Secara logika sebenarnya relasi ini sudah diketahui sebelum Litle menurunkannya. Relasi ini berlaku umum untuk semua tipe antrian.
3.7 SISTEM ANTRIAN MM1
System antrian MM1 adalah system antrian dengan tipe server tunggal, pola kedatangan Poisson, distribusi waktu pelayanan eksponensial dan tingkat pelayanan
rata-rata pelanggandetik.
Gambar 3.2 Diagram transisi keadaan system antrian MM1 Proses kedatangan :
P terjadinya 1 kedatangan dalam [t,t + t] = 3.4
P tidak ada kedatangan dalam [t,t + t] = 1 - t 3.5
Proses pelayanan : P 1 pelayanan selesai dalam [t,t + t] =
3.6 P tidak ada pelayanan selesai dalam [t,t + t] = 1 - t 3.7
Didefenisikan : Pnt = P jumlah kedatangan = n pada waktu t
Pij t ialah probabilitas berubahnya dari i kedatangan ke j kedatangan
dalam interval t detik. Pnt+ t = PntPn,n t+Pn-
I
t Pn-
I,
n t+ Pn
+I
t Pn
+I,
n t 3.8 1
2 n
n-1
N+1
...
54
Persamaan ini menyatakan keadaan dengan n pelanggan saat t+ t dapat terjadi dari n-1,n atau n+1 pelanggan pada waktu t.
Untuk keadaan 0n=0 terdapat tersamaan khusus : Pot+ t = Pot
Po,o
t+P
1
,
o
t 3.9
Jika persamaan 3.4,3.5,3.6,3.7 disubtitusikan ke persamaan 3.8 dan 3.9 dan bentuk t dengan orde lebih tinggi diabaikan diperoleh :
Pnt+ t = Pnt1- t1- t+Pn-
1
t t+Pn
+1
t t Pnt+ t = Pot1- t+P
1
t t Dari persamaan-persamaan diatas dapat dicari probabilitas terdapat n paket
dalam system pada keadaan mantap :
dt t
dPn = - + Pnt+ Pn-
1
t+ Pn
+1
t ,n =1
3.10
dt t
dPo = - Pot+ P
1
t 3.11
dt t
dPn = 0, maka probabilitas keadaan stasioner Pn dari antrian MM1
adalah ; + Pn = Pn-
1
+ Pn
+1 ,
n ≥1
3.12 Po = P
1
3.13
Gambar 3.3 Diagram keseimbangan antrian MM1 1
2 n
n-1
N+1
...
55
Untuk mencari solusi probabilitas kesetimbangan untuk system antrian MM1 dapat digunakan argumentasi seimbang. Misal pada gambar 3.5 adalah
diagram kondisi antrian dengan dua kondisi yang berdekatan yaitu n dan n+1. Maka fluks kondisi yang memasuki n adalah Pn
+1
dan fluks yang meninggalkan adalah pn.
Dengan prinsip kesetimbangan diperoleh : Pn = Pn
+1
3.14 Dengan melakukan pengulangan berkali-kali dan p = didapat solusi
untuk Pn : Pn
=
v
Po 3.15
Untuk mencari Po digunakan sifat probabilitas
∑
nPn
= 1, diperoleh Po = 1- , jika 1 dan antrian tak terbatas, sehingga solusi probabilitas keadaan kesetimbangan
untuk antrian MM1 : P = 1-
v
3.16 Beberapa besaran yang dapat dihitung berdasarkan probabilitas keadaan
kesetimbangan yang telah diketahui : 1. Throughput system atau jumlah pelanggan yang dilayani per detik 0. Untuk
server tunggal tingkat pelayanan rata-rata adalah , jika antrian selalu tidak kosong. Dalam kenyataannya, antrian kadang-kadang kosong, dengan
probabilitas Po, maka tingkat pelayanan kurang dari . Jadi = 1-Po, karena 1-Po adalah probabilitas bahwa antrian tidak kosong. Jika tidak ada
bloking maka = dan = 1-Po. 2. Jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian termasuk yang sedang dilayani
n atau En: En = n =
∑
=
=
n
nPn 1-
56
3. Delay waktu waktu melewati antrian termasuk waktu tunggu dan waktu pelayanan atau waktu tranmisi . Dari rumus Little diperoleh :
4. Jumlah pelanggan rata-rata yang menunggu dalam antrian n
Q
:
n
Q
=
Q
n =
Gambar 3.5 Rumus Little pada antrian MM1 Diketahui dalam antrian server tunggal terdapat hubungan antara waktu
tunggu rata-rata
Q
dan delay rata-rata untuk melewati antrian. =
Q
+ 1 , maka n
Q
=
Q
= – = n –
3.8 SISTEM ANTRIAN MG1
