Modul Pelatihan Matematika SMA
71
Gambar 7. Contoh saringan Eratosthenes untuk n=100
Kontribusi berikutnya yang penting tentang bilangan prima adalah pembuktian Euler bahwa jumlah semua kebalikan bilangan prima adalah divergen. Jadi 12 +
13 + 15 + 17 + .... menuju tak hingga.
f. Bilangan Pi
Sejarah bilangan pi
, amatlah panjang dan penting. Sejarah dimulai antara lain oleh bangsa Babilonia sekitar 4000 SM dan Mesir Papirus Ahmes atau Rhind, 1650
SM.
Gambar 8. Salah satu bagian Papirus Ahmes
Perhitungan teoritik pertama berasal dari Archimedes 287-212 SM, dengan menggunakan keliling poligon luar dan poligon dalam suatu lingkaran, ia
menemukan . Pada 1596M, Viéte menemukan bentuk deret bilangan
Kegiatan Belajar 6
72
untuk . Willebord Snell 1580-1626 menemukan nilai dengan cara
menggunakan trigonometri. John Wallis pada 1650 menggunakan deret bilangan: . Lalu tahun 1671, James Gregory 1638-1675 mendapatkan
rumus deret . Lalu Comte de Buffon 1707-1788 pada 1760
untuk pertama kali menggunakan metode peluang untuk menentukan nilai .
Irasionalitas bilangan dibuktikan pertama kali oleh Johann Lambert 1728-1777
tahun 1761. Lambang sendiri pertama kali digunakan oleh William Jones 1675-
1749 tahun 1706, dan populer lewat tangan Euler. Perhitungan dengan komputer dimulai tahun 1949 M oleh ENIAC, komputer generasi awal, di mana dalam tempo
70 jam berhasil menghitung hingga 2037 desimal. Dengan menggunakan superkomputer dan pemilihan rumus yang tepat, kini kita dapat menghitung
secara lebih cepat.
g. Logaritma
Gagasan yang mendasari penelitian logaritma yaitu prosthaphaeresis, perubahan proses pembagian dan perkalian kepada penambahan dan pengurangan. Orang
pertama yang memulai gagasan ini adalah Ibnu Yunus As-Sadafi al-Misri 950- 1009, dengan menggunakan trigonometri.
Gambar 9. John Napier
Logaritma ditemukan di awal tahun 1600 oleh John Napier 1550-1617 dan Joost Bürgi 1552-1632, walaupun banyak yang mengatakan Napier adalah perintis yang
sebenarnya. Napier menerbitkan Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio A Description of an Admirable Tabel of Logarithms tahun 1614. Bürgi
mempublikasikan Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen tahun 1620, namun penemuannya itu dari tahun 1588. Bila Napier lewat pendekatan aljabar,
maka Bürgi menggunakan pendekatan geometris. Henry Briggs 1561-1631,
Modul Pelatihan Matematika SMA
73
mendiskusikan logaritma Napier dan menyarankan metode yang dikenal sekarang, misalnya ia dapatkan bahwa log1012 = log3,1622277 = 0,500000. Karyanya
berjudul Arithmetica Logarithmica tahun 1624 berisi logaritma bilangan asli 1- 20000 dan 90000-100000 sampai 14 tempat decimal. Briggs juga yang mulai
menggunakan istilah mantissa dan characteristic .
h. Barisan dan Deret
Sejarah barisan dan deret sebenarnya cukup panjang. Naskah kuno tertua yang berhubungan dengan barisan dan deret adalah Papirus Rhind atau Papirus Ahmes
sekitar 1650 SM, di mana soal no.79 dalam papirus berhubungan dengan masalah deret. Selanjutnya, salah satu paradoks dari Zeno berhubungan dengan deret
geometri dengan . Archimedes telah bekerja dengan deret tak hingga, antara
lain bersesuaian dengan deret . Secara eksplisit mungkin inilah
deret pertama dalam matematika. Fibonacci menulis buku Liber Abacci 1202 di mana terdapat sebuah soal tentang kelinci yang terkait dengan sebuah jenis barisan
yang dinamakan Barisan Fibonacci. Selanjutnya deret bilangan kuadrat, kubik, dan seterusnya antara lain dibahas oleh Yang Hui dalam buku Detailed Analysis, Ibnu al-
Banna al-Marrakhusi 1256-1321 dalam bukunya Raf al-Hisab juga Ibrahim Al- Umawi 1400-1489. Akhirnya, di tangan Euler, deret-deret tak hingga dibahas
tuntas seperti dalam bukunya, Introductio in analysin infinitorum. Euler antara lain tahun 1740 menyelesaikan masalah deret yang terkenal yaitu
. Euler juga membuktikan bahwa deret harmonik adalah divergen, dan deret kebalikan seluruh bilangan prima juga divergen. Setelah jaman Euler, konsep deret
telah begitu pesat dan termasuk dalam studi analisis.
i. Segitiga Pascal
Walaupun diberi nama Segitiga Pascal, tetapi segitiga tersebut telah lama dikenal ratusan tahun sebelum Blaise Pascal 1623-1662. Mungkin secara independen,
matematikawan Cina dan Muslim Persia masing-masing menemukan segitiga tersebut, antara lain oleh Chia Hsien atau Jia Xian sekitar 1050 telah menggunakan
segitiga tersebut untuk menentukan akar kuadrat dan akar kubik suatu bilangan, serta Omar Khayyam dalam menentukan akar suatu bilangan.
Kegiatan Belajar 6
74
Gambar 10. Deskripsi Segitiga Pascal oleh Yang Hui Segitiga Yang Hui
Mungkin deskripsi tentang segitiga Pascal, yang paling tua berasal dari India, dengan apa yang disebut Meru Prastara berasal dari abad ke-3 atau 4. Segitiga binomial
tersebut menjadi terkenal lewat karya Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique pada tahun 1654. Pascal menulis banyak sifat yang berkenaan dengan segitiga
binomial tersebut.
2. Teori Himpunan
Teori himpunan bermula dari diterbitkannya makalah berjudul On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers karya George Cantor tahun 1874. Topik yang
menjadi cikal bakal lahirnya Teori Himpunan, salah satunya konsep ketakhinggaan. Bertrand Russell dan Ernest Zermelo secara independen menemukan paradoks yang
kemudian dikenal sebagai Paradoks Russell . Pada tahun 1899, Cantor sendiri juga menyuguhkan sebuah paradoks terkait bilangan kardinal. Walaupun menimbulkan
beberapa paradoks, Teori Himpunan terus menemukan peranannya dalam membangun struktur matematika modern. Misalnya, Henri Lebesgue yang
menggunakan Teori Himpunan untuk membangun teori ukuran. Kini Teori Himpunan dianggap sebagai salah satu landasan matematika modern.
Modul Pelatihan Matematika SMA
75
3. Logika Matematika
Sejarah logika dimulai dengan tokohnya, Aristoteles. Koleksi tulisan Aristoteles tentang logika terkumpul dalam buku Organon. Tulisan lain yang penting adalah
Prior Analytics. Kontribusi penting lainnya adalah logika dari Avicenna atau Ibnu Sinna. Sistem logika Ibnu Sinna antara lain melahirkan silogisme hipotetik, logika
modal temporal, dan logika induktif, termasuk rintisan propositional calculus.
Gambar 11. Aristoteles
Logika simbolik logika matematika muncul sekitar pertengahan abad ke-19 sebagai akibat dari perumusan dasar-dasar matematika. Pada tahun 1854, George
Boole menulis An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities yang memperkenalkan logika
simbolik dan prinsip-prinsip yang kini dikenal sebagai logika Boole. Tahun 1903, Alfred North Whitehead 1861 -
1 4 Bertrand Russell menerbitkan Principia Mathematica yang mengulas kebenaran matematika berdasar aksioma dan aturan
kesimpulan dalam logika simbolik.
4. Konsep Aljabar
a. Teorema Pythagoras
Teorema ini diberi nama Pythagoras karena perguruan Pythagoras-lah yang pertama memberi sebuah bukti secara geometris. Tetapi hubungan antara sisi-sisi
segitiga siku-siku tersebut telah lama dikenal jauh sebelum Pythagoras dan perguruannya. Di Universitas Columbia, terdapat naskah prasasti bernama Plimpton
322 dari 1900 SM hingga 1600 SM. Tabel pada naskah itu terdiri atas tiga kolom bilangan, yang ternyata bersesuaian dengan tripel Pythagoras. Sebuah catatan kuno,
Chou Pie Suan Ching 500 hingga 200 SM menyajikan pembahasan dan bukti secara geometris tentang Teorema Pythagoras. Teks kuno dari India juga telah mengenal
