikan bahwa rata- rata usia hidup seseorang adalah 70 tahun atau 840 bulan, sehingga diperoleh 3 1 1,19047619x10 840     .

1. Simulai

1 R  Untuk 1 R  , diberikan nilai-nilai parameter supaya memenuhi syarat 1 R  , yaitu 0, 00015 b  dan 0, 027 c  Fredlina, K. Queen, dkk, 2012. Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan 3.20 maka diperoleh nilai 0,005018788208 1 R   . Dari nilai awal dan parameter-parameter tersebut, dengan demikian diperoleh simulasi 1 R  yang ditunjukkan pada Gambar 3.2. sebagai berikut: