5 proses difusi dan uF
sebagai proses adveksi. Dalam hal ini, D menyatakan
koefisien difusi dan u menyatakan kecepatan rata-rata individu yang melewati
bidang. Pergerakan acak populasi terjadi dari kepadatan tinggi ke kepadatan rendah,
sedangkan pergerakan tak acak terjadi dalam arah kecepatan rata-rata. Secara umum D
dan u mempengaruhi kekompakan kelompok. Hal ini tergantung pada
kepadatan populasi. Total fluks dapat dituliskan .
F J
uS D
x 2.7
Okubo A 1980
2.6 Pola Penyebaran Belalang
Individu dalam populasi ada yang keluar masuk dalam kelompok ketika kelompok tersebut bergerak. Adanya individu yang keluar masuk dalam
kelompok membentuk suatu pola sebaran tertentu. Dengan mengacu pada hukum Ficks tentang perbedaan kedifusian dan ragam dari dua populasi, Okubo A 1980
menyatakan bentuk pola penyebaran tiap populasi sebagai berikut:
2 1
2
exp[ ], A
l x a
a 2.8
2 2
2
exp[ ],
b
B l
x b 2.9
dalam hal ini, .
b a
2.7 Tarikan Attraction dan Tolakan Repulsion
Dalam persamaan 2.8 dan 2.9, simbol
1
l menyatakan tarikan dan
2
l menyatakan tolakan. Bentuk keseimbangan akibat adanya dua sumber tarikan
dan tolakan yang berlawanan arah diberikan Okubo A 1980 sebagai berikut:
1 2
, L
l l
2.10
2.8 Gelombang Berjalan GB
GB merupakan solusi Persamaan Diferensial Parsial PDP dengan pola gelombang tetap dan kecepatan konstan. Mengenai GB, Edelstein-Keshet L
6 1988 menyatakan bahwa
, f x t
disebut GB jika fungsi tersebut mempertahankan bentuk gelombang pada laju konstan c
ketika gelombang bergerak ke kanan. Pengamat bergerak dengan kecepatan sama dan searah dengan
gerakan gelombang sehingga terlihat bentuk gelombang yang tidak berubah. Hubungan antara fungsi gelombang yang bergerak ke kanan
, f x t
dengan fungsi pengamat yang bergerak
F z adalah:
, , F z
f x t dengan syarat ,
z x
ct 2.11
F z adalah fungsi dari peubah tunggal, yaitu jarak sepanjang gelombang dari
beberapa titik tetap yang dipilih menuju 0.
z Dengan aturan rantai diferensiasi, persamaan 2.11 dapat diubah ke dalam
bentuk berikut: ,
. F
F z
F x
z x
z F
F z
F c
t z
t z
2.12
Sehingga diperoleh bentuk Persamaan Diferensial Biasa PDB dari suatu sistem PDP, yang dapat diketahui eksistensi dan sifat yang dimiliki solusi GB.
2.8.1 Persamaan Fisher
Mengenai eksistensi dan sifat yang dimiliki solusi GB, Edelstein-Keshet L 1988 mengutip Fisher 1937 mengamati gerakan acak dari populasi individu
pada suatu daerah tertentu. Ia memisalkan F sebagai proporsi populasi individu
yang bergerak acak, 1
S F sebagai proporsi populasi individu pada saat awal,
sebagai koefisien konstan proporsi populasi, dan D sebagai koefisien difusi. Laju perubahan F
pada suatu lokasi tertentu dapat dinyatakan ke dalam bentuk persamaan berikut:
2 2
1 .
F F
D F
F t
x 2.13
Persamaan 2.13 untuk mendeskripsikan populasi yang berhubungan dengan masalah logistik dan penyebaran acak. Persamaan 2.13 mempunyai
solusi yang variatif bergantung pada syarat batas yang diberikan. Dengan
7 peralihan koordinat z
x ct
dan perubahan bentuk persamaan menjadi PDB, maka solusi GB dapat dicari dengan lebih mudah. Pada penelitian ini,
diasumsikan bahwa domain gelombang berada pada daerah yang tak terbatas. Gelombang penyebaran individu dalam kelompok yang dideskripsikan pada
persamaan 2.13 diharapkan sesuai realitas biologis. Untuk menemukan solusi
sistem PDP berdimensi kecil dapat digunakan analisis bidang fase. 2.8.2
Penondimensionalan
Dalam suatu sistem PDP, bentuk peubah-peubah ada yang berdimensi tak sama. Oleh karena itu, peubah-peubah tersebut perlu diekspresikan sama agar
solusi mudah diperoleh. Menurut Edelstein-Keshet L 1988, pengekspresian peubah dapat dilakukan
dengan cara berikut:
2.8.3 Proses Pelinearan
Untuk menentukan solusi tertutup steady state solusi yang didekati oleh pelinearan dari sistem PDP, Edelstein-Keshet L. 1988 memisalkan PDB
sebagai berikut: ,
, dX
F X Y dt
2.14 ,
, dY
G X Y dt
2.15 di mana F dan G adalah fungsi tak linear. Diasumsikan bahwa X
dan Y adalah solusi steady state, yang memenuhi
, ,
0. F X Y
G X Y 2.16
Solusi tertutup steady state yang sering disebut gangguan pertubation memenuhi
, X t
X x t
2.17 .
Y t Y
y t 2.18
Kuantitas ukuran
= Skalar pengali
Unit yang berdimensi
8 Setelah disubtitusi ke persamaan 2.14 dan 2.15, diperoleh
, ,
d X
x F X
x Y y
dt 2.19
, .
d Y
y G X
x Y y
dt 2.20
Sisi kiri diperluas dan dibentuk turunannya oleh definisi dX dt
dan 0.
dY dt Sisi kanan diperluas oleh F dan G dalam deret Taylor pada titik
, . X Y
Sehingga diperoleh
2 2
, ,
, bentuk orde
, ,
, dan yang lain,
x y
dx F X Y
F X Y x F X Y y
dt x
y xy
2.21
2 2
, ,
, bentuk orde
, ,
, dan yang lain,
x y
dy G X Y
G X Y x G
X Y y dt
x y
xy 2.22
di mana ,
x
F X Y adalah F
x yang dievaluasi pada
, .
X Y Untuk
, ,
,
y x
y
F G G dievaluasi dengan cara yang sama.
Oleh definisi ,
, F X Y
G X Y diperoleh
11 12
, dx
a x a y
dt 2.23
21 22
, dy
a x a y
dt 2.24
dalam bentuk matriks
11 12
21 22
,
.
x y
x y
X Y
F F
a a
A a
a G
G 2.25
Bentuk ini adalah bentuk matriks Jacobian dari sistem persamaan 2.14 dan 2.15. Untuk menentukan kestabilannya dengan cara melihat solusi persamaan
2.23 dan 2.24.
9
2.8.4 Orbit
Ketika suatu sistem PDP berdimensi kecil, maka solusi sistem tersebut dapat dicari dengan menggunakan pendekatan analisis bidang fase. Pendekatan analisis
bidang fase merupakan teknik untuk mencari solusi dari sistem PDB yang luas cakupan solusinya. Oleh karena itu, untuk mempermudah mencari solusi dari
sistem tersebut perlu dilakukan pembatasan pada GB yang diberikan. Batas gelombang ini merupakan batas trayektori untuk sistem persamaan pada ruang
fase yang berdimensi tinggi. Edelstein-Keshet L 1988 menyatakan bahwa orbit trayektori
heteroklinik merupakan
cerminan batas
gelombang yang
menghubungkan dua titik tetap. B atas trayektori yang lain adalah: i Orbit homoklinik trayektori yang meninggalkan sebuah titik sadel ketika tak
stabil dan kembali ke titik sadel ketika stabil akan menghasilkan gelombang asimtotik yang mendekati nilai
. z
ii Suatu cycle atau orbit periodik yang mencerminkan osilasi penyebaran melimpah pada ruang.
2.9 Momen Sebaran Belalang
Dougherty RD 1990 mendefinisikan nilai awal momen sebaran sebagai berikut:
i Untuk beberapa bilangan bulat tak negatif ,
k maka nilai awal momen dari
peubah acak X adalah: .
k k
E X 2.26
ii Jika X kontinu, maka .
k k
k
E X x
f x x dx
2.27 iii Jika
1, dengan jumlah keseluruhan peluang adalah satu dan
1
,
x
E X maka nilai awal momen kedua adalah:
2 2
2
. E X
x f
x x dx 2.28
10 Edelstein-Keshet et al. 1998, menuliskan hal tersebut ke dalam bentuk
berikut ini: i
, ,
i i
F t x F x t dx
2.29 ii
2
1 ,
, V t
x X
F x t dx N
2.30 dalam hal ini, F
merupakan ukuran sebaran. V adalah ragam, N
adalah jumlah total individu dan X adalah pusat massa kepadatan tertinggi kelompok.
2.10 Konvolusi Fungsi
Menurut Riley et al. 2006, selain dipengaruhi penyebaran populasi, laju kepadatan populasi juga dipengaruhi kecepatan kelompok. Kecepatan kelompok
ini merupakan sebaran yang diamati, yakni dengan memisalkan F x
sebagai fungsi yang akan diukur,
K y sebagai fungsi resolusi yang digunakan sebagai alat ukur, dan
v x hasil penghitungan sebaran yang diamati. Fungsi resolusi
tidak memberikan nilai keluaran yang benar, maka dimungkinkan bahwa nilai keluaran
y akan diganti oleh nilai di antara y
dan y dy
dan dinyatakan dengan
K y dy . Simbol dan
, , x
x y adalah peubah berukuran sama panjang
atau sudut, tetapi mempunyai perbedaan peran. Diasumsikan bahwa
F x dx bergerak menuju ke interval dz, yaitu ke
, K x
x dx karena adanya resolusi
. x
x Kombinasi yang mungkin ada
adalah bahwa interval dx akan meningkat dalam interval
, dx
yaitu menuju .
K x x F x dx
Penambahan kontribusi dari semua nilai x
mengarah ke dalam range x menuju
, x
dx sehingga diperoleh bentuk .
v x K x
x F x dx 2.31
Bentuk ini disebut konvolusi dari fungsi dan ,
F K yang sering ditulis dalam
bentuk .
v K
F 2.32
Menurut Borrelli RL Coleman CS 1998, bentuk perkalian konvolusi dapat digunakan untuk menemukan respon pada sistem dinamik untuk kecepatan
yang terjadi secara mendadak pada amplitudo yang luas dan durasi yang pendek.
11
2.11 Fungsi Kernel
