40
subpopulasi Recovered ialah semua individu yang benar-benar sudah sembuh dari penyakit Tuberculosis.
B. Model Matematika Penyebaran Penyakit Tuberculosis
Dalam menyederhanakan model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis, diberikan asumsi-asumsi sebagai berikut :
1. Populasi penduduk bersifat tertutup yang artinya pertambahan atau
pengurangan penduduk hanya dikarenakan oleh kelahiran dan kematian, sedangkan pertambahan dan pengurangan yang disebabkan oleh faktor lain
diabaikan. 2.
Populasi bersifat homogen yang artinya setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama untuk dapat terjangkit penyakit Tuberculosis.
3. Kematian yang disebabkan oleh faktor lain selain terinfeksi Tuberculosis
dianggap sebagai kematian alami. 4.
Individu yang belum terserang penyakit termasuk ke dalam kelas susceptible. 5.
Individu pada kelas recovered tidak akan kembali lagi menjadi individu pada kelas infectious.
6. Terjadi kematian akibat terinfeksi Tuberculosis.
Tabel 3.1. Variabel dan parameter yang digunakan dalam model
Simbol Definisi
Syarat
N t Jumlah populasi pada suatu daerah pada saat t.
N
S t
Banyaknya individu yang sehat dan rentan tehadap penyakit Tuberculosis pada saat t.
S t
41
Susceptible
I t
Banyaknya individu yang terinfeksi dan dapat menularkan Tuberculosis kepada individu lain.
Infectious
I t
R t
Banyaknya individu yang sembuh setelah terinfeksi Tuberculosis. Recovered
R t
Laju kelahiran populasi.
Laju kematian alami.
t
Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit Tuberculosis.
t
b Laju penularan penyakit Tuberculosis.
b
c Laju individu sembuh setelah terinfeksi
Tuberculosis. c
Berdasarkan masalah-masalah yang diasumsikan dan parameter yang digunakan maka dapat dibuat skema pada penyebaran penyakit Tuberculosis
seperti berikut :
42
Gambar 3.1. Diagram Alir Model Matematika Tuberculosis
Berdasarkan diagram alir pada Gambar 3.1. akan dibentuk model SIR untuk penyebaran penyakit Tuberculosis adalah :
a. Perubahan banyaknya individu susceptible terhadap waktu
Pada populasi kelas susceptible
S terjadi pertambahan dan pengurangan jumlah individu. Pertambahan banyaknya individu pada kelas ini terjadi karena
kelahiran individu
, sedangkan pengurangan banyaknya individu terjadi karena kematian alami individu per satuan waktu
. Oleh karena itu diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut :
. dS
I b
S S
dt N
3.1
b. Perubahan banyaknya individu yang terinfeksi infectious terhadap waktu
Perubahan banyaknya individu kelas infectious dipengaruhi oleh bertambahnya individu yang terlular penyakit Tuberculosis dan berkurangnya
individu karena kematian yang disebabkan oleh faktor lain per satuan waktu
serta kematian individu karena penyakit Tuberculosis per satuan waktu
t
.
43
Selain itu, berkurangnya individu pada kelas infectious juga dipengaruhi oleh individu yang sembuh setelah terjangkit penyakit Tuberculosis dengan laju c .
Sehingga didapatkan persamaan diferensial sebagai berikut :
= .
t t
dI I
b S
I I
cI dt
N I
b S
c I N
3.2
c.
Perubahan banyaknya individu yang sembuh recovered terhadap waktu Individu pada kelas infectious yang telah sembuh dari penyakit
Tuberculosis selanjutnya akan masuk ke dalam kelas recovered dengan laju kesembuhan c . Oleh karena itu, diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut :
. dR
cI R
dt
3.3
Berdasarkan deskripsi dari Persamaan 3.1, 3.2, dan 3.3 maka diperoleh sistem persamaan diferensial sebagai berikut :
=
t
dS I
b S
S dt
N dI
I b
S c I
dt N
dR cI
R dt
3.4
dengan .
N S
I R
44
C. Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis
1. Titik Ekuilibrium
Pada model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis selanjutnya akan dicari titik ekuilibrium dengan cara membuat sistem tersebut dalam kondisi
konstan terhadap waktu, yaitu kondisi dimana 0,
dS dt
0,
dI dt
dan 0.
dR dt
Sehingga dari sistem Persamaan 3.4 diperoleh titik ekuilibrium yang disajikan dalam Teorema 3.1. sebagai berikut :
Teorema 3.1. Eksistensi Titik Ekuilibrium
a. Jika
I , maka Sistem Persamaan 1.4 memiliki titik ekuilibrium bebas
penyakit
, , , 0, 0
E S I R
. b.
Jika I
, maka Sistem Persamaan 1,4 memiliki titik ekuilibrium endemik :
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
dengan syarat .
t
b c
Bukti :
Sistem Persamaan 3.4 akan mencapai titik ekuilibrium apabila 0,
dS dt
0,
dI dt
dan 0.
dR dt
Sehingga Sistem 3.4 dapat ditulis :
I b
S S
N
3.5
45
t
I b
S c I
N
3.6
0. cI
R
3.7 Berdasarkan Persamaan 3.6, diperoleh :
t
I b
S c I
N
t
bS I
c N
0. I
3.8
Dan jika I
t
bS c
N
t
c S
N b
t
c S I
R S
b
t t
c S c I
R S
b b
b
t t
c c I
R S
b b
. b
t t
c I R
S c
3.9
a. Dari Persamaan 3.8 dan Persamaan 3.7 diperoleh :
cI R
