Proyeksi Titik dan Garis pada Bidang

D.1 Proyeksi Titik dan Garis pada Bidang

D.1.1. Proyeksi Titik pada Bidang

Proyeksi titik P ke bidang H adalah titik kaki garis tegak lurus yang ditarik dari titik P ke bidang H. Perhatikan gambar berikut.

P’

Gambar 1. Proyeksi Titik pada Bidang

Keterangan: 

H disebut bidang proyeksi  P disebut titik yang diproyeksikan

 P’ adalah proyeksi titik P  Ruas garis PP ' disebut garis proyeksi

D.1.2. Proyeksi Garis pada Bidang

Proyeksi garis m pada bidang H dapat diilustrasikan sebagai berikut.

A’ n

B’

Gambar 2. Proyeksi Garis pada Bidang

Apabila A dan B merupakan sebarang titik pada garis m, maka proyeksi garis m pada bidang H adalah garis n yang Apabila A dan B merupakan sebarang titik pada garis m, maka proyeksi garis m pada bidang H adalah garis n yang

B pada bidang H.

D.2 Jarak Titik, Garis, dan Bidang

Pengertian jarak dalam kehidupan sehari-hari berbeda dengan pengertian jarak dalam ilmu geometri. Istilah jarak dalam kehidupan sehari-hari dapat diartikan sebagai panjang lintasan atau jalan antara dua objek/tempat. Sedangkan di dalam geometri, istilah jarak merujuk pada panjang suatu ruas garis terpendek yang menghubungkan dua bangun geometri. Perhatikanlah dua bangun geometri berikut ini.

Gambar 3. Ilustrasi Jarak Dua Bangun Geometri

Terdapat tak berhingga titik pada masing-masing bangun geometri tersebut. Jika jarak antara dua titik didefinisikan sebagai ukuran ruas garis yang menghubungkan titik pada objek A dan titik pada objek B,

misalnya d 1 , d 2 , d 3 , …, di mana d 2 adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan dua objek tersebut, maka d 2 adalah jarak antara objek

A dan B.

a. Jarak antara dua titik, yaitu panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik. Misalnya, jarak antara titik A dan B adalah AB.

b. Jarak antara suatu titik dan suatu garis, yaitu jarak titik ke proyeksinya pada garis tersebut. Misalnya, A’ adalah proyeksi titik

A pada garis h, maka jarak antara titik A dan garis h adalah AA’.

c. Jarak antara suatu titik dan suatu bidang, yaitu jarak titik ke proyeksinya pada bidang tersebut. Misalnya, B adalah proyeksi titik A pada bidang β, maka jarak antara titik A dan bidang β adalah

AB.

d. Jarak antara suatu garis dan suatu garis lainnya:

1) Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak.

2) Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis penghubung yang tegak lurus pada kedua garis tersebut.

Gambar 4. Dua Garis Sejajar

Misalnya, g dan h adalah dua garis yang saling sejajar, A adalah suatu titik di garis g, dan B adalah proyeksi titik A pada garis h, maka jarak kedua garis sejajar tersebut adalah AB. Ruas garis AB tersebut tegak lurus terhadap garis g dan garis h.

e. Jarak antara suatu garis dan suatu bidang:

1) Suatu garis yang menembus bidang tidak memiliki jarak.

2) Suatu garis yang sejajar dengan suatu bidang memiliki jarak.

Gambar 5. Garis g dan Bidang H

Misalnya, garis g sejajar dengan bidang H, A adalah suatu titik pada garis g, dan B adalah proyeksi titik A pada bidang H, maka jarak antara garis g dan bidang H adalah AB. Ruas garis AB tersebut tegak lurus terhadap garis g dan bidang H, sehingga ruas garis AB tegak lurus terhadap setiap garis pada bidang H.

f. Jarak antara dua bidang:

1) Dua bidang yang tidak saling sejajar atau bersilangan tidak memiliki jarak.

2) Jarak dua bidang yang sejajar adalah panjang ruas garis penghubung yang tegak lurus pada kedua bidang tersebut.

Gambar 6. Dua Bidang Sejajar

Misalnya, G dan H merupakan dua bidang yang saling sejajar, A suatu titik pada G, dan B merupakan proyeksi titik A pada bidang

H, maka jarak kedua bidang tersebut adalah AB. Ruas garis AB tersebut tegak lurus terhadap bidang G dan H.

D.3 . Jarak pada Bangun Ruang

Berikut ini gambar kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk p cm.

Gambar 7. Kubus ABCD.EFGH

Jarak antara titik, garis, dan bidang pada bangun tersebut dapat disajikan pada tabel berikut ini.

Tabel 1. Jarak pada Kubus ABCD.EFGH

No. Klasifikasi

Panjang Keterangan Jarak

Contoh Jarak

1. Jarak antara d(A, B), d(A, D),

Rusuk Kubus dua titik

p cm

dan d(D, H) d(A, C), d(B, D), dan p √2 cm Diagonal Bidang d(C, F)

Sisi Kubus

d(A, G), d(B, H),

p √3 cm Diagonal Ruang

dan d(C, E)

Kubus

Rusuk Kubus titik ke

2. Jarak suatu d(A, BC), d(B, CD),

p cm

dan d(C, AD)

suatu garis d(B, AC), d(F, EG),

√2 cm 1 × Diagonal

dan d(H, EG)

Bidang Sisi Kubus

d(A, CE), d(G, CE),

2 √3 cm

1 × Diagonal

dan d(C, BH)

2 Ruang Kubus

3. Jarak suatu d(A, BCGF), d(A,

Rusuk Kubus titik ke

p cm

CDHG), dan d(A,

d(B, ACGE), d(D,

2 √2 cm

2 × Diagonal Bidang Sisi

ACGE), dan d(F,