15
3.1.1 Gelombang Berjalan Travelling Front dan Travelling Band
Sistem persamaan model I ditransformasikan ke dalam koordinat GB ,
z x
ct dengan c
adalah kecepatan gelombang yang konstan, sehingga diperoleh
, , ,
S c
R S F S G S F F
z 3.3
2 2
, , .
F F
F c
D U
R S F S G S F F
z z
z 3.4
. Kedimensionalan sistem persamaan ini dapat dikurangi dengan cara
menambahkan kedua persamaan, mengintegralkan dari ke
, z
dan mensubstitusikan ke dalam sistem persamaan sehingga diperoleh
, , ,
S c
R S F S G S F F
z 3.5
konstanta. F
D cS
U c F
z 3.6
Hasil ini dapat dipelajari dengan metode bidang fase. Tetapi solusi secara rinci nilai pada konstanta acak akan bergantung pada syarat bantu. Syarat bantu
dalam kasus TF dan TB saling berlawanan. Kemungkinan himpunan yang relevan dengan syarat bantu untuk TF dan TB adalah:
i lim
, 0,
z
F S ii
lim ,
0,
z
F S iii
, F S
untuk semua . z
Arti syarat-syarat di atas adalah: i tidak ada individu yang jauh di depan gelombang, ii tidak ada individu yang jauh di belakang gelombang, dan
iii kepadatannya tak negatif. Solusi TF memenuhi syarat i dan iii, direpresentasikan oleh trayektori
heteroklinik yang menggambarkan keberadaan titik tetap pada saat awal di bidang fase
. SF
Sesuai asumsi iii, trayektori berada pada kuadran positif. Oleh karena itu, solusinya memenuhi beberapa kriteria berikut:
16 Pada saat awal
F S
mempunyai satu titik sadel atau satu titik stabil, yaitu satu nilai eigen real negatif
untuk menerangkan sifat pertama di atas.
Pada ruang state, vektor eigen yang berkorespondensi dengan berada di
kuadran pertama. Pada kuadran positif, paling sedikit mempunyai satu keseimbangan, yaitu
satu sadel, titik tak stabil, atau spiral tak stabil. Keseimbangan ini merepresentasikan kepadatan F dan S yang jauh di belakang gelombang.
Untuk solusi TB memenuhi syarat i, ii, dan iii, direpresentasikan oleh trayektori homoklinik yang berada pada kuadran positif di bidang SF . Oleh
karena itu, solusinya memenuhi beberapa kriteria berikut: Pada saat awal trayektorinya dapat keluar dan masuk ke titik tetap, artinya
harus ada satu titik sadel, yaitu satu nilai eigen positif dan satu nilai eigen negatif.
Pada ruang state, vektor eigen tidak dapat diarahkan ke kuadran II dan IV karena solusi dibatasi pada daerah tak negatif.
Nullcline F dan S
melewati kuadran I karena mempunyai maksima di kuadran ini.
Selanjutnya adalah memeriksa syarat bantu yang dipenuhi. Jika memenuhi solusi TF, maka solusi TB ditiadakan. Artinya jika solusi pulse ada pada solusi
TF, maka dimana-mana tidak tak negatif dan tidak akan ada representasi kelompok secara biologi.
3.1.2 Analisis Persamaan Gelombang Berjalan
Kategori