6 1988 menyatakan bahwa
, f x t
disebut GB jika fungsi tersebut mempertahankan bentuk gelombang pada laju konstan c
ketika gelombang bergerak ke kanan. Pengamat bergerak dengan kecepatan sama dan searah dengan
gerakan gelombang sehingga terlihat bentuk gelombang yang tidak berubah. Hubungan antara fungsi gelombang yang bergerak ke kanan
, f x t
dengan fungsi pengamat yang bergerak
F z adalah:
, , F z
f x t dengan syarat ,
z x
ct 2.11
F z adalah fungsi dari peubah tunggal, yaitu jarak sepanjang gelombang dari
beberapa titik tetap yang dipilih menuju 0.
z Dengan aturan rantai diferensiasi, persamaan 2.11 dapat diubah ke dalam
bentuk berikut: ,
. F
F z
F x
z x
z F
F z
F c
t z
t z
2.12
Sehingga diperoleh bentuk Persamaan Diferensial Biasa PDB dari suatu sistem PDP, yang dapat diketahui eksistensi dan sifat yang dimiliki solusi GB.
2.8.1 Persamaan Fisher
Mengenai eksistensi dan sifat yang dimiliki solusi GB, Edelstein-Keshet L 1988 mengutip Fisher 1937 mengamati gerakan acak dari populasi individu
pada suatu daerah tertentu. Ia memisalkan F sebagai proporsi populasi individu
yang bergerak acak, 1
S F sebagai proporsi populasi individu pada saat awal,
sebagai koefisien konstan proporsi populasi, dan D sebagai koefisien difusi. Laju perubahan F
pada suatu lokasi tertentu dapat dinyatakan ke dalam bentuk persamaan berikut:
2 2
1 .
F F
D F
F t
x 2.13
Persamaan 2.13 untuk mendeskripsikan populasi yang berhubungan dengan masalah logistik dan penyebaran acak. Persamaan 2.13 mempunyai
solusi yang variatif bergantung pada syarat batas yang diberikan. Dengan
7 peralihan koordinat z
x ct
dan perubahan bentuk persamaan menjadi PDB, maka solusi GB dapat dicari dengan lebih mudah. Pada penelitian ini,
diasumsikan bahwa domain gelombang berada pada daerah yang tak terbatas. Gelombang penyebaran individu dalam kelompok yang dideskripsikan pada
persamaan 2.13 diharapkan sesuai realitas biologis. Untuk menemukan solusi
sistem PDP berdimensi kecil dapat digunakan analisis bidang fase. 2.8.2
Penondimensionalan
Dalam suatu sistem PDP, bentuk peubah-peubah ada yang berdimensi tak sama. Oleh karena itu, peubah-peubah tersebut perlu diekspresikan sama agar
solusi mudah diperoleh. Menurut Edelstein-Keshet L 1988, pengekspresian peubah dapat dilakukan
dengan cara berikut:
2.8.3 Proses Pelinearan
Untuk menentukan solusi tertutup steady state solusi yang didekati oleh pelinearan dari sistem PDP, Edelstein-Keshet L. 1988 memisalkan PDB
sebagai berikut: ,
, dX
F X Y dt
2.14 ,
, dY
G X Y dt
2.15 di mana F dan G adalah fungsi tak linear. Diasumsikan bahwa X
dan Y adalah solusi steady state, yang memenuhi
, ,
0. F X Y
G X Y 2.16
Solusi tertutup steady state yang sering disebut gangguan pertubation memenuhi
, X t
X x t
2.17 .
Y t Y
y t 2.18
Kuantitas ukuran
= Skalar pengali
Unit yang berdimensi
8 Setelah disubtitusi ke persamaan 2.14 dan 2.15, diperoleh
, ,
d X
x F X
x Y y
dt 2.19
, .
d Y
y G X
x Y y
dt 2.20
Sisi kiri diperluas dan dibentuk turunannya oleh definisi dX dt
dan 0.
dY dt Sisi kanan diperluas oleh F dan G dalam deret Taylor pada titik
, . X Y
Sehingga diperoleh
2 2
, ,
, bentuk orde
, ,
, dan yang lain,
x y
dx F X Y
F X Y x F X Y y
dt x
y xy
2.21
2 2
, ,
, bentuk orde
, ,
, dan yang lain,
x y
dy G X Y
G X Y x G
X Y y dt
x y
xy 2.22
di mana ,
x
F X Y adalah F
x yang dievaluasi pada
, .
X Y Untuk
, ,
,
y x
y
F G G dievaluasi dengan cara yang sama.
Oleh definisi ,
, F X Y
G X Y diperoleh
11 12
, dx
a x a y
dt 2.23
21 22
, dy
a x a y
dt 2.24
dalam bentuk matriks
11 12
21 22
,
.
x y
x y
X Y
F F
a a
A a
a G
G 2.25
Bentuk ini adalah bentuk matriks Jacobian dari sistem persamaan 2.14 dan 2.15. Untuk menentukan kestabilannya dengan cara melihat solusi persamaan
2.23 dan 2.24.
9
2.8.4 Orbit
