21 Dalam sistem koordinat GB, setelah penambahan dua persamaan dan
pengintegralan seperti langkah sebelumnya, diperoleh sistem sebagai berikut: ,
, , S
c R S F S
G S F F z
3.28 ,
, , .
F S
c F S
D S F E S F F
U S F F z
z 3.29
Pendekatan vektor eigen dilakukan untuk menemukan pusat pulse pada perilaku awal dan titik sadel pada
0, 0, sehingga trayektori homoklinik dapat
dibangun. Ketika pulse ditemukan, pelinearan sistem persamaan mengarah ke himpunan eksak yang sama pada PDB dengan laju difusi
0, 0 D
dan kecepatan 0, 0.
u U
Fakta ini menunjukkan bahwa U dan D adalah fungsi yang apabila dibandingkan dengan konstanta tidak akan relevan. Perilaku fungsi ini pada
kepadatan rendah merupakan batas contohnya pada gelombang balik atau gelombang ke depan masuk ke dalam analisis. Bentuk model yang baru ini tidak
menolong untuk menghilangkan masalah pada saat awal karena hasilnya identik dengan pendefinisian ulang konstanta.
Kesimpulan yang dapat di buat: ModeI perubahan belalang yang terbang maupun yang tidak terbang secara
sederhana, taxis gaya pergerakan belalang dalam merespon rangsangan, kecepatan tak linear, dan difusi tak linear pada belalang yang terbang tidak
mampu menjelaskan kepaduan kelompok. Analisis tidak mendukung model II.
3.3 Model III: Kecepatan Terbang dan Gerakan Belalang di Tanah Bergantung kepadatan lokal
Gerakan belalang di tanah lebih pelan dibandingkan gerakan belalang yang terbang. Edelstein- Keshet et al. 1998 mengutip Odell GM 1980 menyatakan
ketika persamaan diferensial berbentuk turunan tingkat tinggi dikurangi solusinya seperti penghilangan perilaku, akan menyebabkan hasil terganggu. Agar hasil
tidak terganggu, maka dikaji versi model belalang di tanah juga bergerak tetapi
22 pada laju yang lebih pelan. Gerakan mengarah ke koordinat GB dan menuju
sistem dimensi tingkat tinggi sehingga solusi TP dapat dielakkan. Persamaan-persamaan yang dikaji adalah:
, ,
, , ,
S S
F A S F
B S F S R S F S
G S F F t
x x
x 3.30
.
, ,
, ,
,
F F
S D
E F
U F
t x
x x
R S
G F
S F S F
S F S F
S F 3.31
Dalam hal ini, ,
A S F adalah motility koefisien difusi dengan adveksi
kecepatan rata-rata dalam berpindah belalang yang ada di zona interior kecil atau nol.
Analisis bergantung fakta bahwa nilai eigen tanpa dimensi pada sistem ini adalah persamaan akar kubik
3 2
0, R
G R
G 3.32
dalam hal
ini, parameter
tanpa dimensi
adalah
2 2
, ,
, c U
c A D R
RD U c
G GD
U c
dan semua fungsi dievaluasi pada
, , 0, 0, 0 .
T F S Dari pengamatan bentuk vektor eigen dan nilai eigen pada saat awal
diperoleh sekumpulan syarat yang mendeskripsikan bahwa
1
sebagai nilai eigen yang tak stabil, dan
2
sebagai nilai eigen yang stabil, dengan batas
1 2
1, 0.
Nilai eigen harus tak stabil dan kurang dari
1
atau stabil dan lebih dari
2
. Dengan penyusunan ulang secara sederhana, dapat diperoleh syarat sebagai
berikut:
2 1
3 1
1 .
3.33
23 Secara ringkas, syarat perlu untuk TP adalah persamaan 3.32 yang
mempunyai tiga solusi real dan solusi ini memenuhi 3.33. Untuk
0, sistem terkurangi menjadi sistem dua dimensi. Untuk
kecil, sistem merupakan gangguan tunggal dari sistem dua dimensi yang di analisis
sebelumnya untuk belalang yang tidak terbang di tanah. Dua nilai eigen tertutup menuju nilai eigen sistem dua dimensi dan nilai eigen ketiga adalah:
. R
3.34 Karena
, maka dua nilai eigen harus memenuhi syarat
persamaan 3.33. Tetapi, analisis gangguan sederhana dari persamaan 3.32 menunjukkan bahwa syarat ini tidak dijumpai jika
1. Ketika nilai eigen
positif
1
dan lebih besar dari 1 untuk memenuhi kecilnya , maka TB tidak
akan terjadi sehingga dibangunlah model IV.
3.4 Model IV: Perubahan Arah Terbang Bergantung Kepadatan Density Dependent
