23 Secara ringkas, syarat perlu untuk TP adalah persamaan 3.32 yang
mempunyai tiga solusi real dan solusi ini memenuhi 3.33. Untuk
0, sistem terkurangi menjadi sistem dua dimensi. Untuk
kecil, sistem merupakan gangguan tunggal dari sistem dua dimensi yang di analisis
sebelumnya untuk belalang yang tidak terbang di tanah. Dua nilai eigen tertutup menuju nilai eigen sistem dua dimensi dan nilai eigen ketiga adalah:
. R
3.34 Karena
, maka dua nilai eigen harus memenuhi syarat
persamaan 3.33. Tetapi, analisis gangguan sederhana dari persamaan 3.32 menunjukkan bahwa syarat ini tidak dijumpai jika
1. Ketika nilai eigen
positif
1
dan lebih besar dari 1 untuk memenuhi kecilnya , maka TB tidak
akan terjadi sehingga dibangunlah model IV.
3.4 Model IV: Perubahan Arah Terbang Bergantung Kepadatan Density Dependent
Edelstein-Keshet et al. 1998 mengutip Waloff Z 1962 menyatakan bahwa kelompok belalang memelihara kepaduan karena individu atau kelompok
kecil yang keluar mendadak dari kelompok mengubah orientasi mereka dan kembali menuju kelompok. Pernyataan ini didasarkan pendekatan pada ide bahwa
belalang secara kontinu bergabung kembali dan terbang menuju kelompok, atau berputar pada respon kepadatan lokal. Untuk menjelajahi ide ini, diasumsikan
bahwa interaksi di tanah diabaikan. Sehingga yang diamati kepada hal yang lebih perlu, yaitu difokuskan pada belalang yang terbang itu sendiri. Belalang yang
terbang di bagi dua, yaitu belalang dengan gerakan ke depan ,
A x t dan
belalang dengan gerakan balik , .
B x t Diasumsikan bahwa kecepatan terbang
v sama. Laju perputaran
dan
ab ba
r r
juga diasumsikan bergantung pada kepadatan lokal. Persamaan yang dikaji adalah:
,
ab ba
A A
v w
r A r B
t x
3.35
24 .
ba ab
B B
v w
r B r A
t x
3.36 Dalam hal ini,
, ,
,
ab ab
ba ba
r r
A B r
r A B
adalah fungsi kepadatan dan kecepatan angin
w diasumsikan konstan. Dengan penerapan sistem peralihan koordinat z
x ct
pada persamaan 3.35 dan 3.36 diperoleh
,
ab ba
dA v
w c
r A r B
dz 3.37
.
ab ba
dB v
w c
r A r B
dz 3.38
Kurangkan kedua persamaan di atas untuk mengeliminasi bentuk kinetik, sehingga diperoleh
0. dA
dB v
w c
v w
c dz
dz 3.39
Integralkan dan gunakan syarat batas yaitu tidak ada individu jauh ke depan atau jauh di belakang gelombang sehingga menghasilkan
0, v
w c A
v w
c B 3.40
yang mengimplikasikan bahwa kepadatan gerakan individu ke depan dan gerakan balik adalah proposional dimana-mana.
Kemudian dieliminasi satu peubah semisal B , oleh substitusi berikut: ,
v w
c B
A v
w c
3.41 dalam bentuk pendekatan persamaan untuk
. A
Ini berarti bahwa sistem persamaan terkurangi menjadi persamaan tunggal, yang mempunyai bentuk dasar
, dA
A f A dz
3.42 dalam hal ini,
f A adalah ungkapan dengan laju perputaran awal
dan
ab ba
r r
yang bergantung pada .
A Persamaan 3.42 adalah persamaan satu dimensi yang
tidak mendukung solusi pulse karena berdimensi rendah. Dua titik keseimbangan
25 yakni titik tetap dari
Af A adalah dapat ada, tetapi tidak bermula dan berakhir pada
0. A
Artinya TF dapat terjadi, tetapi bukan pulse. Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
bergabung kembali dan terbang bersama kelompok memungkinkan untuk mempertahankan kelompok maju ke depan, tetapi bukan TB karena
berlawanan dengan pernyataan Waloff. Hal ini tidak akan mengarah ke kepaduan kelompok, karena mekanisme untuk kembali ke kelompok belalang
yang tidak terbang tidak dijaga. analisis tidak mendukung model IV.
Karena TB tidak terjadi, maka dibangunlah model V.
3.5 Model V: Gerakan Aktif Belalang Terbang Bergantung Kepadatan Individu
