38
Dana yang sudah terkumpul dari pembayaran premi oleh para pemegang polis diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu, dan sebagian dari bunga
tersebut merupakan milik para pemegang polis. Setiap perusahaan asuransi tidak dapat bekerja tanpa biaya operasional, antara lain: biaya pegawai untuk
mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayarkan claim, biaya untuk membayar pajak, komisi, dan sebagainya. Dalam skripsi ini biaya
operasional tidak ikut dibahas, tetapi hanya memperhatikan peluang meninggal dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhitungkan faktor biaya
disebut premi bersih net premi. Premi dapat dibayarkan sekaligus disebut premi tunggal, dapat juga seumur hidup premi tahunan seumur hidup, dan dapat juga
selama jangka tertentu premi tahunan berjangka. Jika pemegang polis meninggal sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka dianggap pembayaran telah
selesai.
1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal
a. Asuransi Berjangka
Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana. Dalam kontrak ini uang santunan asuransi claim akan dibayarkan perusahaan
kepada pewaris pemegang polis bila pemegang polis meninggal dalam jangka waktu tertentu jangka waktu polis. Untuk perhitungan yang lebih sederhana,
jangka waktu dihitung untuk satu tahun. Tingkat bunga dianggap stabil untuk setiap tahunnya.
Andaikan ada sebanyak
x
l
orang pemegang polis, menyerahkan premi tunggal bersih sebesar Z rupiah ke suatu perusahaan asuransi dan tiap akhir tahun
39
akan dibayarkan Rp.1 kepada tiap pewaris dari tertanggung yang meninggal. Jika ternyata tertanggung mampu hidup mencapai usia
1 +
x
maka claim tidak akan dibayarkan. Sehingga sekarang dana di perusahaan ada sebanyak
x
Zl
rupiah. Banyaknya yang meninggal dalam interval waktu setahun adalah sebanyak
x
d
, maka dana yang dikeluarkan perusahaan pada akhir tahun sebesar Rp.1
x
d
atau
x
d
rupiah. Bila dana yang terkumpul di perusahaan dikenai bunga, maka dana yang ada di perusahaan pada akhir tahun pertama ada sebanyak :
1 i
Zl d
x x
+ =
1 i
l d
Z
x x
+ =
x x
l d
v Z
. =
Misalkan
1 :n
x
A
adalah nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih asuransi sebesar Rp.1 untuk seseorang yang berusia
x
selama interval waktu
n
tahun. Bila seseorang yang berusia
x
meninggal sebelum usia n
x + , maka
kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp.1 pada akhir tahun orang tersebut meninggal. Tetapi bila orang tersebut mampu hidup mencapai usia
n x
+ , maka orang tersebut tidak akan mendapat claim. Bila seseorang yang berusia
x
meninggal pada akhir tahun pertama, maka nilai tunainya adalah
x x
l d
v.
. Bila seseorang yang berusia
x
meninggal pada akhir tahun kedua, nilai tunainya PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
adalah
x x
l d
v
1 2
.
+
, dan bila seseorang yang berusia
x
meninggal pada akhir tahun
ke
n
, maka nilai tunainya adalah
x n
x n
l d
v
1
.
− +
. Sehingga keseluruhan nilai tunainya adalah :
1 :n
x
A
x n
x n
x x
x x
l d
v l
d v
l d
v
1 1
2
...
− +
+
+ +
+ =
2.35
1 :n
x
A
x t
x n
t t
l d
v
+ −
= +
∑
=
1 1
2.36 Jika menggunakan simbol komutasi yang didapat dengan cara mengalikan
pembilang dan penyebut dengan
x
v
, maka dari persamaan 2.35 didapat :
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
+ =
− +
+ x
x x
n x
n x
x n
x
v v
l d
v d
v vd
A
1 1
2 1
:
...
x x
n x
n x
x x
x x
n x
l v
d v
d v
d v
A
1 1
2 1
1 :
...
− +
+ +
+ +
+ +
+ =
Jika
x x
x
C d
v =
+1
dan
x w
x x
x
M C
C C
C =
+ +
+ +
+ +
...
2 1
maka :
1 :n
x
A
x n
x x
x
D C
C C
1 1
...
− +
+
+ +
+ =
1 :n
x
A
x n
x x
D M
M
+
− =
2.37 Selain dinyatakan dalam simbol komutasi, persamaan 2.36 dapat juga
dinyatakan dalam bentuk anuitas, yaitu :
1 :n
x
A
x t
x n
t t
l d
v
+ −
= +
∑
=
1 1
41
1 :n
x
A
x t
n t
t
q v
∑
− =
+
=
1 1
Sehingga persamaan 2.36 dapat ditulis menjadi :
x n
n x
x n
x
q v
q v
vq A
1 2
1 :
...
−
+ +
+ =
Akan dibuktikan bahwa :
1 :n
x
A
n x
n x
a a
v
: :
− =
Bukti :
1 :n
x
A ...
1
1 2
2 x
n x
n n
x x
x
p p
v p
p v
p v
− +
+ −
+ −
=
− x
n n
x n
n x
x x
p v
p v
p v
p v
vp v
− +
+ −
+ −
=
−1 2
2 2
... ...
...
2 2
1 2
x n
n x
x x
n n
x
p v
p v
vp p
v p
v v
+ +
+ −
+ +
+ =
−
... ...
1
2 2
1 x
n n
x x
x n
n x
p v
p v
vp p
v vp
v +
+ +
− +
+ +
=
−
x n
t n
t t
t x
t t
p v
p v
v
∑ ∑
− =
=
− =
1 1
1 :n
x
A
n x
n x
a a
v
: :
− =
b. Asuransi Seumur Hidup
