16 Pada saat awal
F S
mempunyai satu titik sadel atau satu titik stabil, yaitu satu nilai eigen real negatif
untuk menerangkan sifat pertama di atas.
Pada ruang state, vektor eigen yang berkorespondensi dengan berada di
kuadran pertama. Pada kuadran positif, paling sedikit mempunyai satu keseimbangan, yaitu
satu sadel, titik tak stabil, atau spiral tak stabil. Keseimbangan ini merepresentasikan kepadatan F dan S yang jauh di belakang gelombang.
Untuk solusi TB memenuhi syarat i, ii, dan iii, direpresentasikan oleh trayektori homoklinik yang berada pada kuadran positif di bidang SF . Oleh
karena itu, solusinya memenuhi beberapa kriteria berikut: Pada saat awal trayektorinya dapat keluar dan masuk ke titik tetap, artinya
harus ada satu titik sadel, yaitu satu nilai eigen positif dan satu nilai eigen negatif.
Pada ruang state, vektor eigen tidak dapat diarahkan ke kuadran II dan IV karena solusi dibatasi pada daerah tak negatif.
Nullcline F dan S
melewati kuadran I karena mempunyai maksima di kuadran ini.
Selanjutnya adalah memeriksa syarat bantu yang dipenuhi. Jika memenuhi solusi TF, maka solusi TB ditiadakan. Artinya jika solusi pulse ada pada solusi
TF, maka dimana-mana tidak tak negatif dan tidak akan ada representasi kelompok secara biologi.
3.1.2 Analisis Persamaan Gelombang Berjalan
Diasumsikan bahwa lim
0,
z
F lim
0.
z
F z
3.7 Asumsi ini mengikuti fakta bahwa F dan S
menurun menuju nol pada gelombang baliknya. Konstanta pengintegralan bernilai nol dan sistem persamaan
hasil peralihan koordinat z
x ct menjadi:
17 ,
, , S
c R S F S
G S F F z
3.8 .
F D
cS U
c F z
3.9 Selanjutnya adalah menguji perilaku dari sistem persamaan ini dengan
tujuan menunjukkan trayektori homoklinik pada saat awal dapat terjadi di bawah beberapa asumsi yang sesuai. Sistem persamaan memenuhi nullcline sebagai
berikut: ,
, , R S F S
G S F F 3.10
. cS
U c F
3.11 Sehingga nullcline F memenuhi
U c F
cS U
c F
S c
0. U
c F
S c
3.12 Karena nullcline ini melewati kuadran I, maka hal ini mengimplikasikan bahwa
gradien bernilai positif 0.
U c
c Dari gradien positif ini diperoleh
0. U
Dengan asumsi bahwa arah angin menuju ke ke sumbu x positif dan
0, U
diperoleh batasan berikut: .
c U
3.13 Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika GB dari beberapa tipe ada, maka
kecepatan kelompok lebih pelan dari pada kecepatan angin. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa belalang menghabiskan waktu di antara tanah dan langit
secara berkelompok dengan gerakan ke depan lebih pelan dari pada ketika di bawa ke depan oleh angin.
Persamaan diferensial yang ada dapat diubah ke dalam formulasi tanpa dimensi berikut:
, , ,
s R s f s G s f f
3.14
18 .
f s
f 3.15
dengan, ,
s S
3.16 ,
U c
f F
c 3.17
, D
U c
z 3.18
, , ,
D R s f
R S s F f c U
c 3.19
2
, , .
D G s f
G S s F f c U
c 3.20
Pelinearan sistem dengan titik tetap f
s adalah:
. 1
1
s s
R G
f f
3.21
Parameter 0, 0 0
R R
dan 0, 0 0
G G
merepresentasikan bentuk interaksi pada titik tetap
0, 0 yang ekuivalen dengan laju pendaratan dan laju
berangkat untuk terbang ketika kepadatan belalang rendah. Nilai eigen dari sistem linear ini adalah:
1 2 2
1 1
1 4
2 R
R R
G 3.22
Karena R
positif, maka 1 R
juga positif. Untuk R
G tidak
konsisten dengan GB pada beberapa bentuk karena nilai eigennya positif dan pada saat awal tak stabil. Keadaan ini tidak diakui pendekatannya pada trayektori dari
beberapa titik tetap lain sehingga tidak sesuai untuk TF dan TB. Oleh karena itu, diasumsikan syarat perlu untuk solusi GB sebagai berikut:
. R
G 3.23
Jika syarat 3.23 ini diterapkan dalam fungsi awal bawaan dimensi, maka ketaksamaan ekuivalen dengan
19 .
R U c
G R
3.24 Artinya bahwa kuantitas pada sisi kiri menyatakan kecepatan rata-rata belalang
pada daerah berkepadatan rendah. Rasio R
G R
adalah jumlah relatif belalang yang terbang dengan kecepatan
. U
Jika ketaksamaan ini tidak dipenuhi, maka belalang yang berada jauh di depan kelompok akan terbang lebih cepat dari
pada yang berada dalam kelompok. Ini mengimplikasikan bahwa gelombang pada beberapa tipe front atau band akan mempunyai kecepatan gelombang minimum.
Sedangkan kecepatan gelombang maksimum di .
c U
Ketika syarat 3.24 dipenuhi, diperoleh R
G dan satu titik sadel
pada saat awal kemungkinan ketika dibangkitkan. Keberadaan satu titik sadel pada saat awal adalah salah satu syarat untuk terjadinya solusi TB dan konsisten
dengan solusi TF. Tetapi, terlihat bahwa kriteria lain untuk solusi band tidak dapat dipenuhi.
Untuk melihat ada tidaknya solusi TB, maka vektor eigen pada saat awal harus diarahkan ke dalam kuadran I dan III. Vektor eigen yang diperoleh
1 ,
1 3.25
Sehingga untuk titik sadelnya memenuhi nilai eigen 1
1 dan 0.
R Dalam kasus tak dibangkitkan, yaitu jika
, R
G maka vektor eigen yang stabil
berkorespondensi dengan titik di kuadran I dan III sedangkan vektor eigen tak
stabil berkorespondensi dengan titik di kuadran II dan IV. Pada keadaan ini,
beberapa trayektori homoklinik pada saat awal merupakan titik tetap pada bidang fase F
atau S yang bernilai negatif. Artinya beberapa solusi bukan biologi harus dibuang ketika menunjukkan kepadatan populasi.
Beberapa kasus khusus lain, yaitu jika 0,
R G
maka vektor eigen berkorespondensi dengan titik
dalam kuadran II dengan hasil yang sama
20 seperti pembahasan sebelumnya. Jika
0, R
G maka analisis tidak berperan
memunculkan trayektori homoklinik dan pengamatan dapat diteruskan. Hasil di atas menunjukkan keberadaan solusi TB tetapi kemungkinan dalam
kasus pembangkitan, sehingga dapat disimpulkan bahwa Interaksi lokal belalang yang terbang dan tidak terbang, konveksi difusi
sederhana pada belalang yang terbang tidak dapat menjelaskan kepaduan kelompok yang berpindah pada TB-nya.
Model I berhenti, karena analisis tidak mendukung. Kegagalan model I, kemungkinan karena difusi dan kecepatan yang konstan
terlalu umum sehingga mengarahkan untuk memunculkan model II.
3.2 Model II: Kecepatan Terbang Bergantung pada Kepadatan Lokal Local Density
