Tabel Kontingensi Dua Faktor

j B = Pengaruh tingkat ke-j faktor B ij AB = Interaksi tingkat ke-i dan j faktor A dan B k C = Pengaruh tingkat ke-k faktor C l D = Pengaruh tingkat ke-l faktor D kl CD = Interaksi tingkat ke-k dan l faktor C dan D Model tersebut diasumsikan bahwa penelitian tidak menginginkan adanya interaksi antar variabel independen dan variabel dependen.

2.3 Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi merupakan suatu analisis teknik penyusunan data yang cukup sederhana untuk melihat hubungan antar variabel dalam satu tabel Friendly, 2000. Dalam hal ini, variabel yang dianalisis merupakan variabel kategorik yang memiliki skala nominal atau ordinal. Penggunaan tabel kontingensi yang akan dibahas pada penelitian ini penulis kelompokkan menjadi dua yaitu tabel kontingensi dua faktor dan tabel kontingensi tiga faktor.

2.3.1 Tabel Kontingensi Dua Faktor

Tabel kontingensi mulai digunakan ketika terdapat lebih dari satu variabel kategorik yang mana biasanya data disajikan dalam daftar baris dan kolom. Bentuk penyajian dalam daftar baris dan kolom ini biasanya disebut daftar kontingensi. Andaikan terdapat suatu percobaan yang terdiri dari n pengamatan yang diklasifikasikan menurut 2 variabel kategorik, maka variabel 1 mempunyai i tingkatkategorik: A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A i dan variabel 2 mempunyai j tingkatkategorik: B 1 , B 2 , B 3 , . . . , B j . Kemudian anggap ij Y menyatakan banyak peristiwa variabel-1 ada pada tingkat ke-i dan variabel-2 pada tingkat ke-j, dengan i = 1, 2, 3, . . . , I dan j = 1, 2, 3, . . . , J . Maka data tersebut dapat disusun dalam tabel kategorik I × J sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara Tabel 2.1 Tabel Kontingensi I × J Variabel 2 1 B 2 B 3 B . . . j B Jumlah baris Variabel 1 1 A 11 Y 12 Y 13 Y . . . j Y 1 1 n 2 A 21 Y 22 Y 23 Y . . . j Y 2 2 n 3 A 31 Y 32 Y 33 Y . . . j Y 3 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . i A 1 b Y 2 b Y 3 b Y . . . bj Y i n Jumlah kolom 1 m 2 m 3 m . . . j m j m m n    ... 1 i n n    ... 1 Berdasarkan tabel kontingensi di atas, taksiran nilai harapan untuk masing-masing sel dapat dicari dengan menghitung terlebih dahulu besarnya probabilitas untuk i A dan j B . Probabilitas untuk i A = . i P dan probabilitas untuk j B = j P . . Kemudian, untuk menghitung besarnya . i P dan j P . dapat ditaksir dengan N n P i i  . ˆ , N m P j j  . ˆ , sehingga taksiran nilai harapannya adalah N m n P P N m j i j i ij . ˆ . ˆ . ˆ . .   . Dari tabel kontingensi dua faktor yang terbentuk, model loglinier akan menggambarkan pola asosiasi atau hubungan yang terjadi antar variabel. Dengan demikian, bentuk model loglinier untuk dua faktor dapat ditulis sebagai berikut: XY ij Y j X i ij m         ˆ log 2.9 Universitas Sumatera Utara Model di atas disebut sebagai model lengkap karena memasukkan semua efek yang mungkin terbentuk, baik itu efek untuk 1-faktor dan juga efek 2-faktor. Sebagai contoh misalkan dalam tabel kontingensi 2X2, maka akan terdapat empat parameter yang terdiri dari XY ij Y j X i     , , , . Kemudian jika ingin mendapatkan sebuah model yang dapat menghilangkan salah satu efek di atas yang tidak memberikan kecocokan terbaik dengan model, maka model non-lengkap harus dibentuk. Pembentukan model ini dapat dilakukan dengan membuat beberapa efek parameter menjadi bernilai nol. Misalkan dianggap  XY ij  diasumsikan bahwa variabel X tidak berasosiasi dengan variabel Y, maka model yang terbentuk akan menjadi model loglinier non-lengkap sebagai berikut: Y j X i ij m       ˆ log 2.10 Bentuk model seperti ini disebut sebagai model independen karena hanya memuat efek utamanya saja yakni X dan Y tanpa interaksi. Uji keindependenan model loglinier untuk dua faktor, yaitu: j i ij P P P H . . :  j i ij P P P H . . 1 :  Statistik uji yang digunakan adalah uji Chi-Square dengan rumusan sebagai berikut:      i j ij ij ij m m Y ˆ ˆ 2 2  2.11 Sedangkan untuk uji kecocokan datanya dengan uji Rasio Likelihood dapat dirumuskan:       i j ij ij ij m Y Y G ˆ ln 2 2 2.12 dengan: ij Y = Observasi pada variabel i dan j ij m ˆ = Frekuensi yang diharapkan untuk ij Y degree of freedom adalah I-1J-1 dan diambil 05 ,   Universitas Sumatera Utara Kriteria Uji: Tolak H jika 2  atau 2 G hitung      ; 2 df dengan kata lain terdapat asosiasi antara dua variabel yang diselidiki dan terima H jika 2  hitung     ; 2 df dengan kata lain model Y j X i ij m       ˆ log diterima. 2.3.2 Tabel Kontingensi Tiga Faktor Seperti halnya pada tabel kontingensi I × J yang mempunyai i tingkatkategorik untuk variabel pertama dan mempunyai j tingkatkategorik untuk variabel kedua, maka pada tabel kontingensi I × J × K juga berlaku sama. Misal ijk Y menyatakan banyak peristiwa variabel-1 ada pada tingkat ke-i, variabel-2 pada tingkat ke-j, dan variabel-3 pada tingkat ke-k, dengan i = 1, 2, 3, . . . , I , j = 1, 2, 3, . . . , J dan k = 1, 2, 3, . . . , K. Maka data tersebut dapat disusun dalam tabel kategorik I × J × K sebagai berikut: Tabel 2.2 Tabel Kontingensi I × J × K Variabel 2 Jumlah 1 2 ... j Variabel 3 1 2 ... k V a r i a b e l 1 1 ... .. 2 ... .. ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ i … .. Jumlah . . … . … Universitas Sumatera Utara Berdasarkan tabel kontingensi di atas, taksiran nilai harapan untuk tiap sel dapat dicari dengan menghitung terlebih dahulu besarnya probabilitas untuk , .. i Y , . . j Y dan k Y .. . Probabilitas untuk .. i Y = .. i P , probabilitas untuk . . j Y = . . j P dan probabilitas untuk k Y .. = k P .. . Kemudian, untuk menghitung besarnya .. i P , . . j P , dan k P ... dapat ditaksir dengan N Y P i i .. .. ˆ  , N Y P j j . . . . ˆ  , dan N Y P k k .. .. ˆ  , sehingga taksiran nilai harapannya adalah k j i ijk P P P N m .. . . .. . ˆ        2 .. . . .. N Y Y Y k j i  . Dari tabel kontingensi tiga faktor yang terbentuk, model loglinier akan menggambarkan pola asosiasi atau hubungan yang terjadi antar tiga variabel. Dengan demikian, bentuk lengkap model loglinier untuk tiga faktor dapat ditulis sebagai berikut Agresti, 1990: XYZ ijk YZ jk XZ ik XY ij Z k Y j X i ijk m                 ˆ log 2.13 dengan: ijk m ˆ log = Logaritma dari frekuensi sel ijk  = rata – rata logaritma seluruh sel ijk X i  = Parameter pengaruh variabel pertama yang ke-i terhadap model Y j  = Parameter pengaruh variabel kedua yang ke-j terhadap model Z k  = Parameter pengaruh variabel ketiga yang ke-k terhadap model XY ij  = Parameter pengaruh interaksi variabel pertama yang ke-i dengan variabel kedua yang ke-j terhadap model XZ ik  = Parameter pengaruh interaksi variabel pertama yang ke-i dan variabel ketiga yang ke-k terhadap model YZ jk  = Parameter pengaruh interaksi variabel kedua yang ke-j dan variabel ketiga yang ke-k terhadap model XYZ ijk  = Parameter pengaruh interaksi variabel pertama yang ke-i, variabel kedua yang ke-j dan variabel ketiga yang ke-k terhadap model Universitas Sumatera Utara Kemudian, jika diasumsikan dari model di atas interaksi XY ij  , XZ ik  , XZ ik  , YZ jk  , serta XYZ ijk  bernilai 0, maka hal ini berarti , X , Y dan Z secara masing-masing tidak berasosiasi dan hanya main effects efek utama nya saja yang berhubungan secara independen. Model loglinier independen untuk tiga faktor dapat ditulis sebagai berikut: Z k Y j X i ijk m         ˆ log 2.14 Uji keindependenan model loglinier untuk tiga faktor, yaitu: k j i ijk P P P P H .. . . .. :  k j i ijk P P P P H .. . . .. 1 :  Statistik uji yang digunakan adalah uji Chi-Square dengan rumusan sebagai berikut:      i j k ijk ijk ijk m m Y ˆ ˆ 2 2  2.15 dengan: ijk Y = Observasi pada variabel i, j, dan k ijk m ˆ = Frekuensi yang diharapkan untuk ijk Y degree of freedom adalah I-1J-1K-1 dan diambil  = 0,05 Kriteria Uji: Tolak H jika 2  hitung      ; 2 df dengan kata lain terdapat asosiasi antar ketiga variabel dan terima H jika 2  hitung     ; 2 df dengan kata lain model Z k Y j X i ijk m         ˆ log diterima.

2.4 Pengujian Kecocokan Model