Penyelesaian Kasus Penyelesaian Model

31 konsisten dengan urutan prioritas fungsi tujuan atau bertentangan dengan hirarki fungsi tujuan.

1. Penyelesaian Kasus

Pada formulasi model, turunan parsial dari objective function dapat diselesaikan sebagai persamaan linier dengan menggunakan matriks. Bentuk persamaan matriks di atas dapat dinyatakan sebagai Mw=k, sehingga 0 = … G Ž. Jadi, nilai 0 dapat diperoleh dengan mengalikan invers matriks varian-kovarian dengan vektor k. Pada pengolahan data, telah didefinisikan matriks kovarian antar seluruh reksa dana saham, sebagai berikut: Tabel 3.5 Matriks Kovarian antar Seluruh Reksa Dana Saham Return W W W W 0,000547842 -0,000447765 -0,000461173 W -0,000447765 0,002487863 -0,001279873 W -0,000461173 -0,001279873 0,004492629 Matriks di atas disusun dengan cara mengalikan varian-kovarian reksa dana saham dengan 2 yang akan digunakan dalam Persamaan Lagrange. Maka matriks M: 0,001095684 −0,00089553 −0,000922346 0,017313835 1 −0,00089553 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1 0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 1 1 1 Setelah memperoleh matriks M di atas, maka selanjutnya akan ditentukan … G . … G = L•• ‘ 4 … 3.18 Matriks M merupakan matriks berordo 5x5 maka untuk memperoleh … G perlu diselesaikan det M terlebih dahulu dengan menentukan minor dan kofaktornya. Universitas Sumatera Utara 32 P = −1 K |… | = |… | P = −1 K |… | = −|… | P = −1 K |… | = |… | P “ = −1 K“ |… “ | = −|… “ | P I = −1 KI |… I | = |… I | P = −1 K |… | = −|… | P = −1 K |… | = |… | P = −1 K |… | = −|… | P “ = −1 K“ |… “ | = |… “ | P I = −1 KI |… I | = −|… I | P = −1 K |… | = |… | P = −1 K |… | = −|… | P = −1 K |… | = |… | P “ = −1 K“ |… “ | = −|… “ | P I = −1 KI |… I | = |… I | P “ = −1 “K |… “ | = −|… “ | P “ = −1 “K |… “ | = |… “ | P “ = −1 “K |… “ | = −|… “ | P ““ = −1 “K“ |… ““ | = |… ““ | P “I = −1 “KI |… “I | = −|… “I | P I = −1 IK |… I | = |… I | P I = −1 IK |… I | = −|… I | Universitas Sumatera Utara 33 P I = −1 IK |… I | = |… I | P I“ = −1 IK“ |… I“ | = −|… I“ | P II = −1 IKI |… II | = |… II | Minor-minor matriks M adalah: |… | = 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1 −0,06429164 0,099749283 1 1 |… | = 0,004975726 ” 0,008985258 0,099749283 1 0,099749283 1 ” − −0,002559746 ” −0,002559746 0,099749283 1 −0,06429164 1 ” + −0,06429164 ” −0,002559746 0,008985258 1 −0,06429164 0,099749283 0 1 ” − 1 ” −0,002559746 0,008985258 0,099749283 −0,06429164 0,099749283 1 1 ” Universitas Sumatera Utara 34 |… | = 0,004975726 •0,008985258 –0 0 0 0– − 0,099749283 –0,099749283 0 1 0– + 1 – 0,099749283 0 1 0–— − −0,002559746 •−0,002559746 –0 0 0 0– − 0,099749283 –−0,06429164 0 1 0– + 1 – −0,06429164 0 1 0–— + −0,06429164 •−0,002559746 –0,099749283 0 1 0– − 0,008985258 –−0,06429164 0 0– + 1 –−0,06429164 0,099749283 1 –— − 1 •−0,002559746 –0,099749283 0 1 0– − 0,008985258 –−0,06429164 0 1 0– + 0,099749283 –−0,06429164 0,099749283 1 1 –— |… | = 0,004975726[0,008985258ƒ 0 0 − 0 0 „ − 0,099749283ƒ 0,099749283 0 − 0 1 „ + 0,099749283 0 − 0 1 \ + 0,002559746[−0,002559746ƒ 0 0 − 0 0 „ − 0,099749283ƒ −0,06429164 0 − 0 1 „ + −0,06429164 0 − 0 1 \ − 0,06429164[−0,002559746ƒ 0,099749283 0 − 0 1 „ − 0,008985258 −0,06429164 0 − 0 0 + −0,06429164 1 − 0,099749283 0 \ − [−0,002559746ƒ 0,099749283 0 − 0 1 „ − 0,008985258 −0,06429164 0 − 0 1 + 0,099749283 −0,06429164 1 − 0,099749283 1 \ |… | = −0,0269094244186919 Minor lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama. Berikut adalah hasil perhitungan minor matriks M. Universitas Sumatera Utara 35 |… | = 0,0135227869778385 |… | = 0,0133866374408534 |… “ | = −0,000325344464766 |… I | = −0,0000780344159940 |… | = 0,0135227869778385 |… | = −0,0067956030869607 |… | = −0,0067271838908778 |… “ | = 0,0010023638428448 |… I | = −0,0000444619210975 |… | = 0,133866374408534 |… | = −0,0067271838908778 |… | = −0,0066594535499756 |… “ | = −0,0006770193963682 |… I | = −0,0000151124376710 |… “ | = −0,0003253444464766 |… “ | = 0,0010023638428448 |… “ | = −0,0006770193963682 |… ““ | = 0,0000936397552094 |… “I | = −0,0000009915878066 |… I | = −0,0000780344159940 |… I | = −0,0000444619210975 |… I | = −0,0000151124376710 Universitas Sumatera Utara 36 |… I“ | = −0,0000009915878066 |… II | = 0,0000000489133681 Universitas Sumatera Utara 36 Jadi, matriks minornya adalah: … = ˜ ™ š −0,0269094244186919 0,0133866374408534 0,0133866374408534 −0,000325344464766 −0,0000780344159940 0,0135227869778385 −0,0067956030869607 −0,0067271838908778 0,0010023638428448 −0,0000444619210975 0,133866374408534 −0,0067271838908778 −0,0066594535499756 −0,0000151124376710 −0,0000151124376710 −0,0003253444464766 0,0010023638428448 −0,0006770193963682 0,0000936397552094 −0,0000009915878066 −0,0000780344159940 −0,0000444619210975 −0,0000151124376710 −0,0000009915878066 0,0000000489133681 › œ • Universitas Sumatera Utara 37 Maka kofaktor-kofaktor matriks M adalah: P = −1 K |… | =0,0269094244186919 P = −1 K |… | =-0,0135227869778385 P = −1 K |… | =-0,0133866374408534 P “ = −1 K“ |… “ | =0,0003253444464766 P I = −1 KI |… I | =0,0000780344159940 P = −1 K |… | =-0,0135227869778385 P = −1 K |… | =0,0067956030869607 P = −1 K |… | =0,0067271838908778 P “ = −1 K“ |… “ | =-0,0010023638428448 P I = −1 KI |… I | =0,0000444619210975 P = −1 K |… | =-0,0133866374408534 P = −1 K |… | =0,0067271838908778 P = −1 K |… | =0,0066594535499756 P “ = −1 K“ |… “ | =0,0006770193963682 P I = −1 KI |… I | =0,0000151124376710 P “ = −1 “K |… “ | =0,0003253444464766 P “ = −1 “K |… “ | =-0,0010023638428448 P “ = −1 “K |… “ | =0,0006770193963682 P ““ = −1 “K“ |… ““ | =-0,0000936397552094 P “I = −1 “KI |… “I | =0,0000009915878066 P I = −1 IK |… I | =0,0000780344159940 Universitas Sumatera Utara 38 P I = −1 IK |… I | =0,0000444619210975 P I = −1 IK |… I | =0,0000151124376710 P I“ = −1 IK“ |… I“ | =0,0000009915878066 P II = −1 IKI |… II | =-0,0000000489133681 Universitas Sumatera Utara 39 Jadi matriks kofaktornya adalah: 0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,0133866374408534 0,000325344464766 0,0000780344159940 −0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975 −0,133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,0003253444464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681 Setelah mendapatkan matriks kofaktor, maka adjoint matriks M adalah transpose kofaktor matriks M, yaitu: o … = { ž = ˆ ‰ ‰ ‰ Š 0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,0133866374408534 0,000325344464766 0,0000780344159940 −0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975 −0,133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,0003253444464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681‹ Œ Œ Œ • ž o … = { ž = ˆ ‰ ‰ ‰ Š 0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,133866374408534 0,0003253444464766 0,0000780344159940 −0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975 −0,0133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,000325344464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681‹ Œ Œ Œ • Universitas Sumatera Utara 40 dan determinan matriks M adalah: |…| = 0,001095684 −0,00089553 −0,000922346 0,017313835 1 −0,00089553 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1 0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 1 1 1 |…| = 0,001095684 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 1 −0,06429164 0,0997469283 1 1 − −0,00089553 −0,00089553 −0,002559746 −0,06429164 1 −0,000922346 0,008985258 0,099749283 1 0,017313835 0,0997469283 1 1 + −0,000922346 −0,00089553 0,004975726 −0,06429164 1 −0,000922346 −0,002559746 0,099749283 1 0,017313835 −0,06429164 1 1 − 0,017313835 −0,00089553 0,004975726 −0,002559746 1 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 1 0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 0 1 1 1 + −0,00089553 0,004975726 −0,002559746 −0,06429164 −0,000922346 −0,002559746 0,008985258 0,099749283 0,017313835 −0,06429164 0,0997469283 1 1 1 |…| =0,00013760877476248 Universitas Sumatera Utara 41 Jadi invers matriks M adalah: … G = Ÿ ¡ ‘ 4 … … G = H,HHH ¢£HJ¢¢“¢£ “J ˆ ‰ ‰ ‰ Š 0,0269094244186919 −0,0135227869778385 −0,133866374408534 0,0003253444464766 0,0000780344159940 −0,0135227869778385 0,0067956030869607 0,0067271838908778 −0,0010023638428448 0,0000444619210975 −0,0133866374408534 0,0067271838908778 0,0066594535499756 0,0006770193963682 0,0000151124376710 0,000325344464766 −0,0010023638428448 0,0006770193963682 −0,0000936397552094 0,0000009915878066 0,0000780344159940 0,0000444619210975 0,0000151124376710 0,0000009915878066 −0,0000000489133681‹ Œ Œ Œ • … G = 195,5502072 −98,26980148 −97,280405573 2,36427108 0,567074419 −98,26980148 49,38350115 48,88630033 −7,28415644 0,323103822 −97,28040573 48,88630033 48,3941054 4,91988536 0,109821759 2,36427108 −7,28415644 4,91988536 −0,680478083 0,0077205847 0,567074419 0,323103822 0,109821759 0,007205847 −0,000355452 Universitas Sumatera Utara 42 dan vektor k adalah: Ž = 6 1 Penyelesaian matriks tersebut menghasilkan: 0 = 2,36427108 6 + 0,567074419 0 = −7,28415644 6 + 0,323103822 = 4,91988536 6 + 0,109821759 “ = −0,680478083 6 + 0,0077205847 I = 0,007205847 6 − 0,000355452 Dari persamaan di atas, tampak bahwa nilai 0 ditentukan oleh expected return yang diinginkan. Dengan memasukkan berbagai nilai expected return dalam kasus ini 0,20, 0,30, 0,40, 0,50, dan 0,60 ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh nilai 0 , 0 , 0 , dan seperti dalam tabel di bawah ini. Tabel 3.6 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,20 ERp k 0,20 ¥ ¦ 2,36427108 0,567074419 0,571802961 ¥ § -7,28415644 0,323103822 0,308535509 ¥ ¨ 4,91988536 0,109821759 0,119661530 Total 1 Tabel 3.7 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,30 ERp k 0,30 ¥ ¦ 2,36427108 0,567074419 0,574167232 ¥ § -7,28415644 0,323103822 0,301251353 ¥ ¨ 4,91988536 0,109821759 0,124581415 Total 1 Universitas Sumatera Utara 43 Tabel 3.8 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,40 ERp k 0,40 ¥ ¦ 2,36427108 0,567074419 0,576531503291172 ¥ § -7,28415644 0,323103822 0,293967196466450 ¥ ¨ 4,91988536 0,109821759 0,129501300242378 Total 1 Tabel 3.9 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,50 ERp k 0,50 ¥ ¦ 2,36427108 0,567074419 0,578895774 ¥ § -7,28415644 0,323103822 0,28668304 ¥ ¨ 4,91988536 0,109821759 0,134421186 Total 1 Tabel 3.10 Porsi Reksa Dana Saham untuk Expected Return = 0,60 ERp k 0,60 ¥ ¦ 2,36427108 0,567074419 0,581260045 ¥ § -7,28415644 0,323103822 0,279398884 ¥ ¨ 4,91988536 0,109821759 0,139341071 Total 1 Sekarang menentukan nilai varian portofolio untuk berbagai expected return dengan cara mengalikan porsi reksa dana saham 0 dengan varian-kovarian antar reksa dana saham. Tabel 3.11 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,20 ERp 0,20 ¥ ¦ ¥ § ¥ ¨ 0,571802961 0,308535509 0,119661530 ¥ ¦ 0,571802961 0,000179122 -7,89954E-05 -3,15548E-05 ¥ § 0,308535509 - 7,89954E-05 0,000236830 -4,72527E-05 ¥ ¨ 0,119661530 -3,15548E-05 -4,72527E-05 6,43294E-05 Varian 0,000164675 Dev Standar 0,012832594 Tabel 3.12 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,30 ERp 0,30 ¥ ¦ ¥ § ¥ ¨ 0,574167232 0,301251353 0,124581415 ¥ ¦ 0,574167232 0,000180606 -7,74493E-05 -3,2988E-05 ¥ § 0,301251353 -7,74493E-05 0,000225779 -4,8034E-05 ¥ ¨ 0,124581415 -3,2988E-05 -4,8034E-050 6,9728E-05 Varian 0,000159171 Dev Standar 0,012616291 Universitas Sumatera Utara 44 Tabel 3.13 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,40 ERp 0,40 ¥ ¦ ¥ § ¥ ¨ 0,576531503291172 0,29396719646645 0,129501300242378 ¥ ¦ 0,576531503291172 0,000182096 -7,58878E-05 -3,44319E-05 ¥ § 0,293967196466450 -7,58878E-05 0,000214993 -4,87237E-05 ¥ ¨ 0,129501300242378 -3,44319E-05 -4,87237E-05 7,5344E-05 Varian 0,000154346631575399 Deviasi Standar 0,012423631980037 Universitas Sumatera Utara Tabel 3.14 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,50 ERp 0,50 ¥ ¦ ¥ § ¥ ¨ 0,578895774 0,286683040 0,134421186 ¥ ¦ 0,578895774 0,000183593 -7,43109E-05 -3,58866E-05 ¥ § 0,286683040 -7,43109E-05 0,000204470 -4,93215E-05 ¥ ¨ 0,134421186 -3,58866E-05 -4,93215E-05 8,11776E-05 Varian 0,000150203 Deviasi Standar 0,012255731 Tabel 3.15 Varian Portofolio untuk Expected Return = 0,60 ERp 0,60 ¥ ¦ ¥ § ¥ ¨ 0,581260045 0,279398884 0,139341071 ¥ ¦ 0,581260045 0,000185096 -7,27186E-05 -3,7352E-05 ¥ § 0,279398884 -7,27186E-05 0,000194212 -4,98277E-05 ¥ ¨ 0,139341071 -3,7352E-05 -4,98277E-05 8,72286E-05 Varian 0,00014674 Deviasi Standar 0,012113617 Setelah diperoleh varian portofolio untuk expected return dan porsi reksa dana saham yang ada, maka diperoleh titik-titik kombinasi expected return dan porsi reksa dana saham untuk membentuk kurva minimum variance set yaitu kurva yang menggambarkan hubungan expected return dengan deviasi standar. Tabel 3.16 Deviasi Standar dan Varian Portofolio No ERp Deviasi Standar Varian 1 0,20 0,012832594 0,000164675 2 0,30 0,012616291 0,000159171 3 0,40 0,012423631980037 0,000154346631575399 4 0,50 0,012255731 0,000150203 5 0,60 0,012113617 0,00014674 Universitas Sumatera Utara Berikut gambar deviasi standar portofolio. Gambar 3.8 Deviasi Standar Portofolio Besaran 1 dan 2 adalah Pengali Lagrange. 1 adalah harga risiko per unit untuk setiap expected return yang ada. Jika expected return naik satu unit, maka risiko varian akan naik sebesar 1 . Sementara itu, 2 adalah harga risiko per unit untuk setiap unit expected return yang terkait dengan perubahan porsi reksa dana saham dalam portofolio. Berdasarkan penyelesaian matriks diperoleh nilai 1 , 2 dan analisis perubahan nilai 1 dan 2 pada portofolio reksa dana saham INSPIRA-STAR- FOIP pada tabel di bawah ini. Tabel 3.17 Analisis Perubahan Nilai 1 dan 2 Portofolio INSPIRA-STAR-FOIP No ERp Varian Perubahan ERp Perubahan Varian 1 0,20 0,000164675 2 0,30 0,000159171 0,001 -5,504E-06 3 0,40 0,000154346631575399 0,001 -0,000004824368424601 4 0,50 0,000150203 0,001 -0,000004143631575399 5 0,60 0,00014674 0,001 -3,463E-06 0,012 0,0121 0,0122 0,0123 0,0124 0,0125 0,0126 0,0127 0,0128 0,0129 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 Deviasi Standar Deviasi Standar Universitas Sumatera Utara Tabel 3.17 Lanjutan Perub. Var Perub. ERp Perubahan Kolom 5 λ 1 Perubahan λ 1 -0,681839038838571 -0,005504 -0,682519516921244 -0,00068 -0,004824368 0,00068 -0,683199995003917 -0,00068 -0,004143632 0,00068 -0,683880473086591 -0,00068 -0,003463 0,00068 -0,684560951169264 -0,00068 Tabel 3.17 Lanjutan λ 2 Perubahan λ2 0,00722025891118059 0,00722746475839734 0,00000720584721675 0,00723467060561408 0,00000720584721674 0,00724187645283083 0,00000720584721675 0,00724908230004758 0,00000720584721675 Dapat dilihat nilai 0 , 0 , 0 , dan untuk berbagai expected return. Kolom 4 berisi perubahan varian untuk setiap perubahan varian expected return sebesar 0,001. Kenaikan expected return dari 0,0020 menjadi 0,0060 menyebabkan varian pertama turun dari 0,000164675 menjadi 0,000159171 kemudian turun lagi menjadi 0,000154346631575399 dan turun lagi menjadi 0,000150203 dan berakhir pada nilai 0,00014674. Dapat dikatakan kenaikan expected return berbanding terbalik dengan nilai variannya yaitu mengalami penurunan. Kolom 5 berisi rasio perubahan varian terhadap perubahan expected return koefisien variasi. Jelas tampak bahwa perubahan nilai koefisien variasi kolom 6 sama dengan perubahan nilai 1 , yaitu sebesar 0,00068 tetapi dengan tanda yang berlawanan. Artinya untuk perubahan expected return sebesar 0,001 unit, maka harga risiko per unit koefisien variasi akan naik sebesar 0,00068 dan nilai perubahan 1 juga sebesar 0,00068 dengan tanda negatif. Sesuai dengan pengertian Pengali Lagrange bahwa 1 adalah penyeimbang tekanan oleh perubahan expected return terhadap perubahan varian minimum. Universitas Sumatera Utara Dengan kata lain, 1 adalah harga dari setiap unit risiko untuk setiap unit perubahan expected retrun. Sementara itu, 2 adalah harga risiko per unit yang terkait dengan perubahan porsi reksa dana saham yang ada dalam portofolio. Perubahan expected return menyebabkan perubahan porsi reksa dana saham dalam portofolio. Gambar 3.9 Kinerja 1 Gambar 3.10 Kinerja 2 -0,685930073071595 -0,684560951169256 -0,683191829266918 -0,681822707364579 -0,680453585462241 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 s1 λ1 0,00721500000000000 0,00722000000000000 0,00722500000000000 0,00723000000000000 0,00723500000000000 0,00724000000000000 0,00724500000000000 0,00725000000000000 0,00725500000000000 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 s2 λ2 Universitas Sumatera Utara

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pengolahan data dan perhitungan pada bab sebelumnya dapat diuraikan kesimpulan sebagai berikut: 1. Pada penelitian ini metode Pengali Lagrange dapat menghasilkan porsi reksa dana saham dan varian portofolio minimum untuk berbagai expected return yang diinginkan. Pengali Lagrange dalam fungsi Q, = Q + Q , fungsi Q dapat dipandang sebagai pengganggu competing terhadap fungsi Q untuk mencapai nilai maksimum atau minimum. Dalam hal ini Pengali Lagrange dapat dipandang sebagai ukuran kekuatan Q mempengaruhi nilai Q . adalah kekuatan dari constraint dalam memenuhi fungsi objectives. 2. Bila kendala berubah, Pengali Lagrange adalah tingkat perubahan dari optimal value. Dalam penyelesaian contoh kasus, adalah perubahan rasio risiko terhadap perubahan expected return dengan kata lain, adalah harga per unit risiko untuk setiap unit perubahan expected return. 3. Pada contoh kasus investasi dalam 1 tahun, diperoleh porsi investasi yang optimal, yaitu tidak ada lagi portofolio lain yang mempunyai varian yang lebih rendah pada expected return tertentu, Dengan kata lain, pembuat keputusan harus menginvestasikan dana pada reksa dana saham INSPIRA dengan porsi 0,581260045, STAR dengan porsi 0,279398884, dan FOIP dengan porsi 0,139341071 . Investasi tersebut secara ekspektasi akan memberikan keuntungan optimal yakni expected return sebesar 0,006 dengan perolehan tingkat risiko paling kecil sebesar 0,00014674. Universitas Sumatera Utara