Broad ouline, garis besar yang penting. Penting bagi guru untuk memberikan

Modul Pelatihan Matematika SMA 67 Gambar 2. Pembentukan angka 1, 2, 3, 4 Gambar 3. Pembentukan angka 5, 6, 7, 8, 9, 10 Al Khowarizmi juga memperkenalkan perhitungan dengan angka nol dari bahasa Arab sifr yang artinya kosong atau tak berpenghuni. Fibonacci k.1170-1240 merupakan matematikawan Italia yang membawa angka Hindu Arab dari Afrika Utara ke Eropa melalui buku Liber Abaci Book of Counting. Fibonacci menggunakan kata zephyrum untuk menyebut nol, berasal dari kata sifr, Kegiatan Belajar 6 68 yang dalam bahasa Italia menjadi zefiro, yang dibaca zero dalam dialek Venetian dan menjadi bahasa internasional untuk menyebut nol. Gambar 4. Evolusi lambang bilanganangka Hindu-Arab b. Bilangan Pecahan dan Desimal Menurut catatan sejarah, perkembangan bilangan pecahan tertua mungkin dimulai di Mesir Kuno. Pada peradaban Mesir Kuno, pecahan dilambangkan dengan pecahan satuan , n bilangan asli. Penulisan pecahan menggunakan huruf hieroglif, dengan lingkaran di atas dan angka di bawahnya. Gambar 5. Angka Mesir dalam Hieroglif Modul Pelatihan Matematika SMA 69 Misal maka lambang bilangannya adalah , menjadi . Untuk pecahan dalam bentuk lain, dibentuk dari penjumlahan pecahan satuan dengan penyebut berbeda, kecuali pada pecahan , mereka memiliki lambang khusus yaitu . Misalkan dibentuk dari penjumlahan . Meskipun dapat dibentuk dari penjumlahan , tetapi bagi bangsa Mesir Kuno hal ini membingungkan dan tidak dapat diterima. Untuk mengurai suatu pecahan menjadi pecahan-pecahan satuan, terdapat tabel pecahan seperti misalnya pada pemulaan papyrus Rhind terdapat tabel yang mengurai pecahan dengan pembilang 2 dan penyebut bilangan ganjil antara 5 sampai 101. Dalam perkembangan bilangan di India dengan angka Hindu, Brahmagupta dalam Brahmasphutasiddhanta menjelaskan tentang penulisan dan perhitungan bilangan pecahan tetapi masih belum menggunakan garis pemisah, misalnya . Matematikawan Arab, al-Hassar abad ke-12 menyebutkan penggunaan garis pemisah pada pecahan dengan petunjuk: tuliskan penyebut di bawah garis horizontal dan yang berada di dalamnya menjadi bagian dari pecahan tersebut; misalkan kita diminta menuliskan tiga per lima dan sepertiga dari seperlima, tuliskan . Contoh lain, empat per tigabelas dan tiga per tujuh dari sepertigabelas ditulis . Ini adalah kemunculan pertama dari garis pecahan yang kemudian kita ketahui juga dari buku Leonardo of Pisa Fibonacci, Liber abbaci. Seperti kita ketahui, Fibonacci banyak dipengaruhi oleh karya-karya dari Arab. Gambar 6. Al Kashi Kegiatan Belajar 6 70 Pemakaian pecahan desimal berikut cara perhitungannya yang signifikan terdapat pada karya al-Kashi k.1380-1429, Miftah al-Hisab. Ini dilanjutkan oleh Simon Stevin 1548-1620 dengan menulis La Disme tahun 1585.

c. Bilangan Negatif

Diduga Bangsa Mesir Kuno telah mengenal bilangan negatif. Bilangan positif dengan lambang kaki melangkah ke kanan, sedang bilangan negatif ditandai dengan kaki melangkah ke kiri. Matematikawan Cina kuno belum menerima bilangan negatif sebagai penyelesaian suatu persamaan bahkan matematikawan Yunani Kuno hampir dalam setiap bukunya tidak memberikan penyelesaian bilangan negatif. Penerimaan bilangan negatif lebih maju di India. Brahmagupta telah mempergunakan bilangan negatif hampir serupa dengan konsep modern.

d. Bilangan Irasional

Tentang bilangan irasional, perguruan Pythagoras sekitar 570- 490 SM menganggap semua bilangan adalah rasional. Ketika perguruan ini menemukan bahwa √ incommensurable, mereka lalu merahasiakannya. Berbeda dengan Yunani Kuno, matematikawan India Kuno memperlakukan akar bilangan bukan kuadrat sebagai bilangan juga. Penanganan bilangan irasional secara tepat baru dimulai pada abad ke-19. Adalah Richard Dedekind 1831-1916 dalam bukunya Stetigkeit und die Irrationalzahlen atau Continuity and Irrational Numbers tahun 1872 yang membuat definisi bilangan irasional secara tepat dan jelas.

e. Bilangan Prima

Konsep bilangan prima mula-mula berkembang dari perguruan Pythagoras. Euclid dalam bukunya Elements k. 300 SM membuktikan bahwa bilangan prima ada sebanyak tak hingga, serta juga membuktikan Teorema Dasar Aritmetika. Eratosthenes menemukan cara mendapatkan semua bilangan prima di bawah bilangan tertentu yang dikenal dengan saringan Eratosthenes . Cara kerja saringan Eratosthenes, misalkan akan mencari bilangan prima di bawah bilangan n, maka secara sederhana mendata semua bilangan lalu menghapus bilangan komposit yang merupakan kelipatan dari bilangan prima p, dengan √ . Misal n=100, maka akan dihapus bilangan komposit yang merupakan kelipatan dari bilangan-bilangan prima di bawah √ , yaitu 2, 3, 5, 7. Modul Pelatihan Matematika SMA 71 Gambar 7. Contoh saringan Eratosthenes untuk n=100 Kontribusi berikutnya yang penting tentang bilangan prima adalah pembuktian Euler bahwa jumlah semua kebalikan bilangan prima adalah divergen. Jadi 12 + 13 + 15 + 17 + .... menuju tak hingga.

f. Bilangan Pi

 Sejarah bilangan pi , amatlah panjang dan penting. Sejarah dimulai antara lain oleh bangsa Babilonia sekitar 4000 SM dan Mesir Papirus Ahmes atau Rhind, 1650 SM. Gambar 8. Salah satu bagian Papirus Ahmes Perhitungan teoritik pertama berasal dari Archimedes 287-212 SM, dengan menggunakan keliling poligon luar dan poligon dalam suatu lingkaran, ia menemukan . Pada 1596M, Viéte menemukan bentuk deret bilangan