28
IV METODE DAN PEMBAHASAN
Karena model I, II, III dan IV yang dibangun secara lokal tidak dapat menjaga kepaduan kelompok dengan memuaskan, maka dalam penelitian ini
diamati model V dengan pengamatan kepaduan kelompok secara non lokal. Langkah pertama adalah mencari solusi model V dengan beberapa sifat seperti
pusat massa atau luasan kelompok menggunakan bentuk kernel secara rinci untuk mengimbangi pengaruh bentuk difusi sehingga dapat menyelesaikan beberapa
perluasan dari persamaan 3.49. Langkah selanjutnya adalah melakukan simulasi model V dengan pendekatan syarat awal menggunakan fungsi sebaran normal.
Untuk keperluan ini, maka terlebih dahulu dikaji analisis model non lokal dan menetapkan parameter-parameter realistis yang berkaitan dengan model.
Selanjutnya dilakukan simulasi dengan bantuan software Matlab R2008a untuk melihat hasilnya.
4.1 Analisis Model V
Menurut Edelstein-Keshet et al. 1998, pusat massa atau luasan kelompok dinyatakan sebagai berikut:
, ,
F t F x t dx
4.1
1
, ,
F t xF x t dx
4.2
2 2
, ,
F t x F x t dx
4.3 dengan jumlah total individu
N F t dan pusat massa kelompok adalah:
1
. X t
F N Ragamnya adalah:
2
1 ,
. V t
x X
F x t dx N
4.4 Hubungan antara momen kedua dan ragam lihat lampiran 1 adalah:
2 2
, F
N V X
4.5
29 Jumlah keseluruhan individu dipertahankan oleh pengintegralan kedua sisi
persamaan 3.43 dengan bentuk sisi kanan bernilai nol dengan pendekatan perilaku pada
. Karena N konstan, maka F juga konstan sehingga
0. dF
dt 4.6
Ini memperkuat fakta bahwa persamaan 3.43 bukan bentuk source-sink, hanya bentuk ulang sebaran pada ruang yang luas sehingga jumlah total individu
pada daerah yang tak terbatas adalah konstan.
Untuk pusat massa yang diperoleh dari persamaan 3.43 lihat lampiran 2 adalah:
1 .
d X w
K F Fdx
dt N
4.7 Pusat massa bergerak karena adanya kecepatan angin dan kecepatan
kelompok. Tetapi, ketika K ganjil, bentuk kelompok tidak memberikan
kontribusi untuk kecepatan pada pusat massa. Ragam diperoleh dari persamaan 3.43 lihat lampiran 3 adalah:
dV t 2
2 D x
X w
K F Fdx . dt
N 4.8
Karena kecepatan angin diasumsikan konstan, maka w sehingga
diperoleh dV t
2 2 D
x X
K F Fdx . dt
N 4.9
Hasil ini menunjukkan bahwa difusi cenderung untuk meningkatkan ragam pada laju konstan dan mengimbangi bentuk kelompok dalam pengintegralan yang
berlawanan dengan akibatnya. Jika besarnya kelompok W
direlasikan dengan ragam, maka
12
W V
. Oleh karena itu, ragam dapat diketahui dan besar
kelompok dapat diketahui pula. Kemudian dilakukan pendekatan individu dalam ukuran ruang, yaitu ukuran kelompok lebih kecil dibanding interaksi pada jarak
dan a
b . Hasil dalam kasus batasan ini memberikan konfirmasi tambahan untuk persamaan 3.49. Pengaruh bentuk tertentu ini diasosiasikan dengan kernel untuk
30 mengimbangi pengaruh difusi. Tetapi karena persamaan momen masih melibatkan
momen tinggi, maka kemungkinan pendefinisian analisis terhambat oleh jumlah tak terbatas yang jatuh kepusat. Sehingga kelompok belalang secara umum lebih
besar dari pada range interaksi individu. Pada penelitian ini, analisis persamaan non lokal untuk kelompok belalang
dibatasi cakupannya, yaitu hanya untuk pengamatan oleh Edelstein-Keshet et al. 1998 dikutip dari Mogilner A et al. 1997 dalam karikatur sederhana pada
kelompok terhadap interaksi non lokal yang dideskripsikan dan dianalisis secara rinci.
Sistem persamaan yang dikaji: ,
, , S
R S F S G S F F
t
4.10
2 2
, F
F D
w K
F F RS
GF t
x x
4.11
dalam hal ini, konvolusi K
F adalah kecepatan kelompok dengan modifikasi
bentuk kernel sebagai berikut:
2 2
2 2
exp[ ] exp[ ] .
x A
B K
x a x b
N a
b 4.12
Bentuk kernel ini dapat didekati secara lokal dengan bentuk deret Taylor sebagai berikut:
2 2
2 2
exp[ ] exp[ ]
A B
K x x
x a x b
a b
4.13
2 4
6 2
4 6
2 2
4 6
2 2
4 6
1 1
1 1
1 1
2 3
2 3
... ...
A x
x x
B x
x x
x a
a a
a b
b b
b
3 5
2 2
4 4
6 6
1 2
+... A
B A
B A
B x
x x
a b
a b
a b
4.14 Sehingga konvolusi untuk pendekatan individu menjadi
v K
F K x
x F x dx 4.15
31
3 2
2 4
4
x
A B
A B
v x
x F x dx x
x F x dx
a b
a b
5 6
6
1 ....
2
A B
x x
F x dx a
b 4.16
Sehingga dari persamaan 4.16 diperoleh lihat lampiran 4
2 3
2 3
2 2
4 4
3 3
. F
A B
A B
v x
X N
x x X
x V X
N a
b a
b N
4.17 Dalam penelitian ini dilakukan pendekatan individu, yaitu dengan cara
mengabaikan
3
F dan momen sebaran yang tinggi. Pendekatan ini
mendeskripsikan orde perilaku dari pusat massa dan ragam. Pendeskripsian tersebut mengandung arti bahwa pusat massa bergerak
menurut kecepatan angin. Hal ini menunjukkan bahwa bentuk orde tinggi pada kernel dapat hilang. Bentuk kelompok tidak memberi kontribusi terhadap gerakan
kelompok, tetapi hanya gerakan internal dalam kelompok. Sehingga pusat massa menjadi
1 d X
w K
F Fdx dt
N 1
d X w
K F
dx dt
N d X
w dt
dX w .
dt 4.18
Sehingga ragam dari persamaan 4.9 dapat disederhanakan menjadi lihat lampiran 5
2 2
dV 0 B
A 2 D
2 NV
. dt
b a
4.19
32 Ragam diharapkan stabil sehingga dapat dilakukan pendekatan sebagai
berikut:
2 2
B A
2 D 2
NV b
a
2 2
B A
2 NV
2 D b
a x
2 2
D V
. B
A N
b a
4.20
Hasil di atas menggambarkan bahwa besarnya kelompok mengarah ke perkiraan orde dalam bentuk
12 1 2
1 2 1 2
2 2
B A
W V
D N
, b
a 4.21
sehingga hasilnya mendukung perluasan gangguan ketika difusi bernilai kecil, yaitu D
. Hal ini menunjukkan bahwa interaksi dalam range yang panjang
dapat memberi kontribusi terhadap kepaduan kelompok, tetapi mempunyai keterbatasan untuk menjaga hilangnya individu dalam kelompok.
4.2 Nilai-Nilai Parameter untuk Model V
