Asuransi pensiun hari tua.

ABSTRAK

Perhitungan premi asuransi pensiun hari tua, ditetapkan dengan prinsip equality. Prinsip equality terdapat dalam asuransi jiwa, yaitu nilai tunai premi (iuran) yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan (manfaat) yang akan datang. Perhitungan preminya dipilih salah satu dari tiga pilihan berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji per tahun untuk tahun terakhir sebelum pensiun. Secara umum, berdasarkan perhitungan urutan besarnya premi adalah premi berdasarkan masa kerja, premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun untuk tahun terakhir sebelum pensiun, dan premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun selama masa kerja.

f

f

ABSTRACT

Premium calculation in old age pension insurance is determined by using equality principle. The principle is found in life insurance, that is present value of future premium (contribution) is the same as present value of future claim (benefit). The premium calculation is taken from one of these three options that is : the working period, the averages of annual salary during working period, and the averages of annual salary for last year before pension. Generally, the amount of premium sequence is as follows : premium based on working period, premium based on the averages of annual salary for last year before pension, and premium based on the averages of annual salary during working period.

f

f

ASURANSI PENSIUN HARI TUA

S K R I P S I

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika

Oleh :

Maria Kurnia Lestari NIM : 013114028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2007

Karya Ini Kupersembahkan untuk :

Bunda pelindungku, Bunda Maria Bapak, Ibu & Kakak-kakakku, serta

Almamaterku tercinta

Keindahan Tak Berpenghujung

Cinta

Yang menjadikan langit sebagai batasnya Itulah keindahan tak berpenghujung

yang kalian berikan padaku

Dari saat Tuhan memberikan nafas kehidupan Hingga suka duka yang membuatku tumbuh dewasa

Dalam nama cinta

Penyertaan kalian tiada pernah berakhir

Kini, kutelah berhasil

melewati lagi anak tangga menuju masa depan Terima Kasih kuucapkan

Semoga setiap langkah yang kupijak Tuk mencapai puncak impian Dapat membuat kalian bangga Hingga Keindahan tak berpenghujung

Selalu terpancar dari senyummu Yang membuat langkah ini selalu berarti

Teruntuk Kedua Orang Tuaku

ABSTRAK

Perhitungan premi asuransi pensiun hari tua, ditetapkan dengan prinsip equality. Prinsip equality terdapat dalam asuransi jiwa, yaitu nilai tunai premi (iuran) yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan (manfaat) yang akan datang. Perhitungan preminya dipilih salah satu dari tiga pilihan berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji per tahun untuk tahun terakhir sebelum pensiun. Secara umum, berdasarkan perhitungan urutan besarnya premi adalah premi berdasarkan masa kerja, premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun untuk tahun terakhir sebelum pensiun, dan premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun selama masa kerja.

f

f

ABSTRACT

Premium calculation in old age pension insurance is determined by using equality principle. The principle is found in life insurance, that is present value of future premium (contribution) is the same as present value of future claim (benefit). The premium calculation is taken from one of these three options that is : the working period, the averages of annual salary during working period, and the averages of annual salary for last year before pension. Generally, the amount of premium sequence is as follows : premium based on working period, premium based on the averages of annual salary for last year before pension, and premium based on the averages of annual salary during working period.

f

f

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul

Asuransi Pensiun Hari Tua dengan baik.

Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dan bimbingan dari beberapa pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, dengan tulus penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Ir.Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan Fakultas MIPA sekaligus dosen pembimbing skripsi yang dengan penuh kesabaran membimbing selama penulisan.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si.,M.Sc., selaku Ketua Program Studi Matematika, dosen pembimbing akademik, sekaligus dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih.,S.Si, M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran.

4. Seluruh staf pengajar Fakultas MIPA yang telah memberikan dukungan kepada penulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini, sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.

5. Bapak Z. Tukija dan Ibu E. Linda S.H. yang telah membantu dalam urusan administrasi.

6. Para karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpustakaan, di BAAK dan di AUK, atas kerjasama dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis selama ini.

7. Cinta pertama dan terakhirku Bapak dan Ibu, yang telah memberikan doa, nasehat, semangat, dukungan serta kesabaran menanti kelulusanku.

8. Mbak Wenna, mbak Erma, mas Krisna, mas Bimo (makasih atas kesabarannya), Song-song, yang telah memberikan semangat dan dukungan selama kuliah.

9. Mbah putri, Om, Bulik, adik-adik sepupu, yang selalu menanyakan kapan kelulusanku, keponakan-keponakan (Detha, Fernand, Ella) terima kasih keluguan dan kelucuannya.

10.Sr. Fidelis ,OP dan Frans Beerens, terima kasih atas segala perhatian dan dukungannya.

11.Teman seperjuanganku, Indah. Jengkel, marah, sakit, lelah, puyeng, deg-degan, takut, tangis, nekat, senyum, tawa, lucu, haru, lega, puas dan bahagia pernah kita rasakan bersama selama penulisan. Yakinlah selalu teman, bahwa “sesuatu hal akan menjadi indah pada waktunya”.

12.Helen, terima kasih telah menjadi sahabatku selama ini dan Robert Tampa, terima kasih puisi dan terjemahannya.

13.Teman-teman yang akan selalu kurindukan (Mat’01) antara lain : Andre, Indah, Tabita, Ariel, Feri, Erika, Wiwit, Agnes, Daniwiati, Vrisca, Upik (makasih pinjamannya), Ajeng, April, Deta, Fanya (makasih laptopnya), Yuli, Rita, Ray, Tedy, Alam, Daniel (makasih mo jadi teman curhatku) yang telah memberikan kebersamaan selama kuliah.

14.Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah membantu dalam penyusunan skripsi dan selama kuliah.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang bermanfaat bagi penulis.

Yogyakarta,………2007 Penulis

Maria Kurnia Lestari

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI... xi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Perumusan Masalah... 4

C. Pembatasan Masalah... 4

D. Tujuan Penulisan ... 5

E. Manfaat Penulisan ... 5

F. Metode Penulisan ... 5

G. Sistematika Penulisan ... 5

BAB II LANDASAN TEORI ... 5

A. Tabel Mortalita (Mortality Table) ... 7

B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality) ... 14

C. Tabel Penyusutan Jamak (Multiple of Decrement Table) ... 18

D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Decrement) ... 22

E. Tingkat Bunga……….... 26

F. Anuitas (Annuity)………. 28

G. Asuransi Jiwa………... 37

1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal………….. 38

a. Asuransi Berjangka……….. 38

b. Asuransi Seumur Hidup……… 41

2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan………….. 44

BAB III ASURANSI PENSIUN HARI TUA... 47

A. Dana Pensiun ... 47

B. Tabel Pelayanan... 49

C. Jenis Manfaat Pensiun ... 51

D. Fungsi Manfaat ... 53

BAB IV PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN HARI TUA... 61

BAB V KESIMPULAN... 66

DAFTAR PUSTAKA ... 67

LAMPIRAN... 66

1. Tabel Mortalita Indonesia ... 68

2. Komutasi ... 71

3. Tabel Pelayanan ... 74

4. Komutasi ... 75

1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Keberhasilan pembangunan Nasional telah dirasakan oleh rakyat dengan meningkatnya kesejahteraan pada umumnya. Tetapi hasil pembangunan juga telah menimbulkan masalah-masalah sosial lainnya. Salah satunya yaitu masalah ketidakpastian sosial ekonomi yang dihadapi oleh sebagian besar tenaga kerja Indonesia. Bagi perseorangan ketidakpastian ini perlu diatasi, karena dapat mengakibatkan hilangnya penghasilan. Sebab utama dari gangguan penghasilan ini adalah hari tua, cacat/sakit dan kecelakaan serta kematian. Kondisi kehidupan yang menurun pada hari tua merupakan masalah utama bagi setiap tenaga kerja, karena pada saat itu kemampuan untuk memperoleh penghasilan menjadi menurun/merosot atau hilang sama sekali, tetapi biaya hidup terus diperlukan. Hal ini dijelaskan dengan menggunakan model Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi (life –cycle hypothesis of consumption) dari Ando Modigliani (Branson, 1979). Hipotesa siklus hidup konsumsi menekankan adanya hubungan antara produktivitas, pendapatan dengan konsumsi. Menurut model ini perjalanan hidup seseorang (life time) dibagi dalam tiga kurun waktu, yaitu:

(1) masa produktivitas rendah (2) masa produktivitas tinggi (3) masa produktivitas menurun.

Gambar 1. Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi

Kurva konsumsi menunjukkan aliran konsumsi individu yang berkencenderungan meningkat seiring dengan perjalanan hidup seorang dan tidak mungkin mengalami penurunan. Sedangkan kurva pendapatan menunjukkan aliran pendapatan dimana berlaku siklus hidup yang membagi perjalanan hidup seseorang kedalam tiga periode. Gambar (1) menunjukkan bahwa tahun awal perjalanan hidup seseorang merupakan periode hutang (net borrower), sebab meskipun belum ada aliran pendapatan, aliran konsumsi tetap berjalan (C₀ >Y₀). Periode antara T₁ dan T₂ menunjukkan periode produktivitas tinggi, sehingga aliran pendapatan lebih dari konsumsi

(

Y >C

)

. Pada masa ini, individu sudah dapat melunasi semua hutang pada periode hutang dan kemudian menyisihkan

0 C

0 Y

A

B

1

T T₂

0

T₃ Waktu

kurva konsumsi

kurva pendapatan Nilai Pendapatan/Konsumsi

pendapatannya (net surplus). Pada periode akhir (setelah titik B), masa produktivitas individu menurun sehingga menyebabkan kemampuan memperoleh pendapatan juga menurun (net deficit) seiring dengan bertambahnya usia. Titik T₂ dapat dikatakan batas usia pensiun dimana pendapatan sama besarnya dengan konsumsi. Setelah titik B, individu mengalami masa defisit dimana pendapatannya lebih kecil dari konsumsinya. Banyak orang yang bersedia menerima penghasilan yang kecil pada masa aktif bekerja, asalkan mendapatkan cukup jaminan pada hari tua.

Pengertian pensiun secara umum adalah berakhirnya masa kerja pegawai karena sesuatu hal (misal : cacat/sakit) atau telah mencapai batas usia tertentu (usia pensiun). Meskipun masa pensiun hanya akan berlangsung dalam jangka pendek, tetap dibutuhkan jumlah investasi yang cukup besar. Sedangkan setiap orang tidak mengetahui apakah dia masih hidup sampai hari tua dan berapa lama dia dapat bertahan setelah melewati masa pensiun. Demikian juga seseorang tidak dapat memperkirakan berapa besar dana yang harus diinvestasikan untuk memenuhi biaya hidup di hari tua. Jika ditangani secara individual maka akan terjadi kesulitan, karena setiap orang mempunyai keterbatasan pengetahuan tentang dunia investasi.

Untuk mengatasi masalah tersebut, pihak perusahaan/pemberi kerja menawarkan kepada pegawainya suatu bentuk simpanan/tabungan sebagai jaminan di hari tua melalui sebuah Program Pensiun. Pada pelaksanaan program pensiun, pegawai/peserta program diwajibkan membayar iuran yang berupa anuitas dari awal masuk menjadi anggota sampai mencapai pensiun, yang

kemudian dibayarkan kembali dalam bentuk anuitas dari usia pensiun sampai seumur hidup. Pembayaran anuitas didasarkan pada masa kerja dan gaji pegawai yang bersangkutan. Penyetoran iuran harus dilakukan setiap jangka waktu tertentu, karena dana tersebut harus segera diinvestasikan dan bunganya diperhitungkan untuk setiap kali penyetoran.

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditulis dengan beberapa pertanyaan berikut :

1. Bagaimana cara menghitung peluang seorang pegawai keluar dari kelompok karena pensiun pada saat usia x ?

2. Bagaimana cara menghitung besar premi (iuran) yang harus dibayarkan peserta program pensiun menurut masa kerja, rata-rata gaji tahunan dan rata-rata gaji beberapa tahun terakhir sebelum pensiun pada saat usia x ? 3. Bagaimana penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua?

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut : 1. Satuan waktu adalah tahunan.

2. Faktor penyebab penyusutan adalah faktor penyebab independent. 3. Tingkat bunga manfaat pensiun adalah 10% .

D. Tujuan Penulisan

Penulisan ini bertujuan untuk memahami perhitungan iuran yang harus dibayarkan peserta asuransi pensiun hari tua untuk mendapatkan manfaat pensiun.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat mengetahui dan memahami dasar perhitungan aktuaria pada asuransi pensiun hari tua .

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah dengan metode studi literatur/pustaka. Studi literatur dilakukan dengan mempelajari materi dari buku-buku acuan tanpa ada penemuan baru.

G. Sistematika Penulisan

Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan sebagai berikut :

BAB I Pendahuluan

Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.

BAB II Landasan Teori

Menjelaskan tentang penyusutan anggota kelompok karena satu dan lebih dari satu faktor penyebab, antara lain: tabel mortalita, percepatan mortalita, tabel penyusutan jamak dan percepatan penyusutan jamak, tingkat bunga, macam-macam anuitas antara lain: anuitas tentu, anuitas seumur hidup dan anuitas sementara, asuransi jiwa dengan premi tunggal dan premi tahunan.

BAB III Asuransi Pensiun Hari Tua

Menjelaskan tentang perhitungan dasar dari manfaat pensiun, jika dilihat dari masa kerja, rata-rata gaji tahunan pegawai selama masa kerja dan rata-rata gaji untuk f tahun terakhir sebelum usia pensiun.

BAB IV Penerapan Perhitungan Premi Asuransi Pensiun Hari Tua

Menjelaskan penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua.

BAB V Penutup

7

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Tabel Mortalita (Mortality Table)

Tabel mortalita adalah tabel yang menggambarkan peluang meninggal seseorang berusia x untuk periode n tahun berikutnya dari sekelompok orang yang diasuransikan (kelompok pemegang polis asuransi). Perhitungan dilakukan setiap tahun secara terus-menerus yaitu pada usia x, x+1, x+2, …. Sehingga waktu yang berjalan adalah diskrit. Ada dua jenis kelompok pemegang polis asuransi, yaitu kelompok terbuka dan kelompok tertutup. Kelompok terbuka adalah kelompok yang mengalami pengurangan anggota sekaligus penambahan anggota baru (bayi yang dilahirkan), sedangkan kelompok tertutup adalah kelompok pemegang polis yang tiap tahunnya mengalami pengurangan anggota tanpa ada penambahan anggota baru. Secara teori jenis kelompok yang digunakan adalah kelompok tertutup, karena berkurangnya anggota setiap tahun pada kelompok tertutup lebih stabil daripada kelompok terbuka yang terus menerima anggota baru. Sehingga untuk selanjutnya kelompok pemegang polis yang dimaksud adalah anggota dari kelompok tertutup.

Anggota dari kelompok dianggap mengalami kelahiran yang bersamaan sebanyak l₀ orang. Satu tahun berikutnya telah terjadi kematian sebanyak d₀

orang, sehingga banyak orang yang dapat mencapai usia x+1 adalah l₀ −d₀ =l₁

banyak orang yang dapat mencapai usia x+2 adalah

l

₁

−

d

₁

=

l

₂orang. Proses pengurangan tersebut akan berlangsung terus menerus sampai semua orang meninggal atau l_w+1 =0 dengan w adalah usia terakhir dalam kelompok. Proses tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

1

+

=

−

_{x x}

x

d

l

l

d

x

=

l

x

−

l

x+1 (2.1) dengan l_x menyatakan banyak orang yang masih hidup pada usia x dan d_x

adalah banyaknya orang yang meninggal pada usia x dalam kelompok.

Komponen terpenting dalam penyusunan tabel adalah mencari peluang seseorang akan meninggal dalam kelompok, yaitu hasil bagi antara banyaknya anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel. Perhitungan ini selanjutnya diterapkan untuk menentukan peluang meninggalnya seseorang pada usia x yang dinyatakan dengan q_x.

Misal A adalah himpunan orang yang meninggal pada usia x, dan

( )

A

=

n

d_x= banyaknya orang yang meninggal pada usia x maka didapat :

x x x

l

d

q

≈

_(2.2)

x x x x

l

l

l

q

≈

−

+1

Dengan asumsi bahwa

p

x

+

q

x

=

1

dengan px menyatakan peluang hidup

x

x

q

p

=

1

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

+ x x x x

l

l

l

p

1

1

(

)

x x x x x

l

l

l

l

p

=

−

−

+1

x x x

l

l

p

=

+1

(2.3) Pada persamaan (2.2) dan (2.3) peluang dihitung untuk waktu satu tahun

(

n=1

)

, maka persamaan peluang untuk waktu lebih dari satu tahun

(

n>1

)

adalah

x n x x x n

l

l

l

q

=

−

+ (2.4)

dengan _nq_x menyatakan peluang meninggal seseorang berusia x dalam jangka waktu n tahun. Jika _n p_x menyatakan peluang hidup seseorang berusia x dalam jangka waktu n tahun maka diperoleh :

x n x

n

p

=

1

−

q

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

+ x n x x x n

l

l

l

p

1

(

)

x n x x x x n

l

l

l

l

p

=

−

−

+

x n x x n

l

l

Bila n=1 indeks n disebelah kiri p_x dan q_x tidak perlu dituliskan, jadi notasi x

x

q

q

=

1 dan 1

p

x

=

p

x.

Sedangkan peluang seseorang berusia x akan hidup n tahun dan kemudian meninggal dalam satu tahun berikutnya didefinisikan sebagai berikut :

x n x x n

l

d

q

=

+

|

x n x n x x n

l

l

l

q

1

|

=

+

−

+ +

n

|

q

x

=

n

p

x

−

n+1

p

x Indeks n menyatakan periode (jangka waktu) hidupnya seseorang. Peluang seseorang saat berusia x akan meninggal dalam jangka waktu n tahun, dapat terjadi pada tahun pertama, tahun kedua dan seterusnya sampai tahun ke n−1. Jika n

p

x

+

n

q

x

=

1

maka dapat dinyatakan berikut :

x n x

n

q

=

1

−

p

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+ x n x

l

l

1

x n x x

l

l

l

−

₊

=

(

) (

)

(

)

x n x n x x x x x

l

l

l

l

l

l

l

−

₊

+

₊

−

₊

+

+

_{+ −}

−

₊

=

1 1 2

....

1

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + + + + − + x n x n x x x x x x x l l l l l l l l

l 1 1 2 1

=

q

_x

+

₁

|

q

_x

+

₂

|

q

_x

+

....

+

_n−1

|

q

_x

∑

−

=

=

1 0

|

n

t

x

t

q

Pada penyusunan tabel mortalita, harapan hidup ikut diperhitungkan. Harapan hidup adalah perkiraan rata-rata seseorang berusia x akan hidup mencapai beberapa tahun lagi. Konsep ini tidak lain adalah konsep nilai harapan (rata-rata) yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :

Definisi 2.1.

Nilai harapan didefinisikan dengan :

∑

∞

=

=

0

)

(

t

t

T

E

f

( )

t

, untuk t diskrit

Ada dua macam harapan hidup, yaitu harapan hidup ringkas (curtate expectation of life) dan harapan hidup lengkap (complete expectation of life). Perhitungan dalam harapan hidup ringkas hanya memperhatikan tahun yang penuh (tahun lengkap) dialami seseorang berusia x. Dengan kata lain pecahan tahun tidak ikut dihitung. Sebagai contoh : seseorang lahir pada tanggal 10 Juni 1965, kemudian dia meninggal pada tanggal 15 November 2006. Hal ini berarti dia meninggal pada usia 41,4 tahun. Nilai 0,4 ini yang dimaksud dengan pecahan tahun yang pada harapan hidup ringkas dihilangkan. Jadi orang tersebut dianggap meninggal pada usia 41 tahun. Misal peluang seseorang berusia x dapat bertahan hidup 0,1,2,…,w−x tahun, masing-masing dinyatakan dengan ₀|q_x, ₁|q_x,

x

q |

2 ,…w−x|qx maka sesuai dengan definisi 2.1, harapan hidup orang tersebut

adalah : x x w x x x

x q q q w x q

e =0 +1| +2₂| +....+( − ) ₋ |

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + + + + + x w w x x x x x x l l l x w l l l l l

l 1 2 2 3 1

) ( .... 2

1

[

1

(

1 2

) (

2

2 3

)

....

(

)

(

1

)

]

1

+ + + + +

−

+

−

+

+

−

−

=

_{x x x x w w}

x

l

l

x

w

l

l

l

l

l

(

1 2

2

2

2

3

....

(

)

(

)

1

)

1

+ + + + +

−

+

−

+

+

−

−

−

=

x x x x w w

x

l

x

w

l

x

w

l

l

l

l

l

(

x x w

)

x

l

l

l

l

+

+

+

=

1

_{+1 +2}

....

x w x x x x

l

l

l

l

l

l

+

+

+

=

+1 +2

_....

=

p

_x

+

₂

p

_x

+

....

+

_w−x

p

_x

∑

− =

=

w x t

x t

p

1

dengan e_x menyatakan harapan hidup ringkas.

Bila dalam harapan hidup ringkas pecahan tahun tidak ikut dihitung, maka untuk harapan hidup lengkap pecahan tahun ikut dihitung. Jadi pecahan tahun 0,4 pada contoh sebelumnya ikut dihitung. Dengan demikian orang tersebut dianggap telah meninggal pada usia 41,4 tahun. Sehingga waktu t yang dibutuhkan dari l_x

Definisi 2.2.

Harapan hidup lengkap yang dinyatakan dengan

e

_x0, didefinisikan dengan :

∫

− +

=

w x

x t x x

l

l

e

0 0

dt

∫

−

=

w x_{t x}

x

p

e

0 0

dt

(2.6) Integral diatas dapat dievaluasi dengan pendekatan distribusi seragam

(uniform) yang memberi pernyataan bahwa kematian dalam setahun dapat dimisalkan terjadi pada pertengahan tahun (Sembiring,1986). Dalam statistika fungsi distibusi seragam didefinisikan sebagai berikut :

dengan :

∫

₋

=

β

α

β

α

dx

x

X

E

(

)

2

α

β

+

=

Hasil pendekatan tersebut adalah :

∫

+

=

1

0 0

dx

x

e

e

x _x

2 1 0

+ = x

x e

e

α β −

1

0

β α ≤x≤

lainnya =

) (x f

B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality)

Pada tabel mortalita, nilai

l

_x hanya menggambarkan keadaan suatu kelompok untuk x bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai

x tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa

l

_x adalah fungsi kontinu. Pada interval usia x sampai x+1 banyak orang yang meninggal

( )

dx

adalah

l

_x

−

l

_x+1 dan

x x x x x x

l

l

l

l

d

q

=

=

−

+1 _{. Sedangkan untuk interval usia x}

sampai x+Δt banyak orang yang meninggal adalah

l

x

−

l

x+Δt, sehingga peluang meninggalnya adalah :

x t x x x t

l

l

l

q

+Δ

Δ

−

=

Jika persamaan diatas dibagi dengan Δt, maka didapatkan tingkat mortalita yaitu :

x t x x x t

tl

l

l

t

q

Δ

−

=

Δ

Δ + Δ (2.7) DenganΔt→0 maka persamaan (2.7) disebut sebagai percepatan mortalita (forces of mortality) yang didefinisikan berikut :

t

q

_x t t

x

=

_Δ

Δ → Δ

lim

0

μ

x t x x t

_tl

l

l

Δ

−

=

+Δ

→ Δ

lim

0

t l l l x x t x t Δ − −

= +Δ

→ Δ ) ( lim 0

μ

x

dt

dl

l

x

x

1

−

=

_(2.8)

atau dapat juga dinyatakan dengan :

dt

l

d

_x

x

ln

−

=

μ

(2.9)

d

ln

l

x

=

−

μ

x

.

dt

Kemudian diintegralkan dari 0 sampai x yaitu :

dt

l

d

x t x

t

∫

∫

=

−

0 0

ln

μ

l

]

dt

x t x

t

=

−

∫

0 0

ln

μ

−

=

−

∫

x t

x

l

dt

l

0 0

ln

ln

μ

∫

=

−

x tdt

x

e

l

l

₀

0

μ

Sehingga diperoleh berikut :

∫

=

−

x tdt

x

l

e

l

0

.

0 μ

(2.10) Jika persamaan (2.8) dinyatakan dengan :

x x

x

l

dt

=

−

dl

μ

μ

_x+t

l

_x+t

dt

=

−

dl

_x+t (2.11) atau dapat dinyatakan dengan :

dt

dl

l

x t x t t

x

+ +

+

=

−

μ

(2.12)

Jika

d

x

=

l

x

−

l

x+1 maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann diperoleh

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

−

+

+

1

0 1

dt

dl

l

l

x t

x

x

dt

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

1 +

0

dt

dl

d

x t

x

dt

(2.13)

Kemudian substitusikan persamaan (2.12) ke (2.13) sehingga diperoleh :

=

∫

+ + 1

0

)

(

l

dt

d

_{x x t}

μ

_{x t (2.14)}

Jika

x x x

l

d

q

=

_{maka didapat :}

x t x t x

x

l

dt

l

q

∫

+ +

=

1

0

μ

q

x

=

∫

t

p

x

μ

x+t

dt

1

0

(2.15) Untuk n>1 persamaan (2.15) menjadi :

q

p

x t

dt

n

x t x

n

=

∫

μ

+

0

Persamaan (2.11) dapat juga dinyatakan dengan :

dt

dl

l

t x t x t x + + +

=

−

1

μ

dt

p

d

p

x t x t

1

−

=

dt

p

d

ln

_{t x}

−

=

dt l l d x t x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + ln

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+ + x t x t x

l

l

d

dt

ln

μ

Kemudian diintegralkan dari 0 sampai n yaitu :

∫

∫

+

=

−

⎜⎜

_⎝

⎛

+

⎟⎟

_⎠

⎞

n x t x n t x

l

l

d

dt

0 0

ln

μ

n x t x l l 0 ln _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + x x x n x l l l l ln ln + − = + x n x

l

l

₊

−

=

ln

dt n t x

∫

+ 0

μ

=

−

ln

_n

p

_x (2.16)

Sehingga diperoleh :

∫

=

− + n t x dt x

n

p

e

0

μ

dan

∫

−

=

− +

n t x dt x

n

q

e

0

1

μ

(2.18)

C. Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table)

Tabel mortalita merupakan contoh praktek dari tabel penyusutan yang terjadi karena satu faktor penyebab (kematian) atau disebut juga dengan Tabel Penyusutan Tunggal (Single Decrement Table). Penyusutan adalah berkurangnya anggota kelompok karena faktor penyebab. Sedangkan tabel penyusutan yang terjadi karena lebih dari satu faktor penyebab disebut sebagai Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table).

Faktor penyebab penyusutan ada dua jenis, yaitu : faktor penyebab yang tidak saling bebas (dependent) dan faktor penyebab yang saling bebas (independent). Contoh faktor penyebab dependent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan tahun 50 orang meninggal dan pada akhir tahun 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, hanya 950 orang yang mempunyai kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab menjadi cacat pada akhir tahun, sedangkan 50 orang yang telah meninggal tidak akan pernah dapat keluar dari kelompok dengan penyebab menjadi cacat. Contoh faktor penyebab independent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan tahun ada 50 orang meninggal dan 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, pada permulaan tahun ada 1000 orang mempunyai kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab meninggal atau menjadi cacat. Pada

asuransi pensiun penyusutan kelompok dihitung pada permulaan tahun, sehingga menggunakan faktor penyebab independent (Futami, 1993). Konsep ini tidak lain adalah konsep indepedensi yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :

Definisi 2.3.

Andaikan

d

_x(1)menyatakan banyak orang yang meninggal pada usia x dan )

2 ( x

d

menyatakan banyak orang yang menjadi cacat pada usia x. Dua kejadian )

1 ( x

d

dan

d

_x(2) dikatakan independent jika :

(

(1) (2)

) ( ) ( )

(1) (2) x x

x

x

d

P

d

P

d

d

P

∩

=

Pada keadaan awal kelompok, l₀ orang akan mengalami penyusutan anggota karena lebih dari satu faktor penyebab. Jika penyusutan dari l_x orang terjadi karena faktor penyebab satu maka dinyatakan dengan

d

_x(1), faktor penyebab dua dinyatakan dengan

d

_x(2)dan seterusnya sampai faktor penyebab m yang dinyatakan dengan

d

_x(m), atau :

( ) ( ) ( )

∑

=

=

+

+

+

m

k k x m

x x

x

d

d

d

d

1 ) ( 2

1

...

dengan

d

_x(k) menyatakan banyak orang berusia x yang mengalami penyusutan karena faktor penyebab ke-k

(

k =1,2,....,m

)

.

Komponen terpenting dalam menyusun tabel adalah Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke-k pada usia x.

Definisi 2.4.

Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke-k pada usia x adalah :

_{( )} ) ( ) (

T x

k x k

x

l

d

q

=

dengan

l

_x(T) menyatakan banyak orang yang tetap menjadi anggota kelompok pada usia x. Muncul nilai

l

_x(T) yang sama, dapat terjadi karena asumsi independensi (definisi 2.3).

Jika

p

(_xk)

=

1

−

q

(_xk), maka dapat dinyatakan bahwa :

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ₍(₎)

) (

1 _T

x k x k

x

l d p

_{( )}

) ( ) ( ) (

T x

k x T x k x

l

d

l

p

=

−

dengan

p

(_xk) menyatakan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena faktor penyebab ke-k pada usia x.

Jika

d

x(T) menyatakan jumlahan dari banyak orang yang keluar dari

kelompok karena faktor penyebab ke-k (untuk k =1,2,...,m) pada usia x, atau :

∑

( )

=

=

m k

k x T

x

d

d

1 ) (

yang kemudian dengan menggunakan persamaan (2.2) maka diperoleh : _{( )} ) ( ) ( T x T x T x

l

d

q

=

1_{( )} ) ( ) ( T x m k k x T x

l

d

q

∑

=

=

∑

=

=

m k T x k x T x

l

d

q

1 ) ( ) ( ) (

∑

=

=

m k k x T x

q

q

1 ) ( ) (

dengan

q

(_xT)menyatakan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x.

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.3) dapat dicari peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia

x, yaitu :

_{( )} ) ( ) ( ) ( T x T x T x T x

l

d

l

p

=

−

_{( )} ) ( 1 ) ( T x T x T x

l

l

p

=

+

Untuk peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun (n>1) dapat dinyatakan bahwa:

) ( ) ( ) ( T x T n x T x n

l

l

p

=

+

Sedangkan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun adalah :

) (T x

n

q

( )

) ( ) ( T x T n x T x

l

l

l

−

₊

=

D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Multiple Decrement).

Percepatan total penyusutan jamak pada usia x didefinisikan dengan menggunakan persamaan (2.9) yaitu :

dt l d _xT

T x

) ( )

( =− ln

μ

Kemudian dengan menggunakan persamaan (2.10) dan (2.14) maka dapat dinyatakan bahwa :

∫

=

− x T t dt T T

x

l

e

l

0 ) (

.

) ( 0 ) ( μ dan dt l

d xTt

T t x T x ) ( 1 0 ) ( ) ( . ₊ +

∫

=

μ

Dengan menggunakan persamaan (2.15) maka didapat :

dt p

q_xT _{t x}T _x(T_t)

1 0 ) ( ) ( +

∫

=

μ

q p xTtdt n T x t T x n ) ( 0 ) ( ) ( +

∫

=

μ

Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) didapat :

∫

=

− + n T t x dt T x

n

p

e

0 ) ( ) ( μ dan

∫

−

=

− + n T t x dt T x

n

q

e

0 ) (

1

) ( μ

Tingkat penyusutan karena penyebab ke-k dirumuskan dengan menggunakan definisi 2.1 yaitu :

_{( )} ) ( ) ( ) ( T x k t x k x k x t

tl

l

l

t

q

Δ

−

=

Δ

Δ + Δ

Jika Δt→0 maka diperoleh percepatan penyusutan

μ

_x(k) (forces of decrement) yaitu :

t

q

_xk t t k x

Δ

=

Δ → Δ ) ( 0 ) (

lim

μ

_{( )} ) ( ) ( 0

lim

_T x k t x k x t

_tl

l

l

Δ

−

=

+Δ

→ Δ

t

l

l

l

T x k x k t x t

Δ

−

−

=

+Δ

→

Δ ( )

) ( ) ( 0

)

(

lim

dt

dl

l

k x T x k x ) ( ) ( )

(

=

−

1

⇔ ( ) ( ) x(k) T

x k

x

l

dt

=

−

dl

μ

Persamaan di atas terjadi untuk usia x, sedangkan untuk usia x+tadalah : ) ( ) ( ) ( k t x T t x k t

x+

l

+

dt

=

−

dl

+

μ

atau

dt

dl

l

k t x T t x k t x ) ( ) ( ) ( + + +

=

−

μ

Jika diketahui bahwa

d

_x(k)

=

l

_x(k)

−

l

_x(k₊₁) maka didapat :

∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

1 +

0 ) ( ) (

dt

dl

d

k t x k x

dt

d

l

xkt

dt

T t x k x ) ( 1 0 ) ( ) (

.

₊ +

∫

=

μ

Kemudian dibagi dengan

l

_x(T), didapat :

) ( 1 0 ) ( ) ( ) ( ) (

.

T x k t x T t x T x k x

l

dt

l

l

d

∫

+ +

=

μ

dt

l

l

q

_{T x}k_t

x T t x k x ) ( 1 0 ) ( ) ( ) ( + +

∫

=

μ

q

p

xkt

dt

T x t k x ) ( 1 0 ) ( ) ( +

∫

=

μ

dt p

q _xk_t

n T x t k x n ) ( 0 ) ( ) ( +

∫

=

μ

Jika dari persamaan (2.16) diturunkan untuk penyusutan k yaitu :

dt n k t x

∫

+ 0 ) (

μ

( )

ln

_n

p

_xk

−

=

yang kemudian diperoleh :

∫

=

− + n k t x dt k x

n

p

e

0 ) ( ) ( μ dan

∫

−

=

− + n k t x dt k x

n

q

e

0 ) (

1

) ( μ

Jika

∑

=

=

m x k k x T x

d

d

( ) ( ) _{maka begitu juga untuk}

∑

=

=

m x k k x T x

l

l

( ) ( ) _{. Sehingga}

hubungan antara

μ

x(k) dan ) (T x

μ

adalah :

( ) _{( )} ( )

dt

dl

l

T x T x T x

1

−

=

μ

_{( )} ( ) ( )

dt

dl

dl

dl

l

m x x x T x ) ( 2 1

...

1

+

+

+

−

=

_{( )} ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − = dt dl dt dl dt dl l m x x x T x ...

1 1 2

) (T x

μ

∑

=

=

m k

k x 1

) (

μ

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa percepatan penyusutan yang dikarenakan semua penyebab adalah sama dengan jumlahan dari semua percepatan penyusutan untuk semua m penyebab.

F. Tingkat Bunga

Perhitungan manfaat pensiun sangat dipengaruhi oleh tingkat bunga, karena saat dana yang telah terkumpul maka akan segera diinvestasikan dalam waktu tertentu. Waktu investasi diasumsikan sama dengan waktu yang dibutuhkan untuk banyaknya kali melakukan pembayaran, misalnya n kali (tahun). Dana yang diinvestasikan tersebut akan dikembangkan oleh dana pensiun semaksimal mungkin, sehingga diharapkan dapat mencukupi pemenuhan kewajiban yang harus dibayarkan kepada peserta program saat mencapai usia pensiun. Pendapatan bunga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: bunga tunggal dan bunga majemuk.

Bunga tunggal adalah perhitungan bunga yang hanya didasarkan pada perbandingan pokok dan jangka investasi. Misal besar pokok R, tingkat bunga tunggal i, jangka investasi n tahun, maka besar bunga

I

=

R

.

n

.

i

dan total pokok berikut bunganya untuk n tahun adalah sebesar :

I R R_n = +

R_n =R+R.n.i

Bunga majemuk adalah perhitungan bunga dengan besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Misal besar pokok R, tingkat bunga tunggal i, jangka investasi n tahun. Pada akhir tahun pertama jumlah bunga dan pokoknya adalah

) 1

.( i

R + dan jumlah tersebut merupakan pokok yang baru pada permulaan tahun ke dua, atau R₁ =R.(1+i). Pada akhir tahun kedua besar bunga menjadi

), 1 ( .

.R₁ iR i

i = + jadi pada akhir tahun kedua besar bunga dengan pokoknya adalah R₁+i.R₁ = R₁(1+i)= R.(1+i)(1+i)=R.(1+i)2atau dapat dinyatakan dengan R₂ =R.(1+i)2. Pada permulaan tahun ketiga diperoleh besar pokok yang baru yaitu R₃ = R.(1+i)3. Sehingga dengan jalan yang sama total pokok beserta bunganya pada akhir tahun ken atau permulaan tahun ke n+1 yang dinyatakan dengan Rn, adalah :

n

n

R

i

R

=

.(

1

+

)

Untuk mencari besar pokok R, diperoleh dengan merubah persamaan di atas menjadi berikut :

n

n

i

R

R

=

(

1

+

)

−

R = R_n.

v

n (2.20) dengan

v

=

(

1

+

i

)

−1

G. Anuitas (Annuity)

Anuitas adalah serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu. Anuitas terbagi atas dua macam yaitu : Anuitas Tentu (Certain Annuity) dan Anuitas Hidup (Life Annuity).

Anuitas tentu adalah anuitas yang setiap pembayarannya dilakukan tanpa syarat (pembayaran pasti). Misal diketahui suatu anuitas tentu dengan n kali pembayaran sebesar Rp.1 yang dilakukan pada tiap akhir tahun. Maka pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun pertama, kemudian pembayaran kedua dilakukan pada akhir tahun kedua, dan seterusnya sampai pada akhir tahun ke n.

Nilai Rp.1 adalah nilai yang sudah termasuk bunga

( )

R_n , sedangkan dalam anuitas yang akan dicari adalah nilai tanpa bunga (nilai tunai(R)). Dengan menggunakan persamaan (2.20) maka nilai tunai dari pembayaran tahun pertama adalah: R =R₁.v maka R = Rp1.v =v ,nilai tunai tahun kedua: R =R₂.v2

makaR = Rp1.v2 =v2dan seterusnya sampai nilai tunai tahun ke-n: n

n

v

R

R

=

.

maka R = Rp1.vn = vn. Sehingga nilai tunai keseluruhan (A) adalah jumlahan dari pembayaran tahun pertama sampai tahun ke n. Proses tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

A

=

v

+

v

2

+

....

+

v

n (2.21) Pembayaran anuitas dapat dilakukan dengan dua cara yaitu pembayaran

pembayaran pada akhir tahun (anuitas tentu akhir) yang dinotasikan sebagai

a

_n. Selisih antara kedua anuitas adalah satu, atau

a

&

&

_n

=

1

+

a

_n. Pada pemisalan di atas yaituA yang dilakukan pada akhir tahun merupakan anuitas tentu akhir (

A

=

a

_n) maka persamaan (2.21) menjadi :

a

_n

=

v

+

v

2

+

....

+

v

n (2.22) Anuitas di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama adalah v dan rasio adalah v yang jumlah deretnya adalah:

i v i

v

v v v

v v a

n n

n n

n

− = − +

− = − − = − −

= 1

1 ) 1 (

1 1 1 1 1

1

( )

Sehingga persamaan (2.22) menjadi berikut :

i v a

n

n

−

=1 (2.23)

Untuk anuitas tentu awal yang dinyatakan dengan :

&

a

&

_n

=

1

+

v

+

v

2

+

....

+

v

n−1 (2.24) Terlihat bahwa _n a_n

v

a&& = 1 dengan jumlah deretnya adalah :

n

a

&

&

iv v i

v v

n

n −

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ −

=1 1 1

Sehingga persamaan (2.24) menjadi berikut :

iv v a

n

n

− =1 &

& (2.25)

Contoh 2.1

Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp.20.000.000,00 dan cicilan tiap akhir tahun sebesar Rp. 5.000.000,00 selama 20 tahun (i=5%). Berapa harga rumah bila dibeli secara tunai?

Jawab :

Dengan mempergunakan persamaan (2.23) maka nilai tunai dari cicilan selama 20 tahun, adalah :

Rp.5.000.000,00

a

₂₀= Rp.5.000.000,00 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ − + −

05 , 0

) 05 , 0 1 (

1 20

= Rp.5.000.000,00 (12,4622) = Rp.62.311.051,71

Jadi total harga rumah secara tunai adalah:

Rp. 20.000.000,00 + Rp.62.311.051,71 = Rp.82.311.051,71

Anuitas hidup adalah anuitas yang pembayarannya memperhatikan hidup matinya tertanggung (annuitan) dan pembayaran akan terus berlangsung selama annuitan masih hidup. Anuitas hidup yang sering digunakan tergantung pada lama dan waktu pembayaran (awal atau akhir tahun). Anuitas hidup ada dua macam yaitu: Anuitas Sementara (Berjangka) dan Anuitas Seumur Hidup.

Anuitas sementara adalah pembayaran anuitas yang tidak dilakukan sepanjang usia tertanggung x, tetapi hanya selama n tahun asal tertanggung masih hidup. Jika tertanggung yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia

n

n x n x

x

x

vl

v

l

v

l

Al

=

₊₁

+

2 ₊₂

+

....

+

₊

x n x n x x l l v l v vl

A= + + +2 +....+ +

2 1 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + + + x n x n x x x x l l v l l v l l v

A 1 2 2 ....

A

=

vp

_x

+

v

2₂

p

_x

+

....

+

v

n_n

p

_x (2.26) Nilai tunai anuitas akhir (A) sementara dinyatakan dengan

a

&

&

_x:n dan nilai tunai anuitas awal sementara dinyatakan dengan

a

_x:n. Dengan pemikiran yang sama pada anuitas seumur hidup hanya bedanya pembayarannya dibatasi sampai n tahun dan

a

&

&

_x:n

=

1

+

a

_x:n−1. Persamaan (2.26) digunakan untuk menentukan nilai tunai anuitas akhir sementara yaitu :

t x

n

t t n

x

v

p

a

∑

=

=

1

: (2.27) dan nilai tunai anuitas awal sementara :

∑

− =

+

=

1 1 :

1

n t x t t n

x

v

p

a

&

&

t x n

t t n

x

v

p

a

∑

− =

=

1 0 :

&

&

_(2.28)

Cara yang lebih sederhana dalam penghitungan disebut dengan komutasi. Misal

D

_x

=

v

x

l

_xdan

N

_x

=

D

_x

+

D

_x+1

+

D

_x+2

+

....

+

D

_w, maka persamaan (2.27) dan (2.28) dapat dinyatakan menjadi berikut :

x n x n x x n x

_l

l

v

l

v

vl

a

=

+

+

+2

+

....

+

+ 2 1 : = x x n x n x x x x x l v l v l v l

v + ₊ + + ₊2 +....+ + ₊ 2 1 1 = x n x x x D D D

D ₊₁+ ₊₂ +....+ ₊

a

_x:n=

x n x x D N N +1− + +1

(2.29) dan

1 : :n

=

1

+

xn−

x

a

a

&

&

= x n x x D N

N 1 1

1+ + − + +

= x n x x x D N N

D + ₊1− ₊

a

&

&

_x:n=

x n x x D N

N − +

(2.30)

Contoh 2.2

Pada usia 55 tahun, Tono mempunyai dua pilihan yaitu: menerima Rp.30.000.000,00 dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya dengan tingkat bunga 4% setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap permulaan tahun selama 30 tahun (anuitas tentu selama 30 tahun) atau membiarkan uangnya pada perusahaan tersebut dan menerima sejumlah uang yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 30 tahun bila dia masih hidup (anuitas hidup). Hitunglah besar penerimaan Tono tersebut setiap tahun dalam kedua hal. Bila ternyata dia meninggal tepat sebelum mencapai 80 tahun, berapakah besar uang yang akan diterima Tono ?

Misalkan perusahaan membayar tahunan kepada Tono sebesar B rupiah, maka dengan menggunakan persamaan (2.25) dan Tabel II Lampiran didapat :

(a) Nilai tunai anuitas awal tentu selama 30 tahun : B

a

&

&

₃₀=Rp.30.000.000,00

B= 30 00 , 000 . 000 . 30 . a Rp & &

B =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − ) 04 , 1 )( 04 , 0 ( ) 04 , 0 1 ( 1 00 , 000 . 000 . 30 . 30 Rp B= 9837 , 17 00 , 000 . 000 . 30 . Rp

B= Rp.1.668.175,937

Bila ternyata dia meninggal sebelum berusia 80 tahun maka pembayaran masih tersisa 5 kali (5 tahun). Nilai tunai sisa pembayaran ini adalah :

Rp.1.668.175,937 .

a

&

&

₅= Rp.1.668.175,937 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − ) 04 , 1 )( 04 , 0 ( ) 04 , 0 1 ( 1 ( 5 = Rp.7.723.479,804

(b) Dengan menggunakan persamaan (2.30) didapat besar pembayaran tahunan untuk anuitas hidup awal sementara pada usia 55 tahun untuk jangka waktu 30 tahun adalah :

B

a

&

&

_55:30=Rp.30.000.000,00

30 : 55 00 , 000 . 000 . 30 . a Rp B & & =

B =

55 85 55

00 , 000 . 000 . 30 .

D N N Rp

−

B=Rp.30.000.000,00 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− 85 55

55

N N

D

B= Rp. 2.356.081,41

Sedangkan anuitas seumur hidup adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan sepanjang usia annuitan (jangka waktu n pada anuitas sementara diganti dengan w−x). Misal tiap orang dari sebanyak l_x menyerahkan sejumlah

A rupiah ke suatu perusahaan. Pada saat seseorang berusia x+1 maka perusahaan akan membayar sebesar Rp.1, pada saat seseorang berusia x+2 maka perusahaan akan membayar sebesar Rp.1 dan seterusnya sampai semua orang dari

x

l meninggal. Sehingga dana yang terkumpul di perusahaan adalah

Al

_xrupiah. Nilai tunai pada tahun pertama :R = R₁.v maka R =(Rp1.l_x+1)v =l_x+1.v , nilai tunai pada tahun kedua :R= R₂.v2maka R =(Rp1.l_x+2)v2 =l_x+2v2 sampai nilai tunai pada tahun ke w−x:

R

=

R

_w−x

.

v

w−xmaka R =(Rp1.l_w)vw−x =l_w.vw−x

Jika semua nilai tunai dijumlahkan maka diperoleh A, yaitu :

w x w x

x

x

vl

v

l

v

l

l

A

.

=

₊₁

+

2 ₊₂

+

....

+

−

x

w x w x

x

l

l

v

l

v

vl

A

− +

+

+

+

+

=

2

....

2 1

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + + − x w x w x x x x l l v l l v l l v

A 1 2 2 ....

A

=

vp

_x

+

v

2₂

p

_x

+

....

+

v

w−x_w−x

p

_x (2.31) Nilai A tersebut merupakan anuitas akhir seumur hidup karena pembayaran dilakukan tiap akhir tahun (

a

_x) yang berselisih satu dengan anuitas awal seumur hidup (

a

&

&

x) atau

a

&

&

x

=

1

+

a

x−1. Sehingga persamaan (2.31) disebut nilai tunai akhir seumur hidup yaitu :

x x w x w x x

x

vp

v

p

v

p

a

=

+

2₂

+

...

+

− ₋

a

_x

∑

− =

=

w x

t x t t

p

v

1 (2.32) Kemudian untuk nilai tunai awal seumur hidup adalah :

a

&

&

_x

∑

− − =

+

=

1 1

1

x w t x t t

p

v

w x x

x w x

x

x

vp

v

p

v

p

a

1

1 2

2

...

1

+

+

+

+

− − − −

=

&

&

∑

− − =

=

1 0 x w t x t t

x

v

p

a

&

&

_(2.33)

Misal

D

_x

=

v

x

l

_xdan

N

x

=

D

x

+

D

x+1

+

D

x+2

+

....

+

D

w, maka persamaan (2.32) dan (2.33) menjadi berikut :

w x x

x w x

x

x

vp

v

p

v

p

a

=

+

2₂

+

....

+

− ₋

_x x x w x w x x v v l l v l v vl ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + +

= + +2 .... −

2 1

x x

w w x

x x x

l v

l v l

v l

v + + +

= + + + +2 ....

2 1 1

=

x

w x

x

D

D D

D ₊₁ + ₊₂ +....+

a

x=

x x

D N ₊₁

dan

a

&

&

_x=

x x

D N ₁

1+ +

=

x x x

D N D + ₊₁

a

&

&

_x =

x x

D N

(2.34)

Tabel komutasi yang digunakan dalam contoh-contoh berikut adalah Tabel Komutasi Indonesia 1993 (i=4%).

Contoh 2.3

Hitunglah nilai tunai suatu anuitas awal seumur hidup dengan pembayaran Rp.600.000,00 setahun untuk seseorang pada saat usia 20 tahun dan 60 tahun ! Jawab :

Dengan menggunakan persamaan (2.34) maka : (i) Nilai tunai pada saat x=20 adalah :

Rp.600.000,00

a

&

&

₂₀= Rp.600.000,00 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

20 20

D N

= Rp. 12.972.182,75 (ii) Nilai tunai pada saat x=60 adalah :

Rp.600.000,00

a

&

&

₆₀= Rp.600.000,00 _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

60 60

D N

= Rp. 6.722.394,49

Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang berusia 20 tahun, lebih tinggi (mahal) dibandingkan dengan orang yang berusia 60 tahun, karena hidup orang yang berusia muda dianggap lebih lama dari orang yang berusia tua, sehingga orang yang berusia 20 tahun akan menerima anuitas yang lebih besar.

H. ASURANSI JIWA

Pada dasarnya asuransi jiwa merupakan usaha kerjasama (koperasi) dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi suatu musibah terhadap salah seorang anggotanya. Usaha kerjasama ini dilakukan melalui suatu perusahaan asuransi. Perusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak maka akan mudah mengatasi pembayaran santunan asuransi (claim) kepada pewaris anggotanya yang meninggal. Setiap orang yang mengasuransikan jiwanya pada suatu perusahaan asuransi berarti sepakat terhadap suatu kontrak tertulis antara tertanggung dengan perusahaan tersebut. Isi kontrak adalah besar premi yang harus dibayar tertanggung ke perusahaan beserta jadwal pembayaran, dan besar claim yang akan diterima tertanggung bila terjadi suatu musibah. Kontrak tersebut sering disebut sebagai polis asuransi. Besar claim tergantung atas tiga hal penting, yaitu : peluang meninggal (qx), tingkat bunga

Dana yang sudah terkumpul dari pembayaran premi oleh para pemegang polis diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu, dan sebagian dari bunga tersebut merupakan milik para pemegang polis. Setiap perusahaan asuransi tidak dapat bekerja tanpa biaya operasional, antara lain: biaya pegawai untuk mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayarkan claim, biaya untuk membayar pajak, komisi, dan sebagainya. Dalam skripsi ini biaya operasional tidak ikut dibahas, tetapi hanya memperhatikan peluang meninggal dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhitungkan faktor biaya disebut premi bersih (net premi). Premi dapat dibayarkan sekaligus disebut premi tunggal, dapat juga seumur hidup (premi tahunan seumur hidup), dan dapat juga selama jangka tertentu (premi tahunan berjangka). Jika pemegang polis meninggal sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka dianggap pembayaran telah selesai.

1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal a. Asuransi Berjangka

Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana. Dalam kontrak ini uang santunan asuransi (claim) akan dibayarkan perusahaan kepada pewaris pemegang polis bila pemegang polis meninggal dalam jangka waktu tertentu (jangka waktu polis). Untuk perhitungan yang lebih sederhana, jangka waktu dihitung untuk satu tahun. Tingkat bunga dianggap stabil untuk setiap tahunnya.

Andaikan ada sebanyak l_x orang pemegang polis, menyerahkan premi tunggal bersih sebesar Z rupiah ke suatu perusahaan asuransi dan tiap akhir tahun

akan dibayarkan Rp.1 kepada tiap pewaris dari tertanggung yang meninggal. Jika ternyata tertanggung mampu hidup mencapai usia x+1 maka claim tidak akan dibayarkan. Sehingga sekarang dana di perusahaan ada sebanyak Zl_xrupiah. Banyaknya yang meninggal dalam interval waktu setahun adalah sebanyak dx,

maka dana yang dikeluarkan perusahaan pada akhir tahun sebesar Rp.1(d_x) atau

x

d rupiah. Bila dana yang terkumpul di perusahaan dikenai bunga, maka dana yang ada di perusahaan pada akhir tahun pertama ada sebanyak :

)

1

(

i

Zl

d

_x

=

_x

+

) 1

( i

l d Z

x x

+ =

x x

l d v Z = .

Misalkan

A

1_x:n adalah nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih asuransi sebesar Rp.1 untuk seseorang yang berusia x selama interval waktu n tahun. Bila seseorang yang berusia x meninggal sebelum usia x+n, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp.1 pada akhir tahun orang tersebut meninggal. Tetapi bila orang tersebut mampu hidup mencapai usia x+n, maka orang tersebut tidak akan mendapat claim. Bila seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun pertama, maka nilai tunainya adalah

x x

l d

v. . Bila seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun kedua, nilai tunainya

86 87428 16107 0,81577 0,18423 87 71321 14099 0,80232 0,19768 88 57222 12128 0,78805 0,21195 89 45094 10240 0,77292 0,22708 90 34854 8473 0,75690 0,24310 91 26381 6860 0,73996 0,26004 92 19521 5424 0,72215 0,27785 93 14097 4182 0,70334 0,29666 94 9915 3137 0,68361 0,31639 95 6778 2285 0,66288 0,33712 96 4493 1612 0,64122 0,35878 97 2881 1099 0,61854 0,38146 98 1782 721 0,59540 0,40460 99 1061 455 0,57116 0,42884

TABEL II

Komutasi

(

i

=

4

%

)

x

x

D

N

_x

C

_x

M

_x

0 1000000 22790952,67296 30990,38462 123424,89719 1 930548,07692 21790952,67296 3257,21154 92434,51258 2 891500,55473 20860404,59604 2245,60480 89177,30104 3 854966,46706 19968904,04131 1652,33650 86931,69624 4 820430,80490 19113937,57425 1341,38504 85279,35974 5 787534,38890 18293506,76935 1196,53619 83937,97470 6 756048,06852 17505972,38044 1119,35894 82741,43851 7 725849,93772 16749924,31192 1004,69903 81622,07957 8 696927,93339 16024074,37420 877,53083 80617,38054 9 669245,48204 15327146,44081 733,66269 79739,84970 10 642771,60851 14657900,95877 636,58931 79006,18702 11 617413,03425 14015129,35026 575,87848 78369,59770 12 593090,50061 13397716,31601 547,72357 77793,71922 13 569731,60394 12804625,81540 537,05183 77245,99566 14 547281,79812 12234894,21146 558,04083 76708,94383 15 525674,45736 11687612,41335 626,80820 76150,90300 16 504829,40081 11161937,95598 723,34290 75524,09481 17 484689,54249 10657108,55518 829,78887 74800,75190 18 465217,84813 10172419,01269 898,97275 73970,96303 19 446425,88122 9707201,16456 918,70692 73071,99028 20 428336,94810 9260775,28333 897,85355 72153,28336 21 410964,59655 8832438,33523 869,22810 71255,42981 22 394289,03781 8421473,73868 841,47642 70386,20171 23 378282,59841 8027184,70087 811,06255 69544,72530 24 362922,20515 7648902,10246 798,99879 68733,66275 25 348164,66001 7285979,89731 759,97221 67934,66396 26 334013,73934 6937815,23730 697,10131 67174,69175 27 320469,95575 6603801,49796 622,60244 66477,59044 28 307521,58578 6283331,54222 552,80304 65854,98800 29 295141,02944 5975809,95644 499,47624 65302,18496 30 283289,97514 5680668,92699 471,37181 64802,70872 31 271922,83506 5397378,95185 462,93409 64331,33691 32 261001,33039 5125456,11679 459,38183 63868,40282 33 250503,43584 4864454,78640 452,78249 63409,02098 34 240415,90582 4613951,35056 443,73049 62956,23849 35 230725,40972 4373535,44473 437,14169 62512,50800 36 221414,21382 4142810,03501 440,71237 62075,36632 37 212457,57015 3921395,82119 459,58228 61634,65395 38 203826,54286 3708938,25105 495,84457 61175,07167 39 195491,21588 3505111,70818 537,59402 60679,22710 40 187434,72893 3309620,49231 580,40543 60141,63308

41 179645,29546 3122185,76338 620,09128 59561,22764 42 172115,76975 2942540,46791 653,64375 58941,13637 43 164842,28869 2770424,69817 683,16384 58287,49261 44 157819,03683 2605582,40947 708,59023 57604,32877 45 151040,48365 2447763,37264 736,31778 56895,73855 46 144494,91649 2296722,88899 768,30352 56159,42076 47 138169,11618 2152227,97250 805,11031 55391,11724 48 132049,80910 2014058,85632 848,19313 54586,00693 49 126122,77716 1882009,04722 904,64140 53737,81380 50 120367,25971 1755886,27007 974,57016 52833,17240 51 114763,17956 1635519,01036 1053,78345 51858,60224 52 109295,42766 1520755,83080 1132,84223 50804,81878 53 103958,91513 1411460,40314 1197,52494 49671,97655 54 98762,97038 1307501,48801 1261,10771 48474,45161 55 93703,28689 1208738,51763 1322,69872 47213,34390 56 88776,61559 1115035,23074 1381,96362 45890,64518 57 83980,16676 1026258,61515 1438,92853 44508,68156 58 79311,23182 942278,44839 1492,43309 43069,75303 59 74768,36674 862967,21657 1542,83031 41577,31995 60 70349,83002 788198,84983 1589,61099 40034,48964 61 66054,45633 717849,01982 1632,26865 38444,87864 62 61881,63167 651794,56349 1670,22304 36812,61000 63 57831,34588 589912,93181 1702,11194 35142,38696 64 53904,95141 532081,58594 1729,07710 33440,27502 65 50102,60694 478176,63453 1749,72217 31711,19792 66 46425,86143 428074,02759 1763,25959 29961,47575 67 42876,99178 381648,16616 1769,48596 28198,21616 68 39458,39076 338771,17438 1768,41735 26428,73021 69 36172,34300 299312,78362 1758,90517 24660,31286 70 33022,19387 263140,44062 1740,96326 22901,40769 71 30011,14623 230118,24675 1714,37775 21160,44443 72 27142,49362 200107,10052 1679,15501 19446,06668 73 24419,39656 172964,60690 1634,66370 17766,91167 74 21845,52530 148545,21034 1581,71534 16132,24798 75 19423,59744 126699,68504 1520,06808 14550,53263 76 17156,46792 107276,08760 1450,37959 13030,46455 77 15046,22418 90119,61968 1373,24512 11580,08496 78 13094,27814 75073,39549 1289,52100 10206,83985 79 11301,13105 61979,11736 1200,18400 8917,31885 80 9666,28817 50677,98631 1106,42546 7717,13485 81 8188,08239 41011,69814 1009,56001 6610,70938 82 6863,59614 32823,61575 911,02673 5601,14938 83 5688,58494 25960,01961 812,31211 4690,12265 84 4657,48110 20271,43467 715,10065 3877,81054 85 3763,24657 15613,95357 620,83947 3162,70989 86 2997,66684 11850,70700 531,02399 2541,87042 87 2351,34797 8853,04016 446,94538 2010,84643 88 1813,96613 6501,69219 369,67663 1563,90105

89 1374,52158 4687,72605 300,12310 1194,22442 90 1021,53227 3313,20447 238,78296 894,10133 91 743,45961 2291,67221 185,89037 655,31837 92 528,97463 1548,21260 141,32504 469,42799 93 367,30441 1019,23797 104,77318 328,10295 94 248,40414 651,93355 75,56963 223,32977 95 163,28050 403,52942 52,92802 147,76014 96 104,07247 240,24891 35,90303 94,83212 97 64,16665 136,17645 23,53588 58,92909 98 38,16282 72,00980 14,84686 35,39321 99 21,84816 33,84698 9,00902 20,54635 100 11,99882 11,99882 11,53733 11,53733

TABEL III

Tabel Pelayanan

x

l

x(T)

) 1 ( x

d

(2)

x

d

(3)

x

d

(4)

x

d

26 100000 100 19990 0 0

27 79910 80 14376 0 0

28 65454 72 9858 0 0

29 55524 61 5702 0 0

30 49761 60 3971 0 0

31 45730 64 2693 46 0

32 42927 64 1927 43 0

33 40893 65 1431 45 0

34 39352 71 1181 47 0

35 38053 72 989 49 0

36 36943 78 813 52 0

37 36000 83 720 54 0

38 35143 91 633 56 0

39 34363 96 550 58 0

40 33659 104 505 61 0

41 32989 112 462 66 0

42 32349 123 421 71 0

43 31734 133 413 79 0

44 31109 143 373 87 0

45 30506 156 336 95 0

46 29919 168 299 102 0

47 29350 182 293 112 0

48 28763 198 259 121 0

49 28185 209 251 132 0

50 27593 226 218 143 0

51 27006 240 213 157 0

52 26396 259 182 169 0

53 25786 276 178 183 0

54 25149 297 148 199 0

55 24505 316 120 213 0

56 23856 313 0 0 3552

57 19991 298 0 0 1587

58 18106 284 0 0 2692

59 15130 271 0 0 1350

TABEL IV

Komutasi

(

i

=

10

%

)

x

l

x(T)

) (T x

D

N

_x(T)

26 100000 8368,75712 44455,93839 27 79910 6078,91370 36087,18127 28 65454 4526,10810 30008,26757 29 55524 3490,06374 25482,15947 30 49761 2843,18812 21992,09573 31 45730 2375,09826 19148,90761 32 42927 2026,63156 16773,80935 33 40893 1754,91917 14747,17779 34 39352 1535,10766 12992,25862 35 38053 1349,35062 11457,15095 36 36943 1190,78116 10107,80033 37 36000 1054,79043 8917,01917 38 35143 935,97963 7862,22874 39 34363 831,92182 6926,24912 40 33659 740,72421 6094,32729 41 32989 659,91555 5353,60308 42 32349 588,22565 4693,68753 43 31734 524,53177 4105,46189 44 31109 467,40883 3580,93012 45 30506 416,63909 3113,52129 46 29919 371,43746 2696,88220 47 29350 331,21547 2325,44474 48 28763 295,05337 1994,22927 49 28185 262,81389 1699,17590 50 27593 233,88000 1436,36201 51 27006 208,07424 1202,48201 52 26396 184,86728 994,40777 53 25786 164,16092 809,54050 54 25149 145,53599 645,37957 55 24505 128,90456 499,84358 56 23856 114,07096 370,93902 57 19991 86,89121 256,86806 58 18106 71,53651 169,97685 59 15130 54,33855 98,44034

60 0 44,10179 44,10179