Kisi-Kisi Instrumen Kemampuan Menyelesaikan Masalah Jarak dan Sudut

1. Kisi-Kisi Instrumen Kemampuan Menyelesaikan Masalah Jarak dan Sudut

a. Penjabaran Indikator Soal Pretest dan Posttest

Jenis Tes

: Uraian

Mata Pelajaran: Matematika Kelas

:X

Jumlah Soal : 5 Butir Ruang Lingkup: Geometri

Nomor Item

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian KD

4.13.Menggunakan

3 berbagai prinsip

4.13.1 Menggunakan berbagai prinsip bangun

datar dan ruang dalam menyelesaikan bangun datar dan

masalah nyata berkaitan dengan jarak ruang serta dalam

antara titik dan bidang.

menyelesaikan

1 masalah nyata

4.13.2 Menggunakan berbagai prinsip bangun

datar dan ruang dalam menyelesaikan berkaitan dengan

masalah nyata berkaitan dengan jarak jarak dan sudut

antara garis dan bidang.

antara titik, garis

2 dan bidang.

4.13.3 Menggunakan berbagai prinsip bangun

datar dan ruang dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak antara dua bidang.

4 datar dan ruang dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan sudut antara garis dan bidang.

4.13.4 Menggunakan berbagai prinsip bangun

5 datar dan ruang dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan sudut antara dua bidang.

4.13.5 Menggunakan berbagai prinsip bangun 4.13.5 Menggunakan berbagai prinsip bangun

PRETEST KEMAMPUAN MENYELESAIKAN MASALAH

GEOMETRI Jenis Tes

: Uraian

Mata Pelajaran: Matematika Kelas

:X

Jumlah Soal : 5 Butir Ruang Lingkup: Geometri Alokasi Waktu : 35 menit

Petunjuk

a. Isilah identitas Anda pada lembar jawaban yang telah disediakan.

b. Bacalah soal berikut ini dengan teliti.

c. Tulislah jawaban Anda dengan runtut, benar, dan jelas pada lembar

jawaban yang telah disediakan.

Soal

1. Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar tersebut merupakan gambar prisma tegak ABC.DEF dengan bidang BCFE berupa bidang persegi yang panjang sisinya 5 cm. AC = (p + 5) cm dan DE = 13 cm. Berapa nilai p dan jarak antara FC dan bidang ABED?

2. Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar tersebut merupakan ilustrasi suatu ruangan studio yang berbentuk kubus dengan panjang rusuk 4 m. Pada ruangan tersebut, terdapat dua sekat isometris berbentuk persegi panjang, yakni KLMN dan K’L’M’N’ yang dipasang seperti pada gambar. D(KN, CG) = d(LM, CG) = d(AE, L’M’) = d(AE, K’N’) = 1 m. Berapa meter jarak antara kedua sekat tersebut?

3. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini.

Panjang rusuk kubus tersebut adalah 8 cm. Berapa sentimeter jarak antara titik E dan bidang BDQ?

4. Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH berikut ini.

AB = 60 cm, BF = 30 cm, BC = 40 cm, titik Q merupakan titik tengah garis BC, titik P merupakan titik tengah garis KN, dan sudut antara garis PL dan bidang KBQP adalah 𝜃. Berapakah nilai dari sin 𝜃?

5. Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH berikut ini.

AB = 12 cm, BC = BF = 5 cm, dan besar sudut antara bidang BGD dan bidang BCG adalah 𝜃. Berapakah nilai dari cos 𝜃? AB = 12 cm, BC = BF = 5 cm, dan besar sudut antara bidang BGD dan bidang BCG adalah 𝜃. Berapakah nilai dari cos 𝜃?

Prisma tegak ABC.DEF dengan bidang BCFE berupa bidang persegi yang panjang sisinya 5 cm, AC = (p + 5) cm, dan DE =

13 cm.

Ditanyakan:

nilai p dan d(FC, ABED).

Penyusunan Untuk menentukan nilai p, perhatikan

3 cara

segitiga siku-siku ABC atau DEF dan penyelesaian gunakan dalil Pythagoras.

Untuk menentukan d(FC, ABED), perhatikan segitiga ABC atau DEF, lalu tentukan garis tinggi yang melalui titik C pada segitiga ABC atau melalui titik F pada segitiga DEF. Garis tinggi tersebut sama dengan jarak antara FC dan ABED karena garis tinggi tersebut terletak pada bidang yang melalui FC dan memotong bidang ABED secara tegak lurus.

Penggunaan - Menentukan nilai p.

4 cara

Perhatikan segitiga siku-siku ABC. penyelesaian

Terapkan dalil Pythagoras dengan menyubtitusikan AB = 13, BC = 5, dan AC = p + 5 sehingga diperoleh:

𝐴𝐶 = 12 (karena suatu panjang)

𝑝 + 5 = 12 sehingga diperoleh p = 7.

- Menentukan d(FC, ABED)

Perhatikan segitiga ABC berikut.

C’

CC’ adalah jarak antara garis FC dan bidang ABED karena CC’ terletak pada bidang yang memuat FC dan memotong ABED secara tegak lurus. Salah satu cara menentukan panjang CC’ adalah dengan penerapan prinsip luas segitiga.

L ABC =L AC’C +L C’BC

Penentuan Jadi, p = 7 cm dan d(FC, ABED) = 60 cm.

Jumlah Skor No. 1

- Ruangan berbentuk kubus dengan

panjang rusuk 4 m. - KLMN dan K’L’M’N’ merupakan sekat berbentuk persegi panjang, isometris (berukuran

dan saling berhadapan/sejajar di dalam ruangan tersebut.

sama),

- d(NK, CG) = d(ML, CG) = d(AE, M’L’) = d(AE, K’N’) = 1 m.

Ditanyakan:

d(KLMN, K’L’M’N’).

Penyusunan Pilih salah satu garis yang terletak pada

3 cara

suatu bidang yang memotong bidang penyelesaian KLMN dan bidang K’L’M’N’ secara tegak lurus, yakni NN’ pada bidang K’KNN’. Berdasarkan hal tersebut, NN’ merupakan jarak antara bidang KLMN dan bidang K’L’M’N’. Tentukan panjang NN’ dengan memandang bidang EFGH.

Penggunaan Perhatikan bidang EFGH.

4 cara penyelesaian

H N’

E F HN = HN’ = EG – 1 = 4 – 1 = 3 m. NN’ = √𝐻𝑁 2 + 𝐻𝑁′ 2 = √3 2 +3 2 = 3√2.

Penentuan Jadi, jarak antara bidang KLMN dan

2 solusi

bidang K’L’M’N’ adalah 3√2 m.

Jumlah Skor No. 2

- Kubus ABCD.EFGH dengan panjang

rusuk 8 cm. - Q titik tengah CG. - CQ = GQ = 4 cm.

Ditanyakan:

d(E, BDQ).

Penyusunan - Perhatikan bidang ACGE.

3 cara

E G penyelesaian

- Perhatikan segitiga EPQ, di mana P

merupakan titik tengah AC - d(E, BDQ) = tinggi segitiga EPC dengan

alas PQ. - Untuk menentukan d(E, BDQ), dapat menggunakan prinsip luas segitiga atau dengan menerapkan dalil Pythagoras.

- Prinsip luas segitiga:

Jika luas segitiga EPQ dan panjang PQ diketahui, maka tinggi segitiga tersebut dapat ditentukan.

- Penerapan dalil Pythagoras:

Jika EPQ adalah segitiga siku-siku di titik P dengan panjang AP dan AE diketahui, maka EP dapat ditentukan dan merupakan d(E, BDQ).

Cara A: Apabila d(H, BDQ) diperhatikan sebagai tinggi segitiga EPC dengan alas PQ

(dimisalkan t), maka t = 2× , di

L EPQ =L ACGE –L PCQ –L EGQ –L EAP

Sehingga t = 2×

Cara B: Membuktikan bahwa segitiga EPQ

merupakan segitiga siku-siku di titik P sehingga d(H, BDQ) = EP =

Penentuan Jadi, jarak antara titik E dan bidang BDQ

adalah 4√6 cm.

Jumlah Skor No. 3

- Balok ABCD.EFGH - AB = 60 cm, BF = 30 cm, BC = 40 cm,

titik Q merupakan titik tengah garis BC, titik P merupakan titik tengah garis KN, dan sudut antara garis PL dan bidang KBQP adalah 𝜃

Ditanyakan:

sin 𝜃.

Penyusunan Untuk menentukan sin 𝜃, dapat

3 cara

memandang segitiga siku-siku BLP. penyelesaian

Berdasarkan segitiga tersebut, sin 𝜃= di

mana BL =

2 × 𝐵𝐹 = 15 cm dan PB merupakan diagonal bidang KBQP.

Panjang PB dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras berdasarkan segitiga siku-siku PLB, di mana 𝑃𝐵 =

Panjang PL dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Pyhtagoras berdasarkan segitiga siku-siku PKL, di mana PL =

4 cara penyelesaian PL = √𝑃𝐾 2 + 𝐾𝐿 2 = √20 2 + 60 2 =

Penggunaan Menentukan panjang PL:

√4000 = 20√10 cm. Menentukan panjang PB:

Perhatikan segitiga siku-siku PLB.

Jadi, diperoleh bahwa

Jumlah Skor No. 4

- Balok ABCD.EFGH. - AB = 12 cm, BC = BF = 5 cm. - ( BGD, BCG) = 𝜃

Ditanyakan: sin 𝜃.

Penyusunan sin

3 cara

dapat

ditentukan dengan

memperhatikan limas segitiga D.BCG penyelesaian berikut ini.

D’

Andaikan titik D’ adalah proyeksi titik D

pada garis BG, maka sin 𝜃= .

Penggunaan Menentukan D’D.

4 cara

penyelesaian D’D = √𝐺𝐷 2 − 𝐷′𝐺 2 .

CD = 12 cm dan GC = 5 cm sehingga GD = √𝐶𝐷 2 + 𝐺𝐶 2 = √12 2 +5 2 = 13 cm

√5 2 +5 2 = 5√2 cm. 2 Selanjutnya diperoleh:

D’D = √13 2 −( ) = 2 √169 − 2 =

2 Jadi, diperoleh solusi bahwa sin 𝜃= . solusi

Jumlah Skor No. 5

10 Total Skor

d. Instrumen Posttest Kemampuan Menyelesaikan Masalah POSTTEST KEMAMPUAN MENYELESAIKAN MASALAH

GEOMETRI Jenis Tes

: Uraian

Mata Pelajaran: Matematika Kelas

:X

Jumlah Soal : 5 Butir Ruang Lingkup: Geometri Alokasi Waktu : 35 menit

Petunjuk

a. Isilah identitas Anda pada lembar jawaban yang telah disediakan.

b. Bacalah soal berikut ini dengan teliti.

c. Tulislah jawaban Anda dengan runtut, benar, dan jelas pada lembar

jawaban yang telah disediakan.

Soal

1. Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar tersebut merupakan gambar prisma tegak ABC.DEF dengan bidang BCFE berupa bidang persegi yang panjang sisinya p cm. AC = (p + 7) cm dan DE = 13 cm. Berapa nilai p dan jarak antara FC dan bidang ABED?

2. Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar tersebut merupakan ilustrasi suatu ruangan studio yang berbentuk kubus dengan panjang rusuk 4 m. Pada ruangan tersebut, terdapat dua sekat isometris berbentuk persegi panjang, yakni KLMN dan K’L’M’N’ yang dipasang seperti pada gambar. D(KN, CG) = d(LM, CG) = d(AE, L’M’) = d(AE, K’N’) = 1 m. Berapa meter jarak antara kedua sekat tersebut?

3. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini.

Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm. Berapa sentimeter jarak antara titik E dan bidang BDQ?

4. Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH berikut ini.

AB = 60 cm, BF = 30 cm, BC = 40 cm, titik Q merupakan titik tengah garis BC, titik P merupakan titik tengah garis KN, dan sudut antara garis PL dan bidang KBQP adalah 𝜃. Berapa nilai dari cos 𝜃?

5. Perhatikan gambar balok ABCD.EFGH berikut ini.

B AB = 12 cm, BC = BF = 5 cm, dan besar sudut antara bidang BGD dan

bidang BCG adalah 𝜃. Berapakah nilai dari sin 𝜃? bidang BCG adalah 𝜃. Berapakah nilai dari sin 𝜃?

Prisma tegak ABC.DEF dengan bidang BCFE berupa bidang persegi yang panjang sisinya p cm, AC = (p + 7) cm, dan DE =

13 cm.

Ditanyakan:

nilai p dan d(FC, ABED).

3 cara

Penyusunan Untuk menentukan nilai p, perhatikan

segitiga siku-siku ABC atau DEF dan penyelesaian gunakan dalil Pythagoras.

Untuk menentukan d(FC, ABED), perhatikan segitiga ABC atau DEF, lalu tentukan garis tinggi yang melalui titik C pada segitiga ABC atau melalui titik F pada segitiga DEF. Garis tinggi tersebut sama dengan jarak antara FC dan ABED karena garis tinggi tersebut terletak pada bidang yang melalui FC dan memotong bidang ABED secara tegak lurus.

Penggunaan - Menentukan nilai p.

4 cara

Perhatikan segitiga siku-siku ABC. penyelesaian

Terapkan dalil Pythagoras dengan menyubtitusikan AB = 13, BC = p, dan AC = p + 7 sehingga diperoleh:

Dipilih p = 5 (positif) karena p adalah suatu ukuran panjang.

- Menentukan d(FC, ABED)

Perhatikan segitiga ABC berikut.

C’

Subtitusi nilai p = 5 pada BC dan AC sehingga diperoleh BC = 5 cm dan AC =

12 cm. CC’ adalah jarak antara garis FC dan

bidang ABED karena CC’ terletak pada bidang yang memuat FC dan memotong ABED secara tegak lurus.

Salah satu cara menentukan panjang CC’ adalah dengan penerapan prinsip luas segitiga.

L ABC =L AC’C +L C’BC

Jadi, p = 5 cm dan d(FC, ABED) = cm.

Jumlah Skor No. 1

- Ruangan berbentuk kubus dengan

panjang rusuk 4 m. - KLMN dan K’L’M’N’ merupakan sekat berbentuk persegi panjang, isometris (berukuran

dan saling berhadapan/sejajar di dalam ruangan tersebut.

sama),

- d(NK, CG) = d(ML, CG) = d(AE, M’L’) = d(AE, K’N’) = 1 m.

Ditanyakan:

d(KLMN, K’L’M’N’).

Penyusunan Pilih salah satu garis yang terletak pada

3 cara

suatu bidang yang memotong bidang penyelesaian KLMN dan bidang K’L’M’N’ secara tegak lurus, yakni NN’ pada bidang K’KNN’.

Berdasarkan hal tersebut, NN’ merupakan jarak antara bidang KLMN dan bidang

K’L’M’N’. Tentukan panjang NN’ dengan memandang bidang EFGH.

Penggunaan Perhatikan bidang EFGH.

4 cara penyelesaian

H N’

E F HN = HN’ = EG – 1 = 4 – 1 = 3 m. NN’ = √𝐻𝑁 2 + 𝐻𝑁′ 2 = √3 2 +3 2 = 3√2.

Penentuan Jadi, jarak antara bidang KLMN dan

2 solusi

bidang K’L’M’N’ adalah 3√2 m.

Jumlah Skor No. 2

- Kubus ABCD.EFGH dengan panjang

rusuk 12 cm. - Q titik tengah CG. - CQ = GQ = 6 cm.

Ditanyakan:

d(E, BDQ).

Penyusunan - Perhatikan bidang ACGE.

3 cara

E G penyelesaian

- Perhatikan segitiga EPQ, di mana P

merupakan titik tengah AC - d(E, BDQ) = tinggi segitiga EPC dengan

alas PQ. - Untuk menentukan d(E, BDQ), dapat menggunakan prinsip luas segitiga atau dengan menerapkan dalil Pythagoras.

- Prinsip luas segitiga:

Jika luas segitiga EPQ dan panjang PQ diketahui, maka tinggi segitiga tersebut dapat ditentukan.

- Penerapan dalil Pythagoras:

Jika EPQ adalah segitiga siku-siku di titik P dengan panjang AP dan AE diketahui, maka EP dapat ditentukan dan merupakan d(E, BDQ).

Cara A: Apabila d(H, BDQ) diperhatikan sebagai tinggi segitiga EPC dengan alas PQ

(dimisalkan t), maka t = 2× , di

L EPQ =L ACGE –L PCQ –L EGQ –L EAP

Sehingga t = 2×

Cara B: Membuktikan bahwa segitiga EPQ

merupakan segitiga siku-siku di titik P sehingga d(H, BDQ) = EP =

√𝐴𝐸 2 + 𝐴𝑃 2 = √12 2 + (6√2) 2 = √144 + 72 = √216 = 6√6. Penentuan

2 solusi

Jadi, jarak antara titik E dan bidang BDQ

adalah 6√6 cm.

Jumlah Skor No. 3

- Balok ABCD.EFGH - AB = 60 cm, BF = 30 cm, BC = 40 cm,

titik Q merupakan titik tengah garis BC, titik Q merupakan titik tengah garis BC,

Ditanyakan:

cos 𝜃.

Penyusunan Untuk menentukan sin 𝜃,dapat memandang

3 cara

segitiga siku-siku BLP. Berdasarkan penyelesaian

segitiga tersebut, cos 𝜃=

di mana BL =

1 × 𝐵𝐹 = 15 cm dan PB merupakan

2 diagonal bidang KBQP. Panjang PB dapat

ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras berdasarkan segitiga siku-siku

PLB, di mana 𝑃𝐵 = √𝑃𝐿 2 + 𝐵𝐿 2 . Panjang PL dapat ditentukan dengan

menggunakan dalil Pyhtagoras berdasarkan segitiga siku-siku PKL, di mana PL =

4 cara penyelesaian PL = √𝑃𝐾 2 + 𝐾𝐿 2 = √20 2 + 60 2 =

Penggunaan Menentukan panjang PL:

√4000 = 20√10 cm. Menentukan panjang PB: Perhatikan segitiga siku-siku PLB.

Jadi, diperoleh bahwa

Jumlah Skor No. 4

- Balok ABCD.EFGH. - AB = 12 cm, BC = BF = 5 cm. - ( BGD, BCG) = 𝜃

Ditanyakan: sin 𝜃.

Penyusunan sin

3 cara

dapat

ditentukan dengan

memperhatikan limas segitiga D.BCG penyelesaian berikut ini.

C 𝜃 D’

G Andaikan titik D’ adalah proyeksi titik D

pada garis BG, maka sin 𝜃= .

Penggunaan Menentukan D’D.

4 cara

penyelesaian D’D = √𝐺𝐷 2 − 𝐷′𝐺 2 .

CD = 12 cm dan GC = 5 cm sehingga GD = √𝐶𝐷 2 + 𝐺𝐶 2 = √12 2 +5 2 = 13 cm

√5 2 +5 2 = 5√2 cm. 2 Selanjutnya diperoleh:

D’D = √13 2 −( ) = 2 √169 − 2 =

2 Jadi, diperoleh solusi bahwa sin 𝜃= . solusi

Jumlah Skor No. 5

10 Total Skor