Bilangan Reproduksi Dasar LANDASAN TEORI

24   y , j x y   , dengan 1, 2,..., j m  dengan i  adalah laju individu baru yang terinfeksi yang menambah pada kelas terinfeksi, sedangkan i  adalah laju perkembangan penyakit kematian, dan atau kesembuhan yang mengurangi populasi dari suatu kelas. Perhitungan bilangan reproduksi dasar   R berdasarkan linierisasi dari sistem persamaan diferensial yang didekati pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Persamaan kompartemen terinfeksi yang telah dilinearisasi dapat dituliskan sebagai berikut:   x x F V   dengan F dan V adalah matriks berukuran n x n, dan   0, i j F y u     dan   0, i j V y u     . Selanjutnya didefinisikan matriks K sebagai berikut: 1 K FV   dengan K disebut sebagai next generation matrix. Nilai harapan dari infeksi sekunder pada populasi rentan adalah eigen terbesar dari matriks K Driessche Watmough, 2002 sehingga     1 . R K FV      25 Contoh 2.12 Diberikan sistem persamaan diferensial berikut: dS SI S dt dI SI I I dt dR I R dt                 2.12 dengan S menyatakan populasi individu sehat dan rentan pasa saat t, I menyatakan populasi terinfeksi pada saat t, dan R menyatakan yang sembuh pada saat t. Sistem 2.12 mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit   1, 0, 0 E  . Pada Sistem 2.12 kelas terinfeksi adalah I , sehingga diperoleh Next generation matrix dapat diperoleh dari kelas I, maka dapat dituliskan sebagai berikut:         , , , , I S R I S R I     dengan   SI    dan   , I I      maka hasil linearisasi dari  dan  masing-masing adalah   F S   dan   V     . Sehingga diperoleh Next generation matrix berikut:   1 1 . S K FV S                   2.13 26 Kemudian substitusikan nilai titik ekuilibrium bebas penyakit   1, 0, 0 E  ke Persamaan 2.13 diperoleh: K      maka diperoleh nilai R dari sistem 2.12 adalah . R     

G. Nilai Eigen

Nilai eigen dalam suatu matriks akan digunakan dalam menentukan kestabilan dari suatu titik kritis. Nilai eigen suatu matriks dapat didefinisikan dalam Definisi 2.9. Definisi 2.8. Anton, 1987 Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam n dinamakan vektor eigen eigenvectordari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu: Ax x   2.14 untuk suatu skalar  . Skalar  dinamakan nilai eigen eigenvalue dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .  Dari Persamaan 2.14 diperoleh: Ax x   Ax Ix     I A x    2.15 27 dengan I adalah matriks identitas. Supaya  menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari Persamaan 2.15. Persamaan 2.15 akan memiliki pemecahan taknol jika dan hanya jika: det 0. I A    2.16 Persamaan 2.16 dinamakan persamaan karakteristik A dan skalar yang memenuhi Persamaan 2.16 adalah nilai eigen dari A. Jika A adalah matriks n x n, maka polinomial karakteristik A mempunyai bentuk: 1 1 det ... n n n I A c c          Contoh 2.13 Diketahui matriks 3 2 . 1 0 B         Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks B Jawab: Persamaan karakteristik dari B adalah   det I B    3 2 1      2 3 2     