Persamaan Atur Aliran Fluida Governing Equation

dihasilkan sebaiknya dibulatkan kebawah supaya pitch sudu yang dihasilkan sama dengan 1 sampai 1,2 pitch yang diberikan Briling. Lebar sisi keluar sudu a b : a b = t.sin β 2 – t 2 mm Pers. 2.39 Dimana, t 2 adalah tebal sudu pada sisi keluar Radius belakang sudu r :     − −     − − − = 2 180 sin 2 sin . 2 1 2 1 β β β β t a R r b mm Pers. 2.40 Persamaan radius belakang sudu tersebut berlaku jika tebal sudu pada sisi masuk dan tebal sudu pada sisi keluar adalah sama.

2.5 Model Matematis

Pada bagian ini akan dipaparkan persamaan – persamaan yang digunakan dalam simulasi sebagai bentuk pendekatan secara numerik, serta beberapa asumsi tentang aliran yang berlaku di dalamnya.

2.5.1 Persamaan Atur Aliran Fluida Governing Equation

Model persamaan atur aliran fluida menggambarkan pernyataan matematis dari hukum konservasi fisik, yang terdiri dari : a Konservasi massa persamaan kontinuitas b Konservasi momentum, laju perubahan momentum sama dengan penjumlahan gaya – gaya pada partikel fluida Hukum Newton II c Konservasi energi, laju perubahan energi sama dengan laju penambahan panas pada fluida dan laju dari kerja yang dilakukan pada partikel fluida Hukum I Termodinamika Fluida dapat dianggap sebagai kontinum, artinya analisis aliran pada skala makroskopik m µ 1 ≥ struktur molekular dari bahan dan gerakan molekular dapat diabaikan. Perilaku fluida digambarkan dalam properti makroskopik seperti kecepatan, tekanan, massa jenis dan temperatur pada ruang dan waktu. Hal ini dapat dibayangkan sebagai rata – rata dari sejumlah tertentu molekul – molekul fluida. Oleh karena itu, dapat didefinisikan elemen fluida terkecil yaitu elemen fluida dimana properti makroskopiknya tidak dipengaruhi molekul individualnya. Universitas Sumatera Utara Pada analisa ini aliran fluida diasumsikan dalam kondisi steady – state, aliran kompresibel, dan bentuk aliran turbulen. Sehingga dapat dituliskan bentuk persamaannya sebagai berikut : 1 Persamaan konservasi massa Konsep utama dalam persamaan konservasi massa adalah keseimbangan massa elemen fluida. Bentuk penyelesaian persamaan dalam bidang dua dimensi 2-D untuk kondisi steady – state dapat ditulis : = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u ρ ρ Pers. 2.41 Atau dalam notasi tensor, persamaan dapat ditulis : = ∂ ∂ i i u x ρ Pers. 2.42 Dimana i x , i = 1,2,3 bentuk referensi searah dengan sumbu x, y, z. 2 Persamaan konservasi momentum Didalam Hukum II Newton menyatakan bahwa laju perubahan momentum dari partikel sama dengan gaya – gaya pada partikel, secara matematis dapat ditulis : x x ma F = Σ Pers. 2.43 Dimana F x dan a x adalah resultan gaya yang bekerja searah sumbu – x. Untuk bidang 2-D, laju peningkatan momentum per-unit volume fluida dapat dinyatakan dalam arah x, dan y, dapat ditulis : Dt Du ρ , dan Dt Dv ρ Pers. 2.44 Sedangkan gaya yang bekerja dibagi ke dalam dua jenis, yaitu : d Surface force : pressure force, viscous force e Body force : gravity force, centrifugal force, electromagnetic force Dalam bentuk konservasi dapat ditulis : Arah x : x yx xx f y x x p Dt Du ρ τ σ ρ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = Pers. 2.45 Universitas Sumatera Utara Arah y : y yy xy f y x y p Dt Dv ρ σ τ ρ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = Pers. 2.46 Atau dalam notasi tensor, persamaan dapat ditulis : [ ] = − + ∂ ∂ ij ij j i j p u u x τ δ ρ Pers. 2.47 Dimana i, j, k = 1, 2, 3 bentuk referensi searah sumbu x, y, z Pada analisa ini, di asumsikan bahwa fluida yang bekerja adalah fluida Newton Newtonian fluids. Menurut Hukum Stokes untuk gas monoatomik, besaran viskositas yaitu : 2 ij ij S µ τ = Pers. 2.48 Dengan demikian, besaran viskositas dapat didefinisikan : ij k k xi j xj i ij x u u u S δ ∂ ∂ −     ∂ ∂ + ∂ ∂ = 3 1 2 1 Pers. 2.49 Sehingga persamaan laju perubahan momentum dapat ditulis dalam bentuk notasi tensor, sebagai berikut : x k k ij i j j i j i j j i f x u x u x u x x p x u u ρ µ δ µ ρ +         ∂ ∂ −     ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ 3 2 Pers. 2.50 Dimana i, j, k = 1, 2, 3 bentuk referensi searah sumbu x, y, z. Persamaan ini dikenal sebagai Persamaan Navier – Stokes. 3 Persamaan konservasi energi Bentuk persamaan energi diturunkan dari Hukum I Termodinamika yang menyatakan bahwa, laju perubahan energi dari partikel fluida sama dengan laju penambahan panas ke partikel fluida ditambah laju kerja yang dilakukan terhadap partikel fluida, secara matematis dapat ditulis : • • • + = W Q E Pers. 2.51 Universitas Sumatera Utara Dimana, • E adalah energi pada partikel fluida; • Q adalah laju penambahan panas heat flux; dan • W adalah laju kerja yang dilakukan. Persamaan laju kerja total yang dilakukan terhadap partikel fluida • W dapat ditulis sebagai berikut : V V f v u y v u x pV W yy yx xy xx δ ρ σ τ τ σ     + + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∇ − = . . . Pers. 2.52 Persamaan laju penambahan panas • Q searah sumbu x, y dapat ditulis : y x y q x q q Q y x δ δ ρ                   ∂ ∂ + ∂ ∂ − = . . . . Pers. 2.53 Laju penambahan panas menurut Hukum Fourier, yaitu : x T k q x ∂ ∂ − = • ; dan y T k q y ∂ ∂ − = • ; Pers. 2.54 Persamaan tersebut, merupakan laju penambahan panas searah sumbu x, y. Dalam hal ini k. adalah konduktivitas termal, sehingga Pers. 2.53 dapat ditulis : V y T k x T k x q Q δ ρ           ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + = • • Pers. 2.55 Adapun persamaan energi dalam hal ini energi kinetik per massa yaitu 2 2 V , dimana 2 2 2 v u V + = , adalah : y x V i Dt D E δ δ ρ     + = • 2 2 Pers. 2.56 Dengan menjumlahkan persamaan laju penambahan panas dan persamaan kerja fluida, maka bentuk umum persamaan energi dapat ditulis : V f v u y v u x pV y T k y x T k x q V i Dt D yy yx xy xx . . 2 2 ρ σ τ τ σ ρ ρ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∇ −     ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + =     + • Pers. 2.57 Universitas Sumatera Utara Dalam hal ini, fluida yang bekerja adalah fluida Newtonia dan memiliki besaran viskositas dan faktor fungsi kehilangan energi Φ , sehingga bentuk persamaan konservasi energi dapat ditulis : = ∂ ∂ + ∂ ∂ y vi x ui ρ ρ Φ + ∇ − +     ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ • V p q y T k y x T k x . . ρ Pers. 2.58 Dimana, fungsi kehilangan energi Φ dapat ditulis dalam persamaan :             ∂ ∂ + ∂ ∂ +     ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ = Φ 2 2 2 2 2 2 x v y u y v x u y v x u µ µ Pers. 2.59 Selanjutnya, dengan mensubtitusikan besaran energi dalam cT i = , dimana c adalah panas jeniskapasitas panas fluida. Maka persamaan dapat ditulis : = ∂ ∂ + ∂ ∂ y cvT x cuT ρ ρ Φ + ∇ − +     ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ • V p q y T k y x T k x . . ρ Pers. 2.60 Dan dalam bentuk notasi tensor, persamaan energi dapat ditulis : = ∂ ∂ i x cT ρ Φ + + ∂ ∂ −     ∂ ∂ ∂ ∂ • q x u p x T k x i i i i ρ Pers. 2.61 Dimana, i, j, k = 1, 2, 3 bentuk referensi searah sumbu x, y, z. Dengan beberapa asumsi yang disajikan, bentuk persamaan energi dapat disederhanakan lagi. Misalnya, jika massa jenis konstan atau aliran inkompresibel maka bentuk i i x u p ∂ ∂ sama dengan nol. Selanjutnya, jika viskositas diabaikan, maka bentuk Φ dapat dihilangkan dari persamaan. Dan jika panas yang bekerja di dalam elemen adalah nol, maka dapat dihilangkan juga. 4 Persamaan aliran turbulen Dalam aplikasinya tidak mungkin hanya menggunakan persamaan dasar dalam menyelesaikan analisa ini. Karena bilangan Reynolds berpengaruh terhadap turbin, maka persamaan aliran turbulen digunakan dalam penyelesaian analisa ini. Dari bentuk fungsi Φ sebagai bentuk variabel yang bergantung pada jenis aliran yang bekerja. Maka dapat didefinisikan dalam dua tipe perbedaan kesetimbangan dari Φ , yaitu : Universitas Sumatera Utara a Kesetimbangan menurut waktu kesetimbangan Reynolds dt t T T ∫ Φ = Φ 1 ; Φ − Φ = Φ Pers. 2.62 b Kesetimbangan massa jenis ρ ρΦ = Φ ~ ; Φ − Φ = Φ ~ Pers. 2.63 Dengan catatan bahwa definisi = Φ , tetapi ≠ Φ . Berdasarkan persamaan pembentukan aliran pada persamaan massa, momentum dan energi berlaku kesetimbangan waktu. Dengan memasukkan u i dan e sebagai bentuk lain dari kesetimbangan massa jenis Pers. 2.63 serta ρ dan p sebagai bentuk lain dari kesetimbangan waktu Pers. 2.62, maka bentuk persamaan matematisnya adalah : [ ] ~ = ∂ ∂ + ∂ ∂ i i u x t ρ ρ Pers. 2.64 [ ] ~ ~ ~ = − + + ∂ ∂ + ∂ ∂ ij j i ij j i j i u u p u u x u t τ ρ δ ρ ρ Pers. 2.65 [ ] ~ ~ ~ ~ = − + + + + ∂ ∂ + ∂ ∂ ij i j j j j j j u q e u p u p u e u x e t τ ρ ρ ρ Pers. 2.66 Kesetimbangan massa jenis energi total ~ e yaitu : k u u e e k k + + = 2 ~ ~ ~ ~ Pers. 2.67 Selanjutnya, energi turbulen didefinisikan dalam bentuk : 2 ~ ~ k k u u k = Pers. 2.68 Dimana, ρ , i u~ dan ~ e adalah variabel solusi. Sebuah persamaan energi, k, yang didefinisikan dalam Pers. 2.68 dapat diperoleh dengan mengalikan persamaan momentum sederhana Pers. 2.47 dengan i u dan kesetimbangan. Dengan menyusun kembali bentuk persamaan dengan Universitas Sumatera Utara mengunakan bentuk persamaan konservasi massa maka diperoleh persamaan matematis untuk k yaitu :   =           − + − ∂ ∂ + ∂ ∂ tekanan difusi j turbulen aliran laju i i j molekul difusi i ij j j u p u u u u k u x k t 2 ~     ρ τ ρ ρ             tekanan dilatasi i i ja tekanan i i energi kehilangan j i ij production j i j i x u p x p u x u x u u u ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ker ~ τ ρ Pers. 2.69 Dalam simulasi mengenai turbin ini ada beberapa hal yang memungkinkan untuk diabaikan, seperti bentuk tekanan – tekanan difusi, tekanan kerja dan dilatasi tekanan. Sehingga dapat dilakukan pendekatan terhadap bentuk difusi molekul dan laju aliran turbulen. Hasil dari persamaan bentuk k menjadi : ρε σ µ µ ρ ρ − =         ∂ ∂     + − ∂ ∂ + ∂ ∂ P x k k u x k t j k t j j ~ Pers. 2.70 Dimana P dan ε didefinisikan dalam dalam bentuk: j i ij j i j i x u x u u u P ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ − = ~ ~ τ ρ Pers. 2.71 j i ij x u ∂ ∂ = 1 τ ρ ε Pers. 2.72 5 Model turbulensi k – epsilon k – ε Model ini merupakan model turbulensi yang cukup lengkap dengan dua persamaan yang memungkinkan yaitu kecepatan turbulen turbulent velocity dan skala panjang length scales yang ditentukan secara independen. Kestabilan, ekonomis dari sisi komputasi dan akurasi yang memadai untuk berbagai jenis aliran turbulen membuat model k – epsilon sering digunakan pada simulasi aliran fluida dan perpindahan panas. Model matematis dari persamaan k – ε yaitu : Universitas Sumatera Utara D P x k ku x k t j k t j j ρ ρε σ µ µ ρ ρ − − =         ∂ ∂     + − ∂ ∂ + ∂ ∂ Pers. 2.73 E k f C P f C x u x t j t j j ρ ε ρε ε σ µ µ ρε ρε ε ε ε + − =         ∂ ∂     + − ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 1 1 Pers. 2.74 ε ρ µ µ µ 2 k f C t = Pers. 2.75 j i ij x u P ∂ ∂ = τ Pers. 2.76 Model k – ε standar terdiri dari lima konstanta umum yaitu, C µ = 0,09 dan C ε1 = 1,44, yang diperoleh dari aliran lapisan batas, serta C ε2 = 1,92; σ k = 1,0; dan σ ε = 1,3 berdasarkan hasil eksperimen wind tunnel. Kesemuanya akan ditetapkan dalam optimasi komputer. Sedangkan fungsi damping f µ , f 1 dan f 2 , adalah sumber tambahan dari bentuk D dan E yang hanya memungkinkan digunakan pada bidang solid dibawah viskositas lapisan bawah. 6 Kesimpulan persamaan atur aliran fluida governing equations Dari ketiga bentuk persamaan konservasi yaitu massa, momentum dan energy, serta dengan beberapa asumsi yang memungkinkan terjadi didalam aliran berupa kondisi steady – state, kompresibel, aliran yang terjadi adalah turbulen dan fluida yang bekerja adalah fluida Newtonia di dalam bidang tiga dimensi, maka persamaan atur aliran dapat dituliskan sebagai berikut : - Persamaan konservasi massa kontinuitas : = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u ρ ρ Pers. 2.77 - Persamaan momentum : Momentum arah –x :     ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ x u x y vu x uu t µ µ ρ ρ =     ∂ ∂ + ∂ ∂ − y u y t µ µ     ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − x u x x p t µ µ     ∂ ∂ + ∂ ∂ + x v y t µ µ Pers. 2.78 Universitas Sumatera Utara Momentum arah –y :     ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ∂ ∂ + ∂ ∂ x v x y vv x uv t µ µ ρ ρ =     ∂ ∂ + ∂ ∂ − y v y t µ µ     ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − y u x y p t µ µ     ∂ ∂ + ∂ ∂ + x v y t µ µ Pers. 2.79 - Persamaan konservasi energi :       ∂ ∂     + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ x T k x y vT x uT k t σ µ µ ρ ρ       ∂ ∂     + ∂ ∂ − y T k y k t σ µ µ ρε − = k P Pers. 2.80 - Persamaan aliran turbulen :       ∂ ∂     + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ x x y v x u t ε σ µ µ ε ρ ε ρ ε       ∂ ∂     + ∂ ∂ − y y t ε σ µ µ ε [ ] k f c P f c k ε ρε 2 2 1 1 − = Pers. 2.81 Dari persamaan atur aliran fluida Pers. 2.77 – Pers. 2.81 maka dapat disusun dalam bentuk persamaan : = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u φ ρ φ ρ       ∂ ∂ Γ ∂ ∂ x x φ φ     ∂ ∂ Γ ∂ ∂ + y y φ φ φ S + Pers. 2.82 Dimana φ bentuk pengganti dari variabl tak bebas u, v, k dan ε. Bentuk φ Γ dan φ S berkaitan dengan koefisien difusi turbulen dan sebagai istilah untuk variabel umum φ . Kesimpulan persamaan terdapat pada Tabel 1, dan fungsi model konstanta turbulen terdapat pada Tabel 2. Selain itu, fluida yang bekerja diasumsikan sebagai gas ideal, dengan bentuk hubungan persamaan yaitu : v p C C = γ ; RT p ρ = ; T C e v = ; R C C v p = − Pers. 2.83 Dimana γ , p C , v C dan R adalah konstan. Universitas Sumatera Utara Tabel 2.1 Persamaan Konservasi Persamaan φ φ Γ φ S Massa 1 Momentum arah -x u t µ µ +     ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − x u x x p t µ µ     ∂ ∂ + ∂ ∂ + x v y t µ µ Momentum arah -y v t µ µ +     ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − y u x y p t µ µ     ∂ ∂ + ∂ ∂ + x v y t µ µ Energi kinetik turbulen k k t σ µ µ + ρε − k P Tingkat disipasi energi turbulen ε k t σ µ µ + [ ] k f c P f c k ε ρε 2 2 1 1 − Tabel 2.2 Konstanta model Konstanta C ε1 C ε2 f 1 f 2 C µ σ k σ ε E w κ Model k – ε Standar 1.44 1.92 1.0 1.0 0.09 1.0 1.3 9.0 0.4 Universitas Sumatera Utara

BAB III CFD FLUENT DAN PENDEKATAN NUMERIK

3.1 Computational Fluid Dinamycs CFD

Dalam aplikasinya, aliran fluida baik cair maupun gas adalah suatu zat yang sangat kentara dengan kehidupan sehari – hari. Misalnya pengondisian udara bagi bangunan dan mobil, pembakaran di motor bakar dan sistem propulsi, interaksi berbagai objek dengan udara atau air, aliran kompleks pada penukar panas dan reactor kimia, dan lain sebagainya, yang mana cukup menarik untuk diteliti, diselidiki dan dianalisis. Untuk kebutuhan penelitian tersebut bahkan sampai dengan tingkat desain, perlu dibutuhkan suatu alat yang mampu menganalisis atau memprediksi dengan cepat dan akurat. Maka berkembanglah suatu ilmu yang dinamakan Computational Fluid Dynamics CFD yang dalam bahasa Indonesia dikenal dengan Komputasi Aliran Fluida Dinamik.

3.1.1 Pengertian Umum CFD

Secara umum CFD terdiri dari dua kata yaitu sebagai berikut : - Computational : segala sesuatu yang berhubungan dengan matematika dan metode numerik atau komputasi - Fluid Dynamics : dinamika dari segala sesuatu yang mengalir. Ditinjau dari istilah di atas, maka CFD bisa berarti suatu teknologi komputasi yang memungkinkan untuk mempelajari dinamika dari benda – benda atau zat yang mengalir. Maka secara definisi, CFD adalah ilmu yang mempelajari cara memprediksi aliran fluida, perpindahan panas, reaksi kimia, dan fenomena lainnya dengan menyelesaikan persamaan – persamaan matematika model matematika. Pada dasarnya, persamaan – persamaan pada fluida dibangun dan dianalisis berdasarkan persamaan – persamaan diferensial parsial atau dikenal dengan istilah PDE Partial Differential Equation yang mempresentasikan hukum – hukum kekekalan massa kontinuitas, momentum dan energi yang diubah kedalam bentuk numerik persamaan linear dengan teknik diskritisasi. Universitas Sumatera Utara