Bilangan Reproduksi Dasar LANDASAN TEORI
24
y ,
j
x y
, dengan
1, 2,..., j
m
dengan
i
adalah laju individu baru yang terinfeksi yang menambah pada kelas terinfeksi, sedangkan
i
adalah laju perkembangan penyakit kematian, dan atau kesembuhan yang mengurangi populasi dari suatu kelas.
Perhitungan bilangan reproduksi dasar
R berdasarkan linierisasi dari
sistem persamaan diferensial yang didekati pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Persamaan kompartemen terinfeksi yang telah dilinearisasi dapat dituliskan
sebagai berikut:
x x
F V
dengan F dan V adalah matriks berukuran n x n, dan
0,
i j
F y
u
dan
0,
i j
V y
u
.
Selanjutnya didefinisikan matriks K sebagai berikut:
1
K FV
dengan K disebut sebagai next generation matrix. Nilai harapan dari infeksi sekunder pada populasi rentan adalah eigen terbesar dari matriks K Driessche
Watmough, 2002 sehingga
1
. R
K FV
25
Contoh 2.12
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut: dS
SI S
dt dI
SI I
I dt
dR I
R dt
2.12
dengan S menyatakan populasi individu sehat dan rentan pasa saat t, I menyatakan populasi terinfeksi pada saat t, dan R menyatakan yang sembuh pada saat t.
Sistem 2.12 mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit
1, 0, 0 E
.
Pada Sistem 2.12 kelas terinfeksi adalah I , sehingga diperoleh Next generation matrix dapat diperoleh dari kelas I, maka dapat dituliskan sebagai
berikut:
, ,
, ,
I S R I
S R I
dengan
SI
dan
, I
I
maka hasil linearisasi dari dan
masing-masing adalah
F S
dan
V
. Sehingga diperoleh Next generation matrix berikut:
1
1 .
S K
FV S
2.13
26
Kemudian substitusikan nilai titik ekuilibrium bebas penyakit
1, 0, 0 E
ke Persamaan 2.13 diperoleh:
K
maka diperoleh nilai R dari sistem 2.12 adalah
. R