149
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
b. Dari Gambar 6.4b tampak bahwa setiap unsur pada domain
dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range. Misalnya, 4 dihubungkan dengan 2; –2 dihubungkan dengan –1;
0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengan
demikian, relasi {x ,y| y =
1 2
x ; x, y
R } merupakan fungsi.
Grafik pada Gambar 6.4b, menyatakan fungsi.
Diketahui fungsi f : f R
l
R dan f
ff x = x
2
– 1.
a. Hitunglah f–3,
ff f
–1, ff
f 0,
ff f
2, dan ff
f 3.
ff
b. Jika f
ff a = 3, tentukan nilai a yang memenuhi.
c. Gambarkan grafik fungsi tersebut. d.
Jika daerah asal fungsi tersebut adalah D
f
D = {
f
x |–3
≤ x ≤ 3, x
R },
tentukan daerah hasilnya.
Jawab: a.
f ff x
= x
2
– 1 f
–3 = –3 ff
2
– 1 = 9 – 1 = 8 f
–1 = –1 ff
2
– 1 = 0 f
ff = 0
2
– 1 = –1 f
2 ff
= 2
2
– 1 = 3 f
3 ff
= 3
2
– 1 = 8
b. f
ff a = a
2
– 1 3
= a
2
– 1 a
2
= 3 + 1 a
2
= 4 a
2
= 4 a
= ±2 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 2 dan a = –2.
c. Sketsa grafik tampak pada Gambar 6.5. d.
Daerah hasil dari fungsi y = f ff x
= x
2
– 1 adalah R
f
R = {
f
y| –1
≤ y ≤ 8, y
R }
Contoh 6.2
Gambar 6.4 b
x y
O
Gambar 6.5
3. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Injektif
Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {p, q, r, s}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan
fungsi f dan fungsi f
g yang dinyatakan dengan diagram
panah pada Gambar 6.6. Pada Gambar 6.6a, untuk setiap anggota himpunan A
yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di himpunan B. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi injektif atau
f fungsi
satu-satu .
y
x 3
–1 –2
–3 2
3 4
5 6
7 8
–1 Daerah asal
Daerah hasil 2
1 1
a
A
Fungsi f : A Æ B
B f
1 2
3 s
r p
q
Gambar 6.6 b
Fungsi g : A Æ B
A B
g 1
2 3
s r
p q
y = x
2
–1
150
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pada Gambar 6.6b, terdapat dua anggota himpunan A
yang berbeda, yaitu 2 dan 3 mempunyai peta yang sama, yaitu r di himpunan
r B
. Oleh karena itu, fungsi g bukan fungsi injektif
. ff
Sekarang, amati kembali Gambar 6.2. Dari grafik fungsi f
ff x = 2x
2 2 pada gambar tersebut, untuk setiap domain
x x
1
dan x
2
x
1
≠ x
2
maka f ff x
1
≠ fffx
2
. Misalkan untuk x
1
= –1, x
2
= 1 maka f
ff x
1
= –2, f ff x
2
= 2, dan f ff x
1
≠f ≠ ffx
2
. Jadi, untuk nilai x yang berbeda menghasilkan nilai y = f
ff x yang berbeda pula.
Fungsi yang demikian disebut fungsi injektif atau f
fungsi satu-satu
. Amati pula grafik fungsi f
ff x = x
2
pada Gambar 6.3a. Pada fungsi ini, untuk setiap domain x
1
dan x
2
x
1
≠ x
2
terdapat hubungan f ff x
1
= f ff x
2
, misalnya f–1 = ff
f 1 = 1 dan
ff f
–2 = ff
f 2 = 4. Jadi, untuk nilai
ff x
yang berbeda terdapat nilai x
y = f
ff x yang sama. Fungsi yang demikian bukan merupakan
fungsi injektif. Secara umum, jika f fungsi dari himpunan
f A
ke himpunan B
maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur
yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka f disebut
f fungsi injektif
atau f
fungsi satu-satu .
b. Fungsi Surjektif
Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan A
B = {
B x
{ { , y, z}.
Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f yang f
ditentukan dengan diagram panah pada Gambar 6.7a. Pada Gambar 6.7a, tampak bahwa daerah hasil dari fungsi
f , yaitu
ff R
f
R = {x, y, z} sehingga R
f
R =
f
B , dalam hal ini B adalah
daerah kawan. Suatu fungsi yang daerah hasilnya sama dengan
f f
daerah kawannya dinamakan fungsi surjektif atau f
fungsi onto .
Jadi, fungsi f pada Gambar 6.7a f
merupakan fungsi surjektif. Coba Anda selidiki Gambar 6.7b. Apakah fungsi g : Pl Q
merupakan fungsi surjektif? Jelaskan jawaban Anda. Sekarang, amatilah grafik f
ff x = 2x
2 2 Gambar 6.2. Grafik
x tersebut memiliki daerah hasil range R
f
R sama dengan daerah
f
kawannya kodomainnya. Oleh karena itu, fungsi
f
f ff x
= 2x 2
2 disebut fungsi surjektif atau
f fungsi onto
. Secara umum, jika pada suatu fungsi f dari
f A
ke B daerah hasilnya R
f
R = B maka
fungsi itu disebut fungsi surjektif atau f
fungsi onto
f
. Akan tetapi, jika R
f
R ÃB maka fungsi tersebut bukan merupakan
fungsi surjektif
f
. ff
Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi bijektif
. Jadi, fungsi ff
y = 2x
2 2 merupakan
x fungsi bijektif
. ff
Gambar 6.7 a
b
A
P Fungsi f :
f A Æ B
Fungsi g : P Æ Q
B
Q f
g 1
a x
2 2
b y
4 3
z
6
Soal Terbuka
Buatlah 5 buah fungsi yang satu-satu dan fungsi yang
tidak satu-satu.
151
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Gambar 6.8
Selidikilah fungsi berikut, apakah merupakan fungsi injektif atau bukan, jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektif?
a.
y = f
ff x =
1 2
x + 3, x
R ,
b.
y = f
ff x = x
2
– 2, x
R ,
Jawab: a.
Grafik fungsi y = f ff x
=
1 2
x + 3, x
R tampak pada Gambar
6.8 a. Amati untuk setiap domain x
1
dan x
2
x
1
≠ x
2
maka f ff x
1
≠ fffx
2
. Jadi, fungsi y = f ff x
=
1 2
x + 3, x
R merupakan fungsi injektif. Oleh karena range R
f
R sama
f
dengan daerah kawannya kodomainnya maka fungsi y = f ff x
=
1 2
x + 3,
x x
R merupakan fungsi surjektif.
Dengan demikian, fungsi y = f ff x
=
1 2
x + 3,
x x
R adalah fungsi
bijektif.
b. Grafik dari fungsi y = f
Kategori