2 dengan dua tahap. Pertama, pembuatan argumen sederhana dalam satu dimensi.
Kedua, menunjukkan beberapa fenomena dengan memasukkan konveksi, difusi, dan tarikan karena adanya gerakan dari individu. Agar lebih sederhana, turunan
persamaan difusi menggunakan hukum Ficks dengan pendekatan yang didasarkan pada model gerakan acak sehingga model direpresentasikan ke dalam Persamaan
Diferensial Parsial PDP. Kemudian dilakukan peralihan koordinat pada model ini, yaitu koordinat PDP ke dalam koordinat Persamaan Diferensial Biasa PDB
untuk mengurangi kesulitan pencarian solusi yang kompleks. Sehingga diperoleh dua tipe solusi, yaitu solusi di sekitar titik tetap dan solusi gelombang berjalan
travelling wave. Pada dasarnya kelompok mengarah ke solusi travelling band pulse.
Beberapa model biologi banyak yang gagal untuk menghasilkan perilaku ideal kecuali dibuat asumsi-asumsi yang tidak biasa dan tidak realistis. Kegagalan ini
disebabkan karena kesulitan menemukan model yang serupa dengan fenomena perpindahan dan kesulitan melakukan pendekatan kelompok untuk mengurangi
masalah ini. Oleh karena itu, perlu pengkajian ulang penerapan difusi pada model dan penentuan solusi numerik agar diperoleh pendeskripsian yang lebih baik.
1.2 Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan perumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:
1 Mengkaji penerapan model difusi pada perpindahan belalang. 2 Menentukan solusi numerik.
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Keseimbangan
Edelstein-Keshet L 1988 menyatakan bahwa persamaan keseimbangan adalah dasar dalam sebaran spasial. Dideskripsikan bahwa
, F x t
adalah kepadatan belalang pada posisi x
dan waktu t , J adalah banyaknya belalang
yang masuk ke dalam kelompok, x adalah panjang perubahan kepadatan, dan
adalah banyaknya belalang masuk dan keluar dari kelompok source-sink. Berdasarkan pendeskripsian ini, persamaan keseimbangan dapat dinyatakan
sebagai ,
, ,
, . F x t
J x t J x
x t x t
t x
2.1 Bila pada persamaan 2.1 diambil limit
x , maka diperoleh
persamaan keseimbangan satu dimensi berikut ,
, , .
=
F x t J x t
x t t
x 2.2
Tanda min pada ,
J x t x
menyatakan bahwa rumus beda hingga dalam persamaan 2.1 mempunyai tanda yang berlawanan dengan tanda pada definisi
turunannya.
2.2 Konveksi
Menurut Edelstein-Keshet L 1988, gerakan belalang dalam kelompok dipengaruhi oleh kecepatan angin dan kepadatan kelompok. Jika w
adalah kecepatan angin, maka banyaknya belalang yang masuk ke dalam kelompok
adalah ,
J Fw
2.3 Jika persamaan 2.3 disubstitusikan ke persamaan 2.2, maka diperoleh
persamaan perpindahan transport satu dimensi sebagai berikut: ,
, , . F x t
F x t w x t t
x 2.4
4 Kokasih PB 2006 menuliskan persamaan konveksi difusi penyebaran F
yang disebabkan oleh koefisien difusi D bergantung pada konveksi karena bergeraknya populasi dengan kecepatan U, sebagai berikut:
2 2
. F
F F
D U
t x
x 2.5
2.3 Matematika Difusi
Difusi adalah fenomena dari populasi yang menyebar secara keseluruhan menurut gerakan acak tiap individu.
Okubo A 1980
2.4 Hukum Ficks
Menurut hukum Ficks, jumlah perpindahan populasi di posisi x dalam satu unit area terhadap satu unit waktu, yakni fluks
, J x t
x adalah proporsi gradien
kepadatan populasi. Selanjutnya, didefinisikan bahwa ,
J x t F
D x
x , dengan
F adalah kepadatan populasi dan D adalah laju penyebaran atau koefisien difusi.
Tanda negatif menunjukkan bahwa difusi terjadi dari kepadatan tinggi menuju kepadatan rendah. Penggunaan hukum Ficks ada dalam persamaan difusi berikut:
, .
F J x t
x F
D t
x x
x 2.6
Okubo A 1980 2.5
Persamaan Difusi Kelompok Belalang
Model matematika untuk sebaran spasial populasi dari belalang seperti pola kepadatan kelompok tidak dapat didasarkan pada gerakan acak sederhana. Dalam
hal ini harus dimasukkan mekanisme pergerakan populasi belalang yang melawan aksi difusi. Jadi fluks populasi melalui bidang yang tegak lurus dengan sumbu
x yang berisi dua komponen, yakni acak dan tak acak. Jika proses difusi diasumsikan sebagai komponen acak dan proses adveksi
sebagai komponen tak acak, maka fluks dapat di formulasikan F
D x
sebagai
5 proses difusi dan uF
sebagai proses adveksi. Dalam hal ini, D menyatakan
koefisien difusi dan u menyatakan kecepatan rata-rata individu yang melewati
bidang. Pergerakan acak populasi terjadi dari kepadatan tinggi ke kepadatan rendah,
sedangkan pergerakan tak acak terjadi dalam arah kecepatan rata-rata. Secara umum D
dan u mempengaruhi kekompakan kelompok. Hal ini tergantung pada
kepadatan populasi. Total fluks dapat dituliskan .
F J
uS D
x 2.7
Okubo A 1980
2.6 Pola Penyebaran Belalang
