Dimana : A, B, C, D adalah tetapan tertentu yang dapat ditentukan dengan menggunakan syarat syarat batas yaitu kondisi batas ujung ujung batang
atau yang disebut dengan boundary condition.
2. 3. 1 Kolom Euler
Rumus kolom Euler diturunkan dengan membuat berbagai anggapan sebagai berikut :
1. Bahan elastis sehingga memenuhi Hukum Hooke
2. Material homogen sempurna dan isotropis
3. Batang pada mulanya lurus sempurna, prismatis dan beban terpusat
dikerjakan sepanjang sumbu titik berat penampang 4.
Penampang batang tidak terpuntir, elemennya tidak dipengaruhi tekuk setempat dan distorsi lainnya selama melentur
5. Batang bebas dari tegangan residu
6. Ujung ujung batang ditumpu sederhana. Ujung bawah ditumpu pada sendi
yang tidak dapat berpindah, ujung atas ditumpu pada tumpuan yang dapat berotasi dengan bebas dan bergerak vertical tetapi tidak dapat bergerak
horizontal. 7.
Deformasi dari batang cukup kecil sehingga bentuk y’ ² dari persamaan kurva y” 1 + y’223 dapat diabaikan. Dari sini kurva dapat didekati
dengan y”. Bahwa batang yang ditekan akan mengalami bentuk yang sedikit
melengkung seperti pada gambar 2. 10. Jika sumbu koordinat diambil seperti dalam gambar, momen dalam yang terjadi pada penampang sejauh x dari sumbu
Universitas Sumatera Utara
asal adalah : Mx = EIy”
2. 21
Gambar 2. 10 Kolom Euler Dengan menyamakan momen lentur luar P.y, maka diperoleh persamaan :
EIy” + P.y = 0 2. 22
Persamaan 2. 21 adalah persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan dan dapat dirubah menjadi :
y” + k².y = 0 2. 23
Dimana : k² =
9
2. 24 Penyelesaian umum persamaan 2. 22
y = A sin kx + B cos kx 2. 25
Untuk menentukan besaran konstanta A dan B, maka menggunakan syarat batas : y = 0 dan x = 0
Universitas Sumatera Utara
y = 0 dan x = 1 Dengan memasukkan syarat batas pertama ke dalam persamaan 2. 25
maka diperoleh : B = 0
Sehingga diperoleh : y = A sin kx
2. 26 Dari syarat batas kedua diperoleh :
A sin kl = 0 2. 27
Persamaan 2. 27 dapat dipenuhi oleh tiga keadaan yaitu : 1.
Konstanta A = 0, yaitu tidak ada lendutan 2. 28
2. kl = 0, yaitu tidak ada beban luar
2. 29 3.
kl = nл, yakni syarat terjadi tekuk 2. 30
Substitusi persamaan 2. 30 ke dalam persamaan 2. 24 dan persamaan 2. 26 diperoleh :
P
=
: ;
2. 31 Y = A sin
: ;
2. 32 Pada beban yang diberikan oleh persamaan 2. 31 kolom berada dalam
keadaan kesetimbangan dalam bentuk yang agak bengkok, dimana bentuk deformasinya diberikan oleh persamaan 2. 32 .
Ragam mode tekuk dasar yaitu lendutan dengan lengkungan tunggal akan diperoleh jika nilai n diambil sama dengan 1, dengan demikian beban kritis
Euler untuk kolom adalah :
Universitas Sumatera Utara
P
kr
=
;
2. 33 Dan persamaan lendutan menjadi :
Y =
sin
;
2. 34 Kelakuan kolom Euler dapat digambarkan secara grafik seperti
pada gambar :
Gambar 2. 11 Grafik Kolom Euler Dari grafik dapat dilihat bahwa sampai beban Euler dicapai, kolom harus
tetap lurus. Pada beban Euler ada percabangan kesetimbangan yaitu kolom dapat tetap lurus atau dapat dianggap berubah bentuk dengan amplitude tidak tentu.
Kelakuan ini menunjukkan bahwa keadaan kesetimbangan pada saat beban Euler merupakan transisi dari kesetimbangan stabil dan tidak stabil.
2. 3. 2 Rumus Kolom Euler untuk Berbagai Pe rletakan 2. 3. 2. 1 Kolom dengan Satu Ujung Terjepit dan yang lainnya Bebas
Tinjau suatu sumbu sumbu koordinat seperti ditunjukkan pada gambar, dimana kolom dalam kedudukan yang agak melengkung, menghasilkan momen
lentur pada suatu penampang melintang sebesar :
M = P δ – y 2. 35
Dan persamaan diferensial M = EI
6 7 6
menjadi :
Universitas Sumatera Utara
EI
6 7 6
= P δ – y 2. 36
Karena ujung atas kolom adalah bebas, maka jelaslah bahwa tekuk pada kolom akan terjadi pada bidang dengan kekakuan lengkungan terkecil, yang
dianggap merupakan bidang simetris. Nilai EI yang terkecil ini digunakan dalam persamaan 2. 36 di atas dan dengan
memakai notasi sebelumnya yaitu : k² =
9
Kita dapat menuliskan persamaan dalam bentuk :
6 7 6
+ k²y = k² δ Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah :
Y = A cos kx + B sin kx + δ Dimana A dan B adalah konstanta integrasi, yang ditentukan dari syarat syarat
ujung jepit kolom yaitu : Y =
67 6
= 0 pada x = 0 Syarat syarat ini dipenuhi jika :
A = δ B = 0 Dan persamaan b menjadi :
Y = δ 1 – cos kx 2. 37
Sedang syarat pada ujung bebas kolom menghendaki bahwa Y = δ pada x = 1
Yang memenuhi jika δ cos kl = 0
Universitas Sumatera Utara
Persamaan c menghendaki bahwa salah satu δ dan cos kl harus nol. Bila δ = 0, maka lengkungan tidak ada. Bila cos kl = 0, kita akan memperoleh hubungan
Kl = 2n – 1 2 2. 38
Dimana n = 1, 2, 3,…… persamaan ini untuk menentukan nilai nilai k sehubungan dengan bentuk tekukan yang terjadi.
Nilai kl terkecil yang memenuhi persamaan 2. 38 diperoleh dengan mengambil n = 1, memberikan nilai beban kritis terkecil yaitu :
Kl = l
9
= Atau
P
kr
=
;
2. 39 Besaran kx dalam persamaan 2. 37 untuk kasus ini berubah ubah dari 0
sd 2, dan bentuk lengkungan seperti ditunjukkan pada gambar di atas. Dengan mensubtitusikan n = 2, 3, . . . . ke dalam persamaan 2. 38 , kita peroleh
hubungannya dengan nilai nilai beban kritis sebagai berikut : P
kr
=
+ ;
P
kr
=
;
Besaran kx menurut persamaan 2. 37 dalam hal ini berubah dari 0 sd 32, dari 0 sd 52, . . . , dan hubungannya dengan kurva lengkungan pada gambar
2. 37 dan gambar 2. 38 . Untuk bentuk kurva lengkungan pada gambar 2. 37 diperlukan suatu gaya sebesar sembilan kali beban kritis terkecil, dan
keadaan pada gambar 2. 38 , diperlukan gaya sebesar dua puluh lima kali beban kritis terkecil.
Universitas Sumatera Utara
Bentuk bentuk tekukan seperti itu hanya dapat terjadi pada batang yang sangat ramping, dan dengan memasang penyokong pada titik peralihan untuk
mencegah lengkungan lateral. Sebaliknya bentuk tekukan ini adalah tidak stabil, dan mempunyai arti praktis yang kecil, sebab struktur telah mengalami suatu
lengkungan yang besar pada saat beban mendekati nilai nilai yang diberikan oleh persamaan 2. 39 .
Gambar 2. 12 Kurva Lendutan Tekuk Sinusoidal dengan Satu Ujung Terjepit dan yang Lainnya Bebas
2. 3. 2. 2 Kolom dengan Kedua Ujungnya berupa Sendi
