154
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
C. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Sebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebih lanjut, pelajari uraian berikut ini.
Misalkan f ff x
= x
2
xx + 1 dengan D
f
D = {
f
x | x R} dan gx
= x
2 dengan D
g
= {x| x ≥ 2,
x x R
}. Fungsi komposisi g
°
f dapat digambarkan pada Gambar
rr 6.9.
Mula-mula unsur x D
f
D dipetakan oleh
f
f ke bayangan
f x
, yaitu f
ff x . Kemudian, f
ff x dipetakan oleh g ke gf
ff x . Dengan
demikian, fungsi komposisi g
°
f adalah pemetaan
x
D
f
D oleh
fungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh ff
g. Uraian
tersebut memperjelas definisi berikut.
Deinisi 6.3
Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f
dan g ditulis g ° f, didefinisikan sebagai ff
g ° f ff x
= gf ff x
untuk setiap x
D
g
.
Untuk x = 1 Anda peroleh x
f ff x
= 2 yang berada dalam daerah asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f
ff x = 2 dapat
dipetakan oleh g ke gf ff x
sebab g2 = 2 2
= 0. Lain halnya jika x =
x 1
2 . Untuk x =
x 1
2 diperoleh f
ff x =
1 1
4 yang berada di luar daerah asal fungsi g. Bayangan x,
yaitu f ff x
= 1 1
4 tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsi
komposisi gf ff x
sebab
g 1 1
4 2
3 4
1 1 4
1
. Nilai ini tidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja pada
himpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu dapat dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukan
jika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi x
g . Dengan
demikian, diperoleh daerah asal fungsi komposisi g
°
f adalah
f D
f D
gof f
g
f D
xx
{ ,
x D
f
x x
} .
Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f
°
g adalah pemetaan x D
g
oleh fungsi g, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh f. Dengan demikian, daerah asal fungsi
ff komposisi f
°
g adalah D
f D
fog g
f
x
{ ,
x D
g
D x x
x x }
. Misalkan diketahui f
ff x = x
2
+ 2 dan gx = 1
x . Kedua
fungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 6.10.
Gambar 6.9
g
°
f
f g
Gambar 6.10
g f
155
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Daerah hasil R
f
R = {
f
x | x
≥ 2, x
x R } tidak dapat dipetakan
oleh gx = 1
x sebab untuk x ≥ 2,
x g
x tidak terdefinisi.
Coba jelaskan mengapa gx tidak terdefinisi untuk
x x
≥ 2. ≥
Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-hal berikut.
• Fungsi f
i ff x
= x
x
2
xx + 1 dan
2
g x
= x
x 2 dapat dikomposisikan
menjadi fungsi komposisi g
°
f sebab irisan antara daerah
f hasil fungsi f dan daerah asal fungsi
f g
bukan merupakan himpunan kosong.
R
f
R « D
g
= {
g
x {
{ | x ≥ 1,
x xR
} «{x
{ { | x
≥ 2, x
xR } = {x
{ { | x
≥ 2, xR}. •
Fungsi f ff x
= x
2
+ 2 dan gx = 1
x tidak dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g
°
f sebab
f irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi
f g
merupakan himpunan kosong. R
f
R « D
g
= {x| x ≥ 2, xR} «{x| x ≤ 1,
x x R
} = Ø.
Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi f
g dapat
g dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ° f adalah
ff irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi
f g
bukan himpunan kosong, atau g
R
f
R
D
g
≠ Ø.
embahasan Pe
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
Soal
Fungsi g: R
l
R ditentukan
oleh gx =
x x
2 – xx
x + 3 dan
x fungsi f:
ff R
l
R sehingga
f
°
g x
= 3 x
x 2 – 3
xx x
+ 4 x
maka f x – 2 = ....
x
Jawab: g
x =
x x
2 – xx
x + 3
x f
°
g x
= 3 x
x 2 – 3
xx x
+ 4 x
f ff g
x = 3
x x
2 – xx
x + 3 – 5
x f
f x = 3
x x
– 5 x
maka fx – 2 = 3x – 2 – 5 ff
= 3x – 11
Soal Ebtanas 1999
1. Jika f